Podstawy przetwarzania sygnałów 6. Rozwijanie funkcji w szereg w

Podstawy przetwarzania sygnałów
6. Rozwijanie funkcji w szereg w bazie ortogonalnej — zadania
do samodzielnego rozwiązania
Zad. 6.1 Wykonaj wszystkie polecenia ćwiczenia 6.2, rozwijając funkcję w szereg cosinusów.
Zad. 6.2 Funkcję f (x) = x2 rozwiń jako funkcję 2π-okresową
1. w szereg sinusów,
2. w szereg cosinusów,
3. na przedziale [0, 2π].
4. Posługując się tymi rozwinięciami wyznacz sumy szeregów
∞
X
1
,
2
n=1 n
∞
X
(−1)n+1
,
n2
n=1
∞
X
1
.
2
n=1 (2n − 1)
5. Sprawdź tempo zbieżności do zera współczynników cn we wszystkich trzech przypadkach.
6. We wszystkich trzech przypadkach sprawdź zbieżność punktową w punkcie
x = π i x = 0.
Zad. 6.3 Funkcję f (x) = x
π
2
− x zdefiniowaną na przedziale 0, π2 rozwiń
1. w szereg sinusów,
2. w szereg cosinusów.
3. Czy oba te szeregi można różniczkować wyraz po wyrazie? Rozwiń f 0 (x) w szereg
sinusów i w szereg cosinusów.
Zad. 6.4 Rozwinąć w szereg cosinusów funkcję f (x) = sin ax dla 0 ¬ x ¬ π, gdzie a nie
jest liczbą całkowitą. Co otrzymamy, gdy a będzie całkowite?