Szereg geometryczny ( )

Szereg geometryczny
Zad. 1:
Suma wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego jest równa 24, a suma
trzech początkowych wyrazów wynosi 21.
a) Zbadaj monotoniczność ciągu sum częściowych tego ciągu geometrycznego.
b) Oblicz sumę 25 początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego, w którym trzeci i piąty
wyraz są odpowiednio trzecim i piątym wyrazem danego ciągu geometrycznego.
Odp.: a) Ciąg sum częściowych jest rosnący (rozwaŜany ciąg geometryczny ma wszystkie
wyrazy dodatnie a1 = 12, q = 21 ; b) − 825
4 (pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego jest równy
21
9
4 , a róŜnica wynosi − 8 ).
Zad. 2:
a) W ciągu geometrycznym (an) dane są: a1 = 1, a2 = x2 – 2x. Dla jakich wartości x szereg
a1 + a2 + a3 + … jest zbieŜny? Dla jakich wartości x suma tego szeregu jest równa 1x ?
b) Suma pierwszego i trzeciego wyrazu ciągu geometrycznego (an) wynosi 20. Znajdź wzór
ogólny takiego ciągu arytmetycznego (bn), Ŝe b1 = a1, b2 = a2, b5 = a3.
*c) WykaŜ, Ŝe z ciągu nieskończonego (2n) nie moŜna wybrać trzech wyrazów tworzących
ciąg arytmetyczny.
Odp.: a) RozwaŜany szereg jest zbieŜny dla x ∈ 1 − 2 ;1 ∪ 11
; + 2 . Suma tego szeregu
(
jest równa
1
x
dla x =
) (
)
1+ 5
. b) bn = 4n – 2 (b1 = 2, r = 4) lub bn = 10 (b1 = 10, r = 0).
2
Zad. 3:
Dla jakich wartości parametru k granica ciągu a n =
( k 2 − k − 1)n 2 − 5
jest liczbą nie większą
n 2 + 2n + 2
x 2 + 2x − 3 x 2 + 2x − 3 x 2 + 2x − 3
2
niŜ pierwiastek równania x + 2 x − 3 +
+
+
+K = 3x 2 − 2 ?
2
4
8
Przyjmij za k największą liczbę całkowitą spośród znalezionych wartości parametru. Zbadaj
monotoniczność otrzymanego ciągu (an). Oblicz sumę wszystkich ujemnych wyrazów tego
ciągu. Który wyraz ciągu (an) jest równy zeru?
1 − 13 1 + 13
;
(rozwiązaniem równania jest x = 2). Największą liczbą całko2
2
witą z tego przedziału jest k = 2. Dla tej wartości parametru ciąg (an) jest rosnący. Suma wyrazów ujemnych wynosi – 0,9. śaden wyraz ciągu nie jest równy zero.
Odp.: k ∈
Zad. 4:
RozwiąŜ nierówność
1
1
1
+
+K < 3x − 2 .
2 +K+
x + 1 ( x + 1)
( x + 1) n
Odp.: x ∈ (1;+∞).
Zad. 5:
3n 2 + 5n + 2
.
RozwiąŜ równanie tgx + tg x + tg x+K = lim
n→∞
2n + 1
3
5
105
Odp.: x =
π
6
+ kπ , gdzie k ∈ C.
Zad. 6:
RozwiąŜ równanie lim( sin α + sin 2 α +K+ sin n α ) = 1 dla α ∈ (0;π).
n →∞
Odp.: α =
π
6
lub α = 56 π .
Zad. 7:
RozwiąŜ nierówność (1 – logx) + (1 – logx)2 + (1 – logx)3 + … ≤ 2logx.
)
Odp.: x ∈
10 ;100 .
Zad. 8:
RozwiąŜ równanie 1 + log 2 sin 2 x + log 22 sin 2 x + log 32 sin 2 x +K =
Odp.: x =
π
8
2
3
dla x ∈ 〈0;π〉.
lub x = π .
3
8
Zad. 9: (profil matematyczno-fizyczny)
Wyprowadź wzór pozwalający obliczyć wartość iloczynu
1 
1 
1
 1 
 1 −  ⋅  1 −  ⋅  1 − ⋅K⋅ 1 − 2  dla n ≥ 2 i udowodnij go, stosując zasadę indukcji
 4   9   16  
n 
zupełnej./
1 
1 
1  n +1
 1 
Odp.:  1 −  ⋅  1 −  ⋅  1 − ⋅K⋅ 1 − 2  =
.
 4   9   16  
2n
n 
Zad. 10: (profil matematyczno-fizyczny)
Oblicz sumę nieskończonego ciągu geometrycznego, w którym wyraz pierwszy a1 i iloraz q
1 + 2 + 3+K+ n
spełniają warunki: a 1 = lim
, q = sin 2α dla sin α = 53 .
n →∞
 n
 
 2
Odp.: 25 (a 1 = 1, q =
24
25
) lub (a
25
49
1
= 1, q = − 24
25 ) .
