1 Macierze i wyznaczniki - Informacje dla uzytkowników serwera

1
Macierze i wyznaczniki
1.1
Definicje, twierdzenia, wzory
1. Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m × n, gdzie m ∈ N oraz n ∈ N, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z mn liczb rzeczywistych (zespolonych) ustawionych w m
wierszach i n kolumnach.
Element macierzy A stojący w i-tym wierszu oraz w j-tej kolumnie oznaczamy symbolem aij .

a11
a21
..
.
· · · a1j
· · · a2j
..
...
.
· · · aij
..
..
.
.
a12
a22
..
.





A=
 a
 i1
 .
 .
 .
ai2
..
.
· · · a1n
· · · a2n
..
...
.
· · · ain
..
..
.
.
am1 am2 · · · amj · · · amn












2. Macierze A i B są równe, gdy mają takie same wymiary m × n oraz aij = bij dla każdego
i ∈ {1, 2, . . . , m} oraz j ∈ {1, 2, . . . , n}.
3. Rodzaje macierzy.
(a) Macierz zerowa wymiaru m × n jest to macierz, której wszystkie elementy są równe
0; oznaczamy ją symbolem 0m×n lub 0, gdy znamy jej wymiar.
(b) Macierz kwadratowa stopnia n jest to macierz wymiaru n × n;
elementy a11 , a22 , . . . , ann macierzy kwadratowej tworzą jej główną przekątną.






a11 a12
a21 a22
..
..
.
.
an1 an2
· · · a1n
· · · a2n 

. . . .. 

. 
· · · ann

(c) Macierz trójkątna dolna jest to macierz kwadratowa stopnia n ­ 2, której wszystkie
elementy stojące nad główną przekątną są równe 0.









a11 0
0
a21 a22 0
a31 a32 a33
..
..
..
.
.
.
an1 an2 an3
1
···
···
···
..
.
0
0
0
..
.
· · · ann









(d) Macierz trójkątna górna jest to macierz kwadratowa stopnia n ­ 2, której wszystkie
elementy stojące pod główną przekątną są równe 0.









a11 a12 a13
0 a22 a23
0
0 a33
..
..
..
.
.
.
0
0
0

· · · a1n

· · · a2n 

· · · a3n 

. . . .. 
. 

· · · ann
(e) Macierz diagonalna jest to macierz kwadratowa stopnia n, której wszystkie elementy
nie stojące na głównej przekątnej są równe 0.









a11 0
0
0 a22 0
0
0 a33
..
..
..
.
.
.
0
0
0
···
···
···
..
.
0
0
0
..
.
· · · ann









(f) Macierz jednostkowa jest to macierz diagonalna stopnia n, której wszystkie elementy
stojące na głównej przekątnej są równe 1; macierz jednostkową stopnia n oznaczamy
symbolem In .


1 0 0 ··· 0


 0 1 0 ··· 0 



In = 
 0 0 1 ··· 0 
 . . . .

 .. .. ..
. . ... 


0 0 0 ··· 1
4. Działania na macierzach.
(a) Niech A = [aij ] oraz B = [bij ] będą macierzami wymiaru m × n. Sumą (różnicą)
macierzy A i B nazywamy macierz C = [cij ] wymiaru m × n, której elementy określone
są wzorem
cij a.ij ± bij
dla i ∈ {1, 2, . . . , m} oraz j ∈ {1, 2, . . . , n}. Piszemy C = A ± B.
2
(b) Niech A = [aij ] będzie macierzą wymiaru m × n, zaś α będzie liczbą rzeczywistą lub zespoloną. Iloczynem macierzy A przez liczbę α nazywamy macierz C = [cij ] wymiaru
m × n, której elementy określone są wzorem
cij = αaij
dla i ∈ {1, 2, . . . , m} oraz j ∈ {1, 2, . . . , n}. Piszemy C = αA.
(c) Niech macierz A = [aij ] ma wymiar m × n, a macierz B = [bij ] ma wymiar n × k.
Iloczynem macierzy A i B nazywamy macierz C = [cij ] wymiaru m × k, której
elementy określone są wzorem
cij = ai1 b1j + ai2 b2j + · · · + ain bnj
dla i ∈ {1, 2, . . . , m} oraz j ∈ {1, 2, . . . , k}. Piszemy C = AB.
UWAGA! Mnożenie macierzy nie jest przemienne.
5. Macierzą transponowaną do macierzy A = [aij ] wymiaru m × n nazywamy macierz B =
[bij ] wymiaru n × m, której elementy określone są wzorem
bij a.ji
dla i ∈ {1, 2, . . . , n} oraz j ∈ {1, 2, . . . , m}. Macierz transponowaną do macierzy A oznaczamy
symbolem AT .
6. Wyznacznikiem rzeczywistej (zespolonej) macierzy kwadratowej A = [aij ] nazywamy liczbę rzeczywistą (zespoloną) det A, która określona jest wzorem rekurencyjnym:
(a) jeżeli macierz A ma stopień n = 1, to det A = a11 ;
(b) jeżeli macierz A ma stopień n ­ 2, to
det A = (−1)1+1 a11 det A11 + (−1)1+2 a12 det A12 + · · · + (−1)1+n a1n det A1n ,
gdzie Aij oznacza macierz stopnia n − 1 otrzymaną z macierzy A przez skreślenie i-tego
wiersza oraz j-tej kolumny.
Wyznacznik macierzy A oznaczamy także symbolem det[aij ] lub |A|.
3
7. Reguła obliczania wyznaczników macierzy stopnia drugiego.
"
det
a11 a12
a21 a22
#
= a11 a22 − a21 a12
8. Reguła Sarrusa obliczania wyznaczników macierzy stopnia trzeciego.


