2 - Wydział Elektrotechniki i Automatyki

Politechnika Gdańska
Wydział Elektrotechniki i Automatyki
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
SYSTEMY DYNAMICZNE
Odpowiedzi czasowe ciągłych systemów dynamicznych
Zadania do ćwiczeń – Termin T1
Opracowanie:
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Michał Grochowski, dr inż.
Robert Piotrowski, dr inż.
Zadanie 1
Dokonać transformaty Laplace’a systemów opisanych następującymi równaniami
różniczkowymi:
a).
3
d y (t )
− 4 y (t ) = 2 u (t )
dt
(1a)
z warunkiem początkowym: y ( 0 ) = 5 .
b).
d 3 y (t )
d y (t )
d u (t )
−2
+6
− 5 y (t ) =
+ 3u ( t )
3
dt
dt
dt
z warunkami początkowymi: y ( 0 ) = 1 , y& ( 0 ) =
d y (t )
dt
= 2 , y&& ( 0 ) =
t =0
(1b)
d 2 y (t )
dt 2
=4
t =0
i u (0 ) = 5 .
Zadanie 2
Stosując rozkład na ułamki proste znaleźć oryginał następujących funkcji:
a).
F (s ) =
s −1
(s + 2 )
2
(2a)
b).
F (s ) =
s +6
(s − 2 ) ⋅ s 2
(2b)
Sprawdzić uzyskane rozwiązanie w środowisku MATLAB korzystając z poleceń
syms i ilaplace.
Zadanie 3
Dany jest następujący ciągły system dynamiczny:
a).
5
2s + 1
(3a)
2
4s + 3s − 1
(3b)
G (s ) =
b).
G (s ) =
2
Dla każdego z systemów, korzystając ze środowiska Matlab należy:
1. Znaleźć jednostkową odpowiedź skokową.
2. Zmodyfikować system dynamiczny dodając biegun:
s1 = – 1,
s2 = – 10,
s3 = 2,
s4 = 8,
s5,6 = – 1± j4,
s7,8 = 2± j6.
Naszkicować jednostkowe odpowiedzi skokowe zmodyfikowanych systemów i
porównać wyniki z tymi uzyskanymi w pkt. 1.
3. Zmodyfikować system dynamiczny dodając zero:
o1 = – 3,
o2 = – 12,
s3 = 1,
o4 = 6,
o5,6 = – 2± j3,
o7,8 = 4± j7.
Naszkicować jednostkowe odpowiedzi skokowe zmodyfikowanych systemów i
porównać wyniki z tymi uzyskanymi w pkt. 1.
UWAGA:
Wykresy odpowiedzi skokowej systemu oraz rozmieszczenie zer i biegunów
przedstawiać na jednym „panelu z wykresami” (skorzystać z poleceń step i pzmap).
4. Odpowiedzieć na następujące pytania:
O jakich własnościach systemu dynamicznego decydują jego bieguny ?
O jakich własnościach systemu dynamicznego decydują jego zera ?
Dla Zadań 4 – 5 należy:
1. Znaleźć opis systemu w przestrzeni stanu (równania stanu i wyjścia).
2. Narysować schemat blokowy systemu zaznaczając poszczególne zmienne
stanu, sterowanie i wyjście.
3. Znaleźć jednostkową odpowiedź skokową (składowa swobodna zmiennych
stanu + składowa wymuszona zmiennych stanu i wyjście) systemu.
4. Zilustrować graficznie w środowisku MATLAB wyniki uzyskane w punkcie 3.
Dodatkowo dla Zadania 5 należy:
5. Korzystając ze środowiska Matlab i zmieniając wartości parametrów systemu,
dobrać te parametry tak, aby odpowiedź skokowa miała charakter:
a. oscylacji gasnących;
b. oscylacji stałych niegasnących;
c. aperiodyczny o krótszym czasie ustalania się sygnału wyjściowego niż
dla początkowych wartości parametrów.
d. oscylacji rosnących niegasnących.
Zinterpretować uzyskane wyniki.
Zadanie 4
Dany jest model matematyczny obwodu elektrycznego (Rysunek 1) postaci:
R ⋅C ⋅
du wy ( t )
dt
+ u wy ( t ) = u we ( t )
(4)
z warunkiem początkowym: u wy ( 0 ) = 50V .
R
iR(t)
iC(t)
uR(t)
uwe(t)
iobc(t)
uC(t)
C
uwy(t)
Rysunek 1. Schemat obwodu elektrycznego
gdzie:
R = 100 Ω , C = 0,005 F.
Niech zmienną stanu będzie x ( t ) = u wy ( t ) . Jako wejście systemu przyjąć u we ( t ) ,
jako wyjście x ( t ) .
Zadanie 5
Dany jest model matematyczny układu mechanicznego (Rysunek 2) postaci:
m⋅
d 2 y (t )
d y (t )
+β⋅
+ k ⋅ y (t ) = f (t )
2
dt
dt
z warunkami początkowymi: y ( 0 ) = 1 i y& ( 0 ) =
d y (t )
dt
(5)
=0.
t =0
f(t)
m
k
y
B
Rysunek 2. Schemat układu mechanicznego
gdzie:
f(t) – siła działająca na masę,
y(t) – przesunięcie układu w osi pionowej,
m = 1 kg – masa układu,
k = 2 kg/s2 – współczynnik sprężystości układu,
β = 3 kg/s – współczynnik tłumienia układu.
Niech zmiennymi stanu będą: x 1 ( t ) = y ( t ) i x 2 ( t ) =
przyjąć f ( t ) , jako wyjście x 1 ( t ) .
d y (t )
dt
. Jako wejście systemu