Konwersatorium 2 i 3.

Konwersatorium 2 i 3.
Zadanie 2.1 Wyznacz A ∪ B, A ∩ B, A \ B, B \ A, A0 , B 0 , A4B, A × B, B × A, gdzie:
1. A = (1, 4), B = [2, 5],
2. A = {1, 4}, B = {2, 5},
3. A = [1, 4], B = (2, 5),
4. A = R, B = R \ {0},
5. A = [−4, 2], B = [1, 6],
6. A = (0, 2), B = R,
7. A = (0, 4), B = [7, 8],
8. A = (−2, 3], B = [1, 6),
9. A = ∅, B = R,
10. A = (0, 2), B = ∅.
Zadanie 2.2 Znaleźć zbiory A ∪ B, A ∩ B, A \ B, B \ A, A4B, A × B, B × A, gdzie
1. A = {x ∈ N : x < 3}, B = {x ∈ N : x ­ 3},
2. A = {x ∈ N : x ¬ 0}, B = {x ∈ N : x2 = 4},
3. A = {x ∈ R : x < 1}, B = {x ∈ R : x2 = 1},
4. A = {x ∈ R : x < 1}, B = {x ∈ R : x < 2}.
Zadanie 2.3 Sprawdzić, czy poniższe równości zachodzą dla dowolnych zbiorów.
1. (A ∪ B) \ B = A,
2. (A \ B) ∪ B = A,
3. A \ B = A \ (A ∩ B),
4. (A ∩ B) ∪ (A \ B) = A
5. (A ∪ B ∪ C) \ (A ∪ B) = C,
6. A \ (B ∪ C) = (A \ B) ∪ (A \ C),
7. A \ (B ∩ C) = (A \ B) ∩ (A \ C).
Zadanie 2.4 a) Podać przykład niepustych zbiorów A i B, dla których nie zachodzi równość (A \ B) ∪ B = A.
b) Podać przykład niepustych zbiorów A i B, dla których zachodzi równość (A \ B) ∪ B = A.
Zadanie 2.5 Podać własności różnicy sytmetrycznej
Zadanie 2.6 (*) Zbadać, czy dla dowolnych zbiorów A, B, C prawdziwe są implikacje. Jeśli nie, podać odpowiednie przykłady.
1. (A ∩ B = A ∩ C) ⇒ B = C,
1
2. (A ∪ B = A ∪ C) ⇒ B = C,
3. (A \ B = A \ C) ⇒ B = C,
4. (B \ A = C \ A) ⇒ B = C,
5. (A 4 B = A 4 C) ⇒ B = C.
Zadanie 2.7 Rozwiąż równanie
1. {1, 3, 4, 6, 7}4A = {2, 3, 5, 6, 7, 8}
2. A4{1, 3, 4, 5, 8} = {1, 2, 3, 7, 8, 9},
3. [0, 1] 4 A = [−1, 12 ),
4. R4A = [2, 7],
5. (1, 3)4A = ∅,
6. [5, 7]4A = R,
7. (−∞, 1)4A = (2, 3),
Zadanie 2.8 Niech A = {1, 3, 5} , B = {2, 4}, C = {1, 5}. Znaleźć zbiór D spełniający warunek
1. (A 4 D) 4 B = C.
2. A4C = B4D’
3. (C4D)4C = B4A
4. A4(A4C) = (A4C)4(C4D)
Zadanie 2.9 Zapisz za pomocą funktorów logicznych i kwantyfikatorów następujące zdania
1. Nie istnieje liczba rzeczywista, której kwadrat byłby ujemny.
2. a nie jest kwadratem żadnej liczby rzeczywistej.
3. Dla dowolnej liczby naturalnej istnieje liczba naturalna większa od niej.
4. Liczba y jest pierwiastkiem stopnia trzeciego z pewnej liczby rzeczywistej.
5. Każda liczba naturalna jest większa od -2.
6. x jest liczbą parzystą.
7. x jest liczbą nieparzystą.
8. Kwadrat dowolnej liczby a większej niż 1 jest większy od x.
Zadanie 2.10 Określ wartość logiczną zdania i podaj jego zaprzeczenie:
1. Wszyscy ludzie mają serca.
2. Istnieje człowiek, który mówi i słyszy.
3. Istnieje człowiek, który ma czerwoną koszulkę.
4. Każdy słoń ma dwie trąby.
2
5. ∀ x2 > 0.
x∈R
6. ∀ (x + 1)2 > 0.
x∈R
7. ∃ n < 2.
n∈N
√
8. ∀ ( x ­ 0 ∧ x < 0).
x∈R
9. ∃ (x2 = 2 ∨ x < 0).
x∈R
Zadanie 2.11 Dla podanych zdań 1)-4) wykonaj wskazane w podpunktach polecenia.
a) Napisz jak brzmi to zdanie bez użycia implikacji,
b) Napisz jak brzmi to zdanie po użyciu prawa kontrapozycji,
c) Zapisz zaprzeczenie wyjściowego zdania.
d) Napisz wartość logiczną wyjściowego zdania.
1. Jeśli każda krowa ma 4 nogi, to każdy słoń ma dwie trąby.
2. Jeśli każdy poniedziałek następuje po niedzieli, to istnieje państwo bez stolicy.
3. Jeśli Łódź jest stolicą Polski, to każdy człowiek ma mózg.
4. Jeśli istnieje kot, który ma rogi, to każda żaba jest zielona.
Zadanie 2.12 Znajdź sumy i iloczyny uogólnione rodzin {An }n∈N
1. An = {x ∈ R : − n1 ¬ x ¬
2. An = {x ∈ R : 0 ¬ x <
1
n}
1
n}
= [− n1 , n1 ],
= [0, n1 ),
3. An = (0, n1 ),
4. An = [0, 1 + n1 ],
5. An = [− n1 , n2 ],
1
6. An = [− n+1
, 1],
7. An = (n, n + 1],
8. An = [n, +∞),
9. An = [−n, n].
3