Geometria analityczna - poziom rozszerzony [ ]m

Geometria analityczna - poziom rozszerzony
1. Dla jakich wartości parametru m prosta o równaniu
o środku w punkcie
i promieniu
jest styczną do okręgu
?
2. Rozwiąż graficznie i algebraicznie układ równań
.
3. Dany jest okrąg o równaniu
. Wyznacz równania stycznych do okręgu
przechodzących przez początek układu współrzędnych.


1 

4. Dane są wektory: u  1  m 2 , 1  m , w  2, 4  m i v  2m, 2  3m .
2 

Dla jakich wartości m spełniony jest warunek u  2w  v ?
5. Z punktu A=(2,3) poprowadzono styczne do okręgu o równaniu
.
Napisz równania tych stycznych.
6. W okrąg o równaniu
wpisano trójkąt równoboczny, którego jednym
z wierzchołków jest punkt
. Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków tego trójkąta.
7. Oblicz dla jakich wartości parametru m punkt przecięcia prostych o równaniach
należy do prostokąta o wierzchołkach
i
8.
Wykaż, że styczne do okręgu o równaniu
poprowadzone przez punkt
są prostopadłe.
9. Uzasadnij, że nie istnieje wartość parametru m, dla której trójkąt ABC, gdzie
, jest trójkątem równobocznym.
10. Okrąg o środku w punkcie
jest styczny do prostej o równaniu
. Oblicz
współrzędne punktu styczności. Zakoduj wynik, podając cyfrę dziesiątek, jedności i pierwszą cyfrę po
przecinku sumy otrzymanych współrzędnych.
11. Napisz równanie okręgu:
a) przechodzącego przez punkty
równaniu
i
, którego środek leży na prostej o
,
b) o promieniu 3, który jest styczny do osi y i prostej o równaniu
c) przechodzącego przez punkt
oraz
,
i stycznego do prostych określonych równaniami
.
12. Jaką figurą na płaszczyźnie jest zbiór wierzchołków parabol o równaniach:
?
13. Znaleźć wszystkie wartości parametru p, dla których trójkąt KLM o wierzchołkach
jest prostokątny.
x2  y 2  2x  4 y  1  0
14. Oblicz obwód i pole figury opisanej układem nierówności 
 y  2 | x  1 |
15. Oblicz pole trójkąta wyznaczonego przez osie układu współrzędnych i styczną do wykresu funkcji o
równaniu: f x   1 gdzie x  (0, +∞).
x
Inna wersja:
Oblicz pole prostokąta wyznaczonego przez osie układu współrzędnych i punkt należący do wykresu
funkcji o równaniu: f x   1 gdzie x  (0, +∞).
x
16. Oblicz, dla jakich wartości parametru m okręgi o równaniach
są: styczne wewnętrznie.
17. Dla jakich wartości m prosta o równaniu
—
jest sieczną dla okręgu
?
18. Trójkąt równoramienny ABC jest wpisany w okrąg o równaniu
trójkąta ABC jest odcinek AB zawarty w prostej o równaniu y
Odpowiedzi:
1.
2.
,
,
3.
4.
5.
,
6.
,
7.
8. dowód
9. dowód
10. 1, 0, 8
11. a)
b)
,
,
c)
12. parabolę o równaniu
13.
14.
15. 2
16.
17.
18.
,
–
–
. Podstawą
– . Oblicz pole trójkąta ABC.