Metod numeryczne I Lista 6 pomocniczych zadań do wykładu

Metod numeryczne I
Lista 6 pomocniczych zadań do wykładu - 26 listopada 2001 r.
1. Niech x ∈ Rn . Udowodnić, że
||x||∞ ¬ ||x||2 ¬
√
n||x||∞ .
2. Niech A ∈ Rn×n i niech istnieje macierz ortogonalna Q taka, że
QT AQ = diag(λj ), gdzie λj są wartościami własnymi macierzy A.
Zauważyc, że kolumny macierzy Q są odpowiadającymi im wektorami
własnymi macierzy A i QT Q = I. Udowodnić, że wówczas
||A||F = ||diag(λj )||F ,
gdzie || · ||F jest normą Frobeniusa. Skorzystać z tej własności do udo√
wodnienia, że ||A||F ¬ n||A||2 , gdzie || · ||2 jest normą spektralną.
Wskazówka. Co norma spektralna ma wspólnego z wartościami własnymi macierzy A, spełniającej powyższe założenie?
Czy dla każdej macierzy A istnieje macierz ortogonalna Q spełniająca
powyższe założenie? Podać przykłady ilustrujące odpowiedź.
3. Wskaźnikiem uwarunkowania zadania rozwiązania układu równań liniowych Ax = b o nieosobliwej macierzy układu jest wyrażenie
cond(A) = ||A|| ||A−1 ||. Obliczyć wskaźniki uwarunkowania, korzystając z norm || · ||1 , || · ||2 i || · ||∞ , dla następujących macierzy
"
a+1
a
a
a−1
"
#
,
"
0 1
−2 0
#
,
"
a 1
1 1
#
.
#
1
2
4. Niech A =
. Porównać rozwiązanie x układu Ax = b
1 2.01
z rozwiązaniem x + ∆x układu A(x + ∆x) = b + ∆b,
gdzie b = [4, 4]T , ∆b = [−1, 1]T .
"
#
10−1 1
5. Niech A =
, b = [1, 3]T . Rozwiązać układ Ax = b me1
2
todą eliminacji Gaussa (bez wyboru elementu głównego). Obliczenia
wykonać w arytmetyce zmiennopozycyjnej dziesiętnej 9-cyfrowej. Obliczyć czynnik wzrostu i wskaźnik uwarunkowania zadania rozwiązywania układu równań liniowych. Niech
(k)
ρ=
maxi,j,k |aij |
,
maxij |aij |
(k)
gdzie Ak = [aij ] są macierzami otrzymywanymi w kolejnych krokach
eliminacji, k = 1, 2, . . . , n, A1 = A. Parametr ρ nazywamy czynnikiem
wzrostu (growth factor).
Krystyna Ziętak