DMAD - rozwiązywanie rekurencji A Zadania na ćwiczenia B

DMAD - rozwiązywanie rekurencji
Jak przygotować się do rozwiązywania zadań?
Przeczytaj rozdział 4.2 i 4.3 z podręcznika/wykładu.
Co powinnaś/powinieneś wiedzieć:
- Jak rozwiązać rekurencję jednorodną? (lemat 4.1 i twierdzenie 4.2)
- Jak rozwiązać niejednorodną liniową zależność rekurencyjną? (początek rozdziału 4.3)
Proponowane rozwiązania szczególne
(1)
Jeśli f (n)
i an
wielomian (zmiennej n) st. d 1 nie jest pierwiastkiem wiel. char.
wielomian (zmiennej n) st. d 1 jest k–krotnym pierwiastkiem wiel. char.
=Cβ n
β nie jest pierwiastkiem wiel. char.
n
=Cβ
β jest k–krotnym pierwiastkiem wiel. char.
(2)
to an =
Dd nd + Dd−1 nd−1 + . . . + D0
nk (Dd nd + Dd−1 nd−1 + . . . + D0 )
Aβ n
Ank β n
UWAGA: stała f (n) = C jest zarówno wielomianem st. 0 postaci f (n) = C jak i f (n) = C · 1n .
A
Zadania na ćwiczenia
Zadanie A.1. Znajdź wzór na n-ty wyraz ciągu danego rekurencją
an =
7an−1
,
n2
dla n ­ 1,
a0 = 13
i udowodnij go indukcyjnie.
Zadanie A.2. Rozwiąż równanie rekurencyjne.
a) an = 5an−1 − 6an−2 dla n ­ 2, a0 = 1, a1 = 0
b) an = 2an−1 − an−2 dla n ­ 2, a0 = 2, a1 = 5
Zadanie A.3. Rozwiąż równanie rekurencyjne
an = 5an−1 − 8an−2 + 4an−3 dla n = 3, 4, 5, . . ., z warunkami początkowymi a0 = 1, a1 = 1, a2 = 3. (wsk.:α1 = 1).
Zadanie A.4. Rozwiąż równanie rekurencyjne
a) an = 5an−1 − 6an−2 − 3 · 2n , dla n ­ 2, a0 = 1, a1 = 12
b) an = 2an−1 − an−2 + 6 dla n ­ 2, a0 = 3, a1 = 10
c) an = 9an−2 − 8n + 10 dla n ­ 2, a0 = 1, a1 = 20
B
Zadania na ćwiczenia - jeśli czas pozwoli
Zadanie B.1. Rozwiąż równanie rekurencyjne an = 6an−1 − 12an−2 + 8an−3 ,
a0 = 3, a1 = 12, a2 = 76.
Wsk.: zastosuj wzory skróconego mnożenia.
Zadanie B.2. Rozwiąż równanie rekurencyjne
a) a2n = 2a2n−1 + 10 · 7n , n ­ 1, a0 = 2 zakładając, że an ­ 0, dla wszystkich n;
a2
b) an = 64 an−1
, n ­ 2, a0 = 8, a1 = 1024;
n−2
1−n
c) an = n an−1 + n1 2n , n ­ 1, a0 = 3456;
d) an = nan−1 + n!, n ­ 1, a0 = 2.
C
Zadania do samodzielnej pracy w domu
Zadanie C.1. Znajdź wzór na n-ty wyraz ciągu danego rekurencją
n−1
a) an = 2an+2
, dla n ­ 1, a0 = 8;
an−1
b) an = 7 + 1, dla n ­ 1, a0 = 1;
1
c) an = an−1 + n(n+1)
, dla n ­ 1, a0 = 0;
d) an = 3an−1 + 4, dla n ­ 1, a0 = 4;
i udowodnij go indukcyjnie.
Zadanie C.2. Rozwiąż równanie rekurencyjne.
a) an = 4an−1 − 4an−2 dla n ­ 2, a0 = 6, a1 = 8
1
n ­ 3 z warunkami początkowymi
b) an = 4an−2 dla n ­ 2, a0 = 0, a1 = 4
c) an = 83 an−1 + an−2 , dla n ­ 2, a0 = −2, a1 = 4.
d) an = an−1 − 41 an−2 , dla n ­ 2, a0 = 12 , a1 = 12 .
Zadanie C.3. Rozwiąż równania rekurencyjnie:
a) an = 3an−1 − 2an−2 + 2n , dla n ­ 2, a0 = 4, a1 = 9.
b) an = 2an−1 − an−2 + 16 · 5n , dla n ­ 2, a0 = 0, a1 = 101.
c) an = an−1 + 8n, dla n ­ 1, a0 = 2;
d) an = 3an−1 + 3n , dla n ­ 2, a1 = 15
e) an = 2an−1 + 10 · 7n , dla n ­ 1, a0 = 4;
Zadanie C.4. Rozwiąż równanie rekurencyjne
an = 2an−1 + an−2 − 2an−3 dla n = 3, 4, 5, . . ., z warunkami początkowymi a0 = 3, a1 = 6, a2 = 0.
wsk. α1 = 2
Zadanie C.5. Rozwiąż równanie rekurencyjne
an = 3an−2 − 2an−3 dla n = 3, 4, 5, . . .,
z warunkami początkowymi a0 = 1, a1 = 2, a2 = 12.
wsk. α1 = −2
Zadanie C.6. Zadania 4.8–4.13 z podręcznika.
2
Odpowiedzi do niektórych zadań
C.2.
a)
b)
c)
d)
an
an
an
an
= (6 − 2n)2n dla n ­ 0;
= 2n − (−2)n dla n ­ 0;
= 3n − 3(− 13 )n dla n ­ 0;
= (1 + n)( 12 )n+1 dla n ­ 0;
C.3.
a)
b)
c)
d)
e)
an
an
an
an
an
= (1 + 2n)2n + 3 dla n ­ 0;
= n − 25 + 5n+2 dla n ­ 0;
= 4n2 + 4n + 2 dla n ­ 0;
= (n + 4)3n dla n ­ 1;
= 2 · 7n+1 − 5 · 2n+1 dla n ­ 0;
C.4. an = 2 · (−1)n+1 − 2n + 6, n ­ 0
C.5. an = 4n + (−2)n , n ­ 0
3