macierz symetryczna

Obliczanie zwarć z wykorzystaniem metody składowych symetrycznych.
Część I. Podstawy matematyczne przekształcenia
mgr inż. Julian Wiatr
1.Wybrane zagadnienia algebry liniowej
1.1.Wyznacznik n-tego stopnia
Definicja 1
Macierzą nazywamy zbór „ m  k ” liczb aik rozmieszczonych według schematu (1) w
prostokątnej tablicy składającej się z „m” wierszy oraz „k” kolumn:
a11 a12.........aik 


a21 a22........a2 k 
......................... 


am1 am 2 ........amk 
(1)
Symbol aik oznacza element należący do i-tego wiersza i k-tej kolumny macierzy (1).
W przypadku m  k macierzy (D.16.1), macierz nazywamy kwadratową:
a11 a12.........aik 


a21 a22........a2 k 
......................... 


ak1 ak 2 ........akk 
(2)
Zgodnie z definicją macierz jest tablicą liczb, której znaki nie są ze sobą powiązane
symbolami jakichkolwiek operacji matematycznych.
Mówimy więc krótko „macierz” rozumiejąc przez to tablicę (1) lub w szczególności tablicę
(2).
Wyznacznikiem n-tego stopnia macierzy kwadratowej (2), który oznacza się symbolem:
a11 a12.......aik
W
a21 a22......a2 k
......................
(3)
ak1 ak 2 ......akk
nazywa się liczbę przyporządkowaną tablicy kwadratowej (D.16.2), w następujący sposób:
1. dla n  1 : det W  a11  a11
(4)
2. dla n  1