Zad. 11: (profil matematyczno-fizyczny)
a) W ciągu geometrycznym (an) dane są: a1 = 1 i a2 = 2 – log2x. Dla jakich wartości x szereg
a1 + a2 + a3 + … jest zbieŜny? Dla jakich wartości x suma tego szeregu jest mniejsza od 1?
b) Suma pierwszego i trzeciego wyrazu ciągu geometrycznego (an) wynosi 20. Znajdź wzór
ogólny takiego ciągu arytmetycznego (bn), Ŝe b1 = a1, b3 = a2, b9 = a3.
(
)
*c) WykaŜ, Ŝe z ciągu nieskończonego 3 + n nie moŜna wybrać trzech wyrazów tworzących ciąg geometryczny.
Odp.: a) Szereg jest zbieŜny dla x ∈ (2;8). Suma szeregu jest mniejsza od 1 dla x ∈ (4;8).
b) bn = 2n (b1 = 2, r = 2) lub bn = 10 (b1 = 10, r = 0).
Zad. 12: (profil matematyczno-fizyczny)
1
x+5
 1 
RozwiąŜ równanie 1 +
+
.
 +K =
x + 5  x + 5
10 − 4 x + 5
Odp.: x = –1.
2
106
Zad. 13: (profil matematyczno-fizyczny)
Dla jakich wartości parametru m równanie 2x + 2x – 1 + 2x – 2 + … = 22x – 1 + m ma dokładnie
jeden pierwiastek?
Odp.: m ∈ (–∞;0〉 ∪ {2}.
Zad. 14 (profil matematyczno-fizyczny)
RozwiąŜ równanie log16x + (log16x)2 + (log16x)3 + … = 3.
Odp.: x = 8.
Zad. 15: (profil matematyczno-fizyczny)
Zaznacz na płaszczyźnie zbiór wszystkich punktów o współrzędnych (x, y), dla których szereg geometryczny 1 + log y x +K+ log ny −1 x +K jest zbieŜny.
y > 1
0 < y < 1


Odp.: Współrzędne x, y punktów muszą spełniać warunki y > x lub y < x .
y > 1
y < 1
x
x


Zad. 16: (profil matematyczno-fizyczny)
Dana jest funkcja f(x) = 1 + sin2x + sin4x + …, gdzie sin2x ≠ 1.
a) RozwiąŜ nierówność f(x) ≥ 2.
1
+ sin x = 1 + sin 2 x dla x ∈ 〈0;2π〉, które naleŜą do
b) Znajdź te rozwiązania równania
f ( x)
cos 2 x
≥ 1 + cos x .
zbioru rozwiązań nierówności
1 − cos x
Odp.: a) x ∈ − π4 + kπ; π4 + kπ , gdzie k ∈ C; b) x = π.
Zad. 17:
a) Oblicz trzeci wyraz ciągu geometrycznego o wyrazach 2 x1 ,2 x2 ,2 x3 ,K , wiedząc, Ŝe
x1 + x2 + … + x10 = 110 i x7 = 14.
*b) Udowodnij, Ŝe suma kwadratów dowolnie wybranych trzech kolejnych wyrazów ciągu
geometrycznego o wyrazach całkowitych róŜnych od zera jest podzielna przez sumę tych wyrazów.
Odp.: a) 2 x3 = 2 6 = 64 .
Zad. 18:
Zbadaj liczbę pierwiastków równania mx − x 2 = 1 +
parametru m.
(
1 1 1
+ + +K w zaleŜności od wartości
2 4 8
)
Odp.: Równanie nie ma pierwiastków dla m ∈ − 2 2 ;2 2 , ma jeden pierwiastek dla
(
) (
)
m = −2 2 i dla m = 2 2 , ma dwa pierwiastki dla m ∈ − ∞;−2 2 ∪ 2 2 ;+∞ .
Zad. 19:
RozwiąŜ nierówność x 2 + 2 x 3 + 4 x 4 +K ≤
Odp.: x ∈ ( − 21 ; 13 .
1
.
3
107
Zad. 20:
RozwiąŜ równanie 1 +
5x + 3 ⋅ 5x – 2 = 140.
Odp.: x = 73 (a = 3).
2 4
+
+K = ax , gdzie a jest pierwiastkiem równania
x x2
Zad. 21:
Znajdź te rozwiązania równania (x – 1)2 + (x – 1)4 + (x – 1)6 + … = 1, które naleŜą do zbioru
2
wartości funkcji f ( x) = − 21 x 2 − 7 x + 4 − ( x − 2) .
2− 2
2− 2
2+ 2
(liczby
oraz
spełniają dane równanie, zbiorem wartości
2
2
2
funkcji f jest przedział ( − ∞; 23 ).
Odp.: x =
Zad. 22:
a) Dla jakich wartości x suma wszystkich wyrazów ciągu geometrycznego
1 + (2x – 1) + (2x – 1)2 + … ma skończoną wartość? Znajdź zbiór tych wartości x, dla których suma ta jest mniejsza od 43 .
b) Znajdź wzór ogólny ciągu arytmetycznego o wyrazach 1, (2x – 1) + 3, (2x – 1)2 + 2, … .
