Rozwiązania do zadań - Termin C5

Politechnika Gdańska
Wydział Elektrotechniki i Automatyki
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
Podstawy Automatykia
Laboratorium termin T10
Materiały pomocnicze – regulator LQR
Opracowanie:
Mieczysław A. Brdyś, prof. dr hab. inż.
Wojciech Kurek, mgr inż.
Gdańsk, maj 2010
W przypadku sterowania opartego na sprzężeniu od stanu obiektu, kluczowe dla jakości
działania układu jest odpowiednie wybranie położenia biegunów układu zamkniętego.
Umożliwia to uzyskanie zadowalającej dynamiki układu zamkniętego.
Niestety podejście oparte o ręczny wybór położenia biegunów układu zamkniętego nie
zapewnia optymalności otrzymanego układu. W tym celu został opracowany regulator
optymalny z kwadratowym wskaźnikiem jakości (LQR). Podejście to umożliwia określenie
optymalnej macierzy sprzężenia od stanu K umożliwiającej minimalizacje następującej
funkcji kosztów.

V    xT  t  Qx  t   u T  t  Ru  t   2 xT  t  Nu  t   dt
0
Gdzie macierze Q, R są diagonalnymi macierzami wag umożliwiającymi zmianę wpływu
poszczególnych zmiennych stanu i sterowao na przedstawione kryterium jakości. Natomiast
N jest dodatkową macierzą umożliwiająca uwzględnienie wpływu sterowania na stan
układu przy projektowaniu macierzy sprzężenia od stanu. Zostanie ona pominięta w tym
przypadku.
Dla przykładu układ z trzema zmiennymi stanu i dwoma wejściami wymagałby podania
poniższych macierzy wag.
 1
Q   0
 0
0
2
0
0
r 0 
0  , R   1

 0 r2 
3 
Odpowiedni dobór macierzy wag ma kluczowe znaczenie dla działania układu
wykorzystującego regulator LQR, ponieważ dobierając wagi można określid który
stan/sterowanie jest dla osoby projektującej regulator ‘droższy’ i dobrze byłoby
zminimalizowad jego wartości nawet kosztem pogorszenia pozostałych.
W tym przypadku prawo sterowania otrzymuje postad
u   Kx
Gdzie K opisane jest następującym wyrażeniem
K  R 1  BT P  N T 
W celu wyznaczenia macierzy P należy rozwiązao ciagłe równanie Riccatiego w postaci
AT P  PA   PB  N  R 1  BT P  N T   Q  0
Można w tym celu wykorzystad proste polecenie Matlaba lqr. Jego składnia jest następująca:
[K, P, eig]=lqr(A, B, Q, R, N)
Gdzie






K jest macierzą sprzężenia od stanu
P jest rozwiązaniem przedstawionego powyżej równania Riccatiego
Eig jest położeniem biegunów układu zamkniętego
A jest macierzą stanu układu
B jest macierzą wejśd układu
Q, R i N są macierzami wag.
Przykład
Jako przykład wykorzystania sterowania LQR wykorzystany zostanie dobrze Paostwu znany
układ wahadła z tłumieniem. Układ opisany jest następującym równaniem różniczkowym.
d 2

g
 d
 2  sin   2
2
dt
ml
l
ml dt
Zlinearyzowany układ opisany jest następującymi równaniami stanu
x  Ax  Bu
y  Cx
Gdzie macierze opisujące otrzymany układ są następujące
1
 0
0
1 0 
A
, B    ,C  


9,81 1
5 
0 1 
Następnie przeprowadzono symulacje dla dwóch różnych macierzy wag stanu Q.
1 0 
Q
, R 1
0 0,1
Oraz
1 0 
Q
, R 1
0 1 
Jak widad zmiana wagi odpowiedzialnej za drugą zmienna stanu w kryterium jakości działania
regulatora miała znaczący wpływ na przebiegi przejściowe prędkości kątowej wahadła (druga
zmienna stanu).
Dla pierwszego przypadku macierz sprzężenia od stanu miała postad
K   4,164 1,144
Dla tak dobranej wartości macierzy sprzężenia od stanu bieguny układu zamkniętego są następujące
1  3,88; 2  2,835
Dodatkowo została jeszcze wyznaczona macierz feedforward w celu umożliwienia realizacji wartości
zadanej przez prezentowany układ.
Fr  2, 2021
Ro1 = 1, Ro2 = 0.1
0.25
Polozenie zadane
Polozenie wahadla
Predkosc wahadła
0.2
0.15
0.1
0.05
0
-0.05
-0.1
-0.15
-0.2
-0.25
0
1
2
3
4
5
Czas [s]
6
7
8
9
10
Ro1 = 1, Ro2 = 1
0.25
Polozenie zadane
Polozenie wahadla
Predkosc wahadła
0.2
0.15
0.1
0.05
0
-0.05
-0.1
-0.15
-0.2
-0.25
0
1
2
3
4
5
Czas [s]
6
7
8
9
10