Wykład 10 Niech P będzie dowolnym pierścieniem. Niepusty

Wykład 10
Niech P będzie dowolnym pierścieniem. Niepusty podzbiór I ⊆ P nazywamy ideałem pierścienia P jeśli spełnione są następujące warunki:
(i) ∀a, b ∈ I a − b ∈ I.
(ii) ∀p ∈ P ∀a ∈ I pa ∈ I, ap ∈ I
Przykłady
1. Każdy zbiór nZ jest ideałem pierścienia Z.
2. Zbiór {0, 2, 4} jest ideałem pierścienia Z6 .
3. Niech f będzie homomorfizmem pierścienia P w pierścień S. Wtedy zbiór
Kerf = {x ∈ P : f (x) = 0S } jest ideałem pierścienia P . Rzeczywiście jeśli
x, y ∈ Kerf to mamy f (x + y) = f (x) + f (y) = 0S + 0S = 0S , a więc x + y ∈
Kerf . Jeśli teraz p ∈ P i x ∈ Kerf to f (px) = f (p)f (x) = f (p)0S = 0S i
podobnie f (xp) = 0S . Zbiór Kerf nazywamy jądrem homomorfizmu f .
4. Każdy pierścień P posiada co najmniej dwa ideały: I1 = {0P }, I2 = P .
Ideały te nazywać będziemy ideałami niewłaściwymi.
5. Jeśli K jest ciałem to jedynymi jego ideałami są ideały niewłaściwe.
Własności ideałów
Niech I będzie ideałem pierścienia P .
(i) 0P ∈ I. Rzeczywiście dla dowolnego a ∈ P mamy 0P = a − a ∈ I, zatem
0P ∈ I.
(ii) Jeśli a ∈ I to −a ∈ I. Rzeczywiście jeśli a ∈ I i ponieważ 0P ∈ I to
mamy 0p − a ∈ I, a więc −a ∈ I.
(iii) Jeśli a, b ∈ I to a + b ∈ I. Ponieważ b ∈ I to również −b ∈ I, a więc
także a + b = a − (−b) ∈ I.
Relację ∼ nazywać będziemy kongruencją w pierścieniu P jeśli:
(i) ∼ jest relacją równoważności.
(ii)
a∼b
a+c∼b+d
∀a, b, c, d ∈ P :
⇒
c∼d
ac ∼ bd
Przykłady
1. W każdym pierścieniu relacja = jest kongruencją.
2. W pierścieniu Z relacja przystawania modulo n jest kongruencją.
3. W pierścieniu wielomianów K[x] relacja przystawania modulo pewien wielomian jest kongruencją.
Twierdzenie 1 Jeśli I jest ideałem pierścienia P to relacja:
a ∼I b ⇐⇒ a − b ∈ I
jest kongruencją pierścienia P . Ponadto [a] = a + I = {a + i : i ∈ I}.
1
Dowód Sprawdzimy najpierw, że relacja ∼I jest relacją równoważności.
1. Zwrotność: a ∼I a bo a − a = 0P ∈ I.
2. Symetryczność: jeśli a ∼I b to a − b ∈ I, stąd b − a = −(a − b) ∈ I, a więc
b ∼I a.
3. Przechodniość: jeśli a ∼I b i b ∼I c to a − b ∈ I, b − c ∈ I. Wtedy
a − b + b − c = a − c ∈ I i mamy a ∼I c.
Teraz pokażemy, że spełnione są własności kongruencji:
∀a, b, c, d ∈ P :
a ∼I b
a + c ∼I b + d
⇒
c ∼I d
ac ∼I bd
Rzeczywiście jeśli a ∼I b i c ∼I d to a − b ∈ I oraz c − d ∈ I. Wtedy
(a + c) − (b + d) = (a − b) + (c − d) ∈ I, zatem a + c ∼I b + d. Podobnie
ac − bd = ac − bc + bc − bd = (a − b)c + b(c − d) ∈ I, więc ac ∼I bd.
Wyznaczmy klasę abstrakcji elementu a, [a] = {b ∈ P : b − a ∈ I} = {b ∈
P : b ∈ a + I} = a + I.
Oznaczmy przez P/I zbiór klas abstrakcji relacji relacji ∼I z powyższego
twierdzenia, a więc:
P/I = {[a] : a ∈ P }
W zbiorze P/I możemy wprowadzić działania:
[a] ⊕ [b] = [a + b]
[a] [b] = [ab]
lub korzystając z zapisu [a] = a + I:
(a + I) + (b + I) = a + b + I
(a + I)(b + I) = ab + I
Zauważmy, że klasy abstrakcji a + I mają własności:
(i) a + I = b + I ⇐⇒ a − b ∈ I.
(ii) a + I = I ⇐⇒ a ∈ I.
Twierdzenie 2 Struktura (P/I, +, ·) jest pierścieniem. Jeśli P jest przemienny to P/I też. Jeśli P ma jedynkę 1P to P/I ma jedynkę 1P + I.
Pierścień P/I nazywamy pierścieniem ilorazowym.
Przykład Niech P = Z6 , I = {0, 3} wtedy:
[0] = 0 + I = I = {0, 3}
[1] = 1 + I = {1, 4}
[2] = 2 + I = {2, 5}
Wyniki działań opiszemy w tabelkach:
2
+
0+I
+I1
2+I
0+I
0+I
1+I
2+I
1+I
1+I
2+I
0+I
·
0+I
1+I
2+I
2+I
2+I
0+I
1+I
0+I
0+I
0+I
0+I
1+I
0+I
1+I
2+I
2+I
0+I
2+I
1+I
Rozważmy teraz relację ∼, która jest kongruencją w pierścieniu P . Wtedy
Twierdzenie 3 Niech ∼ będzie kongruencją w pierścieniu P . Wtedy klasa
abstrakcji [0P ] jest ideałem pierścienia P i relacja ∼ może być zdefiniowana
w następujący sposób:
a ∼ b ⇐⇒ a − b ∈ [0P ]
Dowód Niech a, b ∈ [0P ] i niech p ∈ P . Wtedy a ∼ 0P , b ∼ 0P i z własności
kongruencji mamy a − b ∼ 0P − 0P = 0P , a więc a − b ∼ 0P , czyli a − b ∈ [0P ].
Ponieważ a ∼ 0P i p ∼ p to również ap ∼ 0P p = 0P i ap ∈ [0P ]. To oznacza,
że [0P ] jest ideałem pierścienia P .
Jeśli a ∼ b to również −a ∼ −a i z własności kongruencji mamy: a − b ∼
b − b = 0P . Zatem:
a ∼ b ⇐⇒ a − b ∈ [0P ]
Twierdzenie powyższe pokazuje, że każda kongruencja jest związana z pewnym ideałem pierścienia.
Wniosek 1 Istnieje wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość między ideałami pierścienia P , a kongruencjami tego pierścienia. Każda kongruencja jest
postaci:
a ∼I b ⇐⇒ a − b ∈ I
dla pewnego ideału I pierścienia P
Jeśli I jest pewnym ideałem pierścienia P to można skonstruować pierścień ilorazowy P/I. Wtedy funkcja:
f : P → P/I
f (a) = a + I
jest homomorfizmem pierścienia P na pierścień P/I. Można również zauważyć, że jądro tego homomorfizmu jest równe I, zatem:
Kerf = I
Przykład Ponieważ pierścień Zn może być interpretowany jako pierścień
ilorazowy (Zn = Z/nZ) to funkcja: f : Z → Zn , f (z)= reszta z dzielenia z
przez n jest homomorfizmem pierścieni.
3