a11 a12 a13

det  a21 a22 a23 

a31 a32 a33
= a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 − a31 a22 a13 − a32 a23 a11 − a33 a21 a12
UWAGA! Reguła ta nie przenosi się na wyznaczniki wyższych stopni.
9. Niech A = [aij ] będzie macierzą kwadratową stopnia n ­ 2. Dopełnieniem algebraicznym
elementu aij macierzy A nazywamy liczbę
Dij (. − 1)i+j det Aij ,
gdzie Aij oznacza macierz stopnia n − 1 otrzymaną przez skreślenie i-tego wiersza oraz j-tej
kolumny macierzy A.
10. Rozwinięcie Laplace’a wyznacznika.
Niech A = [aij ] będzie macierzą kwadratową stopnia n ­ 2 oraz niech i, j będą ustalonymi
liczbami naturalnymi takimi, że i, j ∈ {1, 2, . . . , n}. Wtedy wyznacznik macierzy A można
obliczyć na podstawie następujących wzorów:
(a) det A = ai1 Di1 + ai2 Di2 + · · · + ain Din ; wzór ten nazywamy rozwinięciem Laplace’a
wyznacznika względem i-tego wiersza;
(b) det A = a1j D1j + a2j D2j + · · · + anj Dnj ; wzór ten nazywamy rozwinięciem Laplace’a
wyznacznika względem j-tej kolumny.
11. Jeżeli A = [aij ] jest macierzą diagonalną lub macierzą trójkątną dolną lub macierzą trójkątną
górną stopnia n, to jej wyznacznik jest równy iloczynowi elementów stojących na głównej
przekątnej tej macierzy, tzn. det A = a11 · a22 · · · ann .
4
12. Własności wyznaczników.
(a) Wyznacznik macierzy kwadratowej zawierającej kolumnę złożoną z samych zer lub wiersz
złożony z samych zer jest równy 0, tzn.
a11
a21
.
.
.
an1
a12 · · ·
a22 · · ·
.. . .
.
.
an2 · · ·
a
11
a21
..
.
0
.
.
.
an1
0 · · · a1n 0 · · · a2n .. . .
. =0
. .. .
0 · · · ann oraz
a12 · · · a1n a22 · · · a2n .. . .
. . .. .
= 0.
0 · · · 0 .. . .
. . .. .
an2 · · · ann (b) Wyznacznik macierzy kwadratowej zawierającej dwie jednakowe kolumny lub dwa jednakowe wiersze jest równy 0, tzn.
a11
a21
.
.
.
an1
· · · c1
· · · c2
. . . ..
.
· · · cn
· · · c1
· · · c2
. . . ..
.
· · · cn
· · · a1n · · · a2n . . . .. = 0
. · · · ann oraz
a11 a12
..
..
.
.
c1 c2
..
..
.
.
c1
..
.
c2
..
.
· · · a1n . ..
. .. · · · cn . . . .. = 0.
. · · · cn . ..
. .. an1 an2 · · · ann (c) Wyznacznik macierzy kwadratowej zmieni znak, jeżeli przestawimy w niej między sobą
albo dwie kolumny albo dwa wiersze, tzn.
a11
a21
.
.
.
an1
· · · a1i
· · · a2i
. . . ..
.
· · · ani
oraz
· · · a1j
· · · a2j
.
..
. ..
· · · anj
· · · a1n · · · a2n =
−
.. ..
. . · · · ann a11 a12
..
..
.
.
ai1 ai2
..
..
.
.
a11 · · · a1j
a21 · · · a2j
.. . .
.
. ..
.
an1 · · · anj
· · · a1n .
..
. .. · · · ain .. = − ..
. . · · · ajn . . . .. . aj1 aj2
..
..
.
.
an1 an2 · · · ann 5
a11 a12
..
..
.
.
aj1 aj2
..
..
.
.
ai1
..
.
an1
ai2
..
.
· · · a1i
· · · a2i
.
..
. ..
· · · ani
· · · a1n · · · a2n . ..
. .. · · · ann · · · a1n . ..
. .. · · · ajn . . . .. .
. · · · ain . ..
. .. an2 · · · ann (d) Jeżeli wszystkie elementy pewnej kolumny lub pewnego wiersza macierzy kwadratowej
posiadają wspólny czynnik, to można go wyłączyć przed wyznacznik tej macierzy, tzn.
a11
a21
.
.
.
an1
oraz
a11
a21
..
.
a12 · · · ca1j
a22 · · · ca2j
.. . .
..
.
.
.
an2 · · · canj
· · · a1n · · · a2n . . . .. = c . · · · ann
· · · a1n
· · · a2n
..
