WYKŁAD 2: MACIERZE I WYZNACZNIKI Definicja 1. Macierzą

WYKŁAD 2: MACIERZE I WYZNACZNIKI
Definicja 1. Macierzą prostokątną o wymiarze m × n nazywamy funkcję, która każdej
parze (i, j) liczb naturalnych (i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., n) przyporządkowuje dokładnie
jedną liczbę rzeczywistą. Mamy:
[aij ]m×n : {1, 2, ..., m} × {1, 2, ..., n} → R.



[ai,j ]m×n = 

a11
a21
..
.
a12
a22
..
.
. . . a1n
. . . a2n
..
.





am1 am2 . . . amn
Dwie macierze A = [aij ]m×n , B = [bij ]m0 ×n0 są równe, gdy mają ten sam wymiar, czyli
m = m0 , n = n0 oraz aij = bij dla każdego i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., n.
Sumą macierzy A = [aij ]m×n , B = [bij ]m×n nazywamy macierz C = [aij + bij ]m×n .
Iloczynem macierzy A = [aij ]m×n przez liczbę rzeczywistą λ nazywamy macierz λA =
[λaij ]m×n .
Macierz przeciwną określamy następująco: −A = (−1)A.
Przykład:
Iloczynem macierzy A = [aij ]m×p przez macierz B = [bij ]p×n nazywamy macierz C =
[cij ]m×n taką, że:
cij = Σpk=1 aik bkj = ai1 b1j + ai2 b2j + . . . + aip bpj
1
Mówiąc obrazowo elementy i−tego wiersza są wymnażane przez elementy j− tej kolumny.
Przykład:
Własności działań na macierzach (λ ∈ R):
A+B =B+A
A + (B + C) = (A + B) + C
λ1 (λ2 A) = (λ1 λ2 )A
λ(A + B) = λA + λB
λ(AB) = (λA)B = A(λB)
A(BC) = (AB)C
A(B + C) = AB + AC
AB 6= BA
UWAGA:
2
Definicja 2. Macierzą transponowaną macierzy A = [aij ]m×n nazywamy macierz
AT = [aji ]n×m
Przykład:
Definicja 3. Macierzą jednostkową E nazywamy
pująco:

1 0 ...
 0 1 ...

E =  .. ..
 . .
macierz kwadratową określoną nastę-
0
0
..
.
0 0 ... 1





n×n
Macierz jednostkowa jest elementem neutralnym w zbiorze macierzy kwadratowych z
działaniem - mnożenia macierzy przez macierze, czyli:
AE = EA = A
WYZNACZNIKI MACIERZY
Wyznacznik macierzy (kwadratowych) określamy następująco:
det [a11 ] = a11
a11 a12
det
= a11 a22 − a21 a12
a21 a22
 a11 a12 a13 a11 a12
a11 a12 a13
det  a21 a22 a23  = a21 a22 a23 a21 a22 =
a31 a32 a33 a31 a32
a31 a32 a33
= a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 − a31 a22 a13 − a32 a23 a11 − a33 a21 a12

Definicja 4. Minorem Mij macierzy A nazywamy wyznacznik macierzy powstałej z macierzy A przez skreślenie i-tego wiersza i j-tej kolumny.
3
Przykład:
Definicja 5. Dopełnienie algebraiczne Aij elementu aij macierzy A określamy następująco:
Aij = (−1)i+j Mij
Definicja 6. wyznacznika macierzy stopnia n
det A = a11 A11 + a12 A12 + . . . + a1n A1n
Twierdzenie 1. Laplace’a
Wyznacznik macierzy A = [aij ] można rozwijać względem dowolnego wiersza i =
1, 2, ..., n, czyli
det A = ai1 Ai1 + ai2 Ai2 + . . . + ain Ain
lub względem dowolnej kolumny j = 1, 2, ..., n, czyli
det A = a1j A1j + a2j A2j + . . . + anj Anj
Przykłady:
4
Własności wyznaczników:
1. det A = det AT
2. Jeżeli elementy dowolnego wiersza (kolumny) pomnożymy przez liczbę λ, to wyznacznik tej macierzy zostanie pomnożony przez λ.
Przykład:
3. Jeżeli w macierzy każdy element pewnego wiersz (kolumny) jest równy 0, to wyznacznik tej macierzy też jest równy 0.
4. Jeżeli do elementów ustalonego wiersza (kolumny) dodamy odpowiednie elementy
innego wiersza (kolumny) pomnożone przez dowolną liczbę λ, to wyznacznik się nie
zmieni.
Przykład:
5. Jeżeli elementy ustalonego wiersza (kolumny) macierzy są odpowiednio proporcjonalne do elementów innego wiersza (kolumny), to wyznacznik tej macierzy jest
równy 0.
Przykład:
5
Definicja 7. Macierzą dołączoną macierzy kwadratowej A = [aij] nazywamy macierz
AD = [Aji ]
Macierz dołączona AD spełnia równość: AAD = AD A = (det A)E.
Definicja 8. Macierz A nazywamy nieosobliwą, jeżeli det A 6= 0.
Definicja 9. Macierzą odwrotną macierzy nieosobliwej A nazywamy macierz A−1 taką
że:
A−1 A = AA−1 = E
Twierdzenie 2. Dla dowolnej macierzy nieosobliwej A istnieje dokładnie jedna macierz
odwrotna A−1 i
AD
A−1 =
det A
Stąd
T

A11 A12 . . . A1n

1 
 A21 A22 . . . A2n 
A−1 =
 ..
..
.. 
det A  .
.
. 
An1 An2 . . . Ann
Przykład:
6