Tomasz Odrzygóźdż, Zad. D3. Jak słusznie zauważył Pan Wojciech

Tomasz Odrzygóźdż,
Zad. D3.
Jak słusznie zauważył Pan Wojciech Głogowski, aby teza była prawdziwa
trzeba dodatkowo założyć, że w ciele K zachodzi 1 + 1 6= 0. Są ciała, w
których 1 + 1 = 0 (np. Z2 ) - takie ciała nazywa się ciałami charakterystyki
dwa. Proszę popatrzeć na kontrprzykład znalezniony przez Pana Wojciecha
dla ciała charakterystyki dwa.
Oznaczmy przez M przestrzeń macierzy symetrycznych, zaś przez N przestrzeń macierzy antysymetrycznych. Załóżmy zatem, że w naszym ciele 1 +
1 6= 0. Dzięki temu założeniu nasze ciało zawiera liczbę 2, a skoro zawiera
2 to zawiera też odwrotność 2, czyli 21 . Wobec tego możemy w naszym ciele
dzielić przez 2. Niech A ∈ Kn,n będzie dowolną macierzą. Zauważmy, że:
A=
A + AT
A − AT
+
2
2
T
T
Macierz A+A
jest symetryczna, zaś A−A
antysymetryczna. Zatem każdą
2
2
macierz można przedstawić jako sumę macierzy symetrycznej i antysymetrycznej, wobec tego M + N = Kn,n .
Niech A ∈ M ∩ N . Wtedy A = AT oraz A = −AT . Zatem AT = −AT ,
wobec czego macierz AT jest macierzą zerową, czyli A jest macierzą zerową.
Udowodniłem tym samym, że M ∩ N = {0}.
Ponieważ M + N = Kn,n oraz M ∩ N = {0} otrzymujemy, iż Kn,n = M ⊕ N .
1