...
.
· · · cain
..
..
.
.
a12
a22
..
.
cai1 cai2
..
..
.
.
an1 an2 · · · ann
a11 a12
a21 a22
..
..
.
.
an1 an2
a
11
a21
..
= c .
a
i1
.
.
.
an1
· · · a1j
· · · a2j
. . . ..
.
· · · anj
· · · a1n · · · a2n . . . .. . · · · ann a12 · · · a1n a22 · · · a2n .. . .
. . .. .
.
ai2 · · · ain .. . .
. . .. .
an2 · · · ann (e) Jeżeli elementy pewnej kolumny (lub pewnego wiersza) macierzy kwadratowej są sumami dwóch składników, to wyznacznik takiej macierzy jest równy sumie wyznaczników
dwóch macierzy, w których elementy tej kolumny (lub tego wiersza) są zastąpione tymi
składnikami, tzn.
a11
a21
.
.
.
a
· · · a1j + a01j
· · · a2j + a02j
..
...
.
· · · anj + a0nj
oraz
a11
a21
..
.
a + a0
i1
i1
..
.
an1
n1
· · · a1n · · · a2n . . . .. = . · · · ann a12
a22
..
.
···
···
..
.
a11 · · · a1j
a21 · · · a2j
.. . .
.
. ..
.
an1 · · · anj
a1n
a2n
..
.
ai2 + a0i2 · · · ain + a0in
..
..
..
.
.
.
an2
···
ann
· · · a1n · · · a2n . . . .. +
. · · · ann a
11
a21
..
= .
a
i1
.
.
.
an1
a11 · · · a01j
a21 · · · a02j
.. . .
.
. ..
.
an1 · · · a0nj
a12 · · · a1n a11
a22 · · · a2n a21
.. . .
. .
. .. ..
.
+
ai2 · · · ain a0i1
.. . .
. .
. .. ..
.
an2 · · · ann an1
· · · a1n · · · a2n . . . .. . · · · ann a12 · · · a1n a22 · · · a2n .. . .
. . .. .
.
a0i2 · · · a0in .. . .
. . .. .
an2 · · · ann (f) Wyznacznik macierzy kwadratowej nie zmieni się, jeżeli do dowolnej kolumny tej macierzy dodamy kombinację liniową pozostałych kolumn lub do dowolnego jej wiersza dodamy kombinację liniową pozostałych wierszy. (Kombinacją liniową wektorów v1 , v2 , . . . , vn
nazywamy wektor v = a1 v1 +a2 v2 +· · ·+an vn , gdzie a1 , a2 , . . . , an są dowolnymi liczbami
rzeczywistymi.)
6
(g) det A = det AT dla dowolnej macierzy kwadratowej A.
(h) Twierdzenie Cauchy’ego.
Jeżeli A i B są macierzami kwadratowymi tego samego stopnia, to det(A · B) = det A ·
det B.
(i) Dla dowolnej macierzy kwadratowej A oraz dowolnego n ∈ N prawdziwa jest równość
det (An ) = (det A)n .
13. Niech A będzie macierzą kwadratową stopnia n. Macierzą odwrotną do macierzy A nazywamy macierz A−1 spełniającą warunek AA−1 = A−1 A = In , gdzie In jest macierzą
jednostkową stopnia n. Jeżeli macierz A posiada macierz odwrotną A−1 , to macierz A nazywamy odwracalną. Macierz odwrotna jest wyznaczona jednoznacznie.
14. Macierz kwadratową A nazywamy macierzą nieosobliwą, jeżeli det A 6= 0. W przeciwnym
przypadku mówimy, że macierz A jest osobliwa.
15. Twierdzenie o macierzy odwrotnej.
(a) Macierz kwadratowa jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest nieosobliwa.
(b) Jeżeli macierz kwadratowa A = [aij ] jest nieosobliwa, to
A−1 =
1
[Dij ]T ,
det A
przy czym [Dij ] oznacza macierz dopełnień algebraicznych elementów aij macierzy A.
16. Własności macierzy odwrotnych.
Jeżeli macierze A i B są tego samego stopnia i są odwracalne oraz α ∈ C \ {0}, n ∈ N, to
macierze A−1 , AT , AB, αA, An są również odwracalne i zachodzą następujące równości:
(d) (AB)−1 = B −1 A−1 ,
(a) det(A−1 ) = (det A)−1 ,
−1
(b) (A−1 )
−1
(c) (AT )
(e) (αA)−1 = α1 A−1 ,
= A,
n
T
(f) (An )−1 = (A−1 ) .
= (A−1 ) ,
7