gr.B

Imię i nazwisko …………………………………………………………………….
klasa 3B
Geometria analityczna
22.02.2016
Grupa B
17
Zadanie 1. (6 pkt)
Punkty – –
–
tworzą trójkąt
.
a) Wyznacz współrzędne trójkąta
, będącego obrazem trójkąta
w przekształceniu, w którym
punkt jest obrazem punktu w symetrii osiowej względem prostej
– , punkt jest obrazem
punktu w translacji o wektor
, natomiast jest obrazem punktu w jednokładności o środku
1
w punkcie i skali
.
2
b) Oblicz, o ile procent pole trójkąta
jest mniejsze od pola trójkąta
.
Zadanie 2. (6 pkt)
Dane są cztery punkty leżące na płaszczyźnie:
oraz
.
a) Udowodnij, że czworokąt
jest trapezem równoramiennym.
b) Napisz równanie okręgu opisanego na tym trapezie.
Zadanie 3. (5 pkt)
Do wykresu funkcji
–
poprowadzono w punkcie styczną, która jest prostopadła do
prostej
–
.
a) Wyznacz równanie tej stycznej.
b) Oblicz pole trójkąta ograniczonego przez tę styczną oraz obie osie układ współrzędnych.
Propozycja rozwiązania:
Zad. 1
a)
bo
bo
(własności symetrii osiowej)*
(1 pkt)
(własności wektorów)**
(1 pkt)
(definicja jednokładności i **)
(1 pkt)
b)
(1 pkt)
(1 pkt)
i analogicznie
-
jest o 75% mniejsze od
(1 pkt)
Zad. 2
a)
Obliczam współrzędne wektorów:
Widzimy , że
bo
oraz
b)
są więc równoległe
bo
(1 pkt)
.
jest trapezem równoramiennym (1 pkt)
Równanie okręgu opisanego na trapezie ma równanie:
punktem przecięcia symetralnych boków.
Symetralna
ma równanie
i przechodzi przez środek .
(1 pkt)
bo prostopadła do wektora
wstawiamy do równania
Symetralna
gdzie środek okręgu jest
ma równanie
i mamy
:
bo prostopadła do wektora
wstawiamy do równania
i mamy
i przechodzi przez środek
:
.
(1 pkt)
(1 pkt)
Punkt przecięcia:
(1 pkt)
Przytoczona metoda jest dobra dla osób znających własności figur geometrycznych. Proponuję dla wprawy rozwiązać
układ czterech równań wynikających z tego, że punkty
spełniają równanie okręgu.
Zad. 3
a)
–
wtedy
Niech
Równanie
–
. Jeżeli
–
jest styczna do
to te krzywe mają jeden punkt wspólny.
ma jedno rozwiązanie.
–
Styczna
(2 pkt)
ma równanie:
b)
Prosta
przecina osie układu w punktach:
i
.
(2 pkt)
(1 pkt)