*c) WykaŜ, Ŝe z ciągu nieskończonego (3 n) nie moŜna wybrać trzech wyrazów tworzących
ciąg arytmetyczny.
Odp.: a) Suma wszystkich wyrazów szeregu jest skończona dla x ∈ (0;1). Suma jest mniejsza
od 43 dla x ∈ (0; 13 ) . b) an = n (x = 0) lub an = 5n – 4 (x = 2).
Zad. 23:
RozwaŜmy nieskończone ciągi geometryczne, w których suma trzech początkowych wyrazów
jest równa kwadratowi wyrazu pierwszego. Dla jakich wartości ilorazu suma wszystkich wyrazów ciągu osiąga wartość najmniejszą? Oblicz tę najmniejszą wartość.
Odp.: g = 1 − 3 , S = 2 3 − 3 .
Zad. 24:
Dla jakich wartości x ∈ 〈0;π〉 suma nieskończonego ciągu geometrycznego o wyrazach:
sin2x ⋅ tgx, cos x(1 – cos2x), cos2x(1 – cos2x), … jest mniejsza od 3?
Odp.: x ∈ ( π3 ; π2 ) ∪ ( π2 ; π ) .
Zad. 25:
1 + tgx + tg 2 x +K+ tg n x +K
= 1 + sin 2 x .
n
1 − tgx + tg 2 x +K+( − 1) tg n x +K
*b) RozwiąŜ równanie tg2(x + y) + ctg2(x + y) = 1 – 2x – x2.
Odp.: a) x = kπ, gdzie k ∈ C; b) x = –1, y = 1 + π4 + kπ lub y = 1 − π4 + kπ , gdzie k ∈ C.
a) RozwiąŜ równanie
Zad. 26: (profil matematyczno-fizyczny)
Znajdź zbiór tych liczb rzeczywistych, które moŜna przedstawić w postaci sumy nieskończo1
1
1
nego ciągu geometrycznego 1 +
+
+K dla pewnej wartości zmiennej
2 +
x − 1 ( x − 1)
( x − 1) 3
x.
108
Odp.: A = ( 21 ;1) ∪ (1;+∞) .
Zad. 27: (profil matematyczno-fizyczny)
a) RozwiąŜ nierówność lim 2 −sin 3x + 4 −sin 3x +K+(2 n )
n →∞
− sin 3 x
≤ 1.
*b) WykaŜ, Ŝe jeŜeli równanie x3 + ax2 + bx + c = 0 ma trzy pierwiastki x1, x2, x3, to a2 ≥ 3b.
Odp.: a) x = π6 + 23 kπ , gdzie k ∈ C.
Zad. 28:
Suma wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego o wyrazach 1, x2 – 1, (x2 – 1)2, … jest
równa 2. Które wyrazy tego ciągu są mniejsze od 0,03125?
Odp.: Wszystkie wyrazy o numerach większych od 6.
Zad. 29:
Suma wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego o wyrazach 1, x2 – 1, (x2 – 1)2, … jest
równa 2. Które wyrazy tego ciągu są mniejsze od 0,03125?
Odp.: Wszystkie wyrazy o numerach większych od 6.
Zad. 30:
Dla jakich wartości parametru m równanie 2x + 2x – 1 + 2x – 2 + … = 22x – 1 + m ma dwa rozwiązania?
Odp.: m ∈ (0;2).
Zad. 31:
Wyznacz zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, których współrzędne spełniają nierówność
1
1 + log 2 ( x 2 + y 2 ) + log 22 ( x 2 + y 2 )+K ≤
.
log 2 ( x 2 + y 2 )
Odp.:
{( x, y) : 1 < x
2
}
+ y2 ≤ 2 .
Zad. 32:
Dana jest funkcja f(x) = 1 + (x2 – 5x + 5) + (x2 – 5x + 5)2 + …, gdzie prawa strona wzoru jest
sumą nieskończonego ciągu geometrycznego.
a) Znajdź dziedzinę funkcji f oraz wartości argumentów, dla których spełniona jest równość
f(x) = 1.
*b) Znajdź zbiór wartości funkcji f .
Odp.: a) Dziedziną funkcji f jest zbiór (1;2) ∪ (3;4). Równanie f(x) = 1 jest spełnione dla
5− 5
5+ 5
x=
lub x =
. b) Zbiorem wartości funkcji f jest przedział ( 21 ;+∞) .
2
2
Zad. 33:
a) Znajdź zbiór tych wartości x, dla których suma (x – 1) + (x – 1)2 + (x – 1)3 + … nieskończonego ciągu geometrycznego ma skończoną wartość. Oblicz tę wartość.
b) RozwiąŜ nierówność (x – 1) + (x – 1)2 + (x – 1)3 + … ≤ – 5.
*c) RozwiąŜ równanie |x – 1| + |x – 1|2 + |x – 1|3 + … = x.
109
Odp.: a) x ∈ (0;2), S =
c) x =
5 +1
lub x =
2
x −1
; b) Nierówność nie ma rozwiązań.
2−x
5 −1
.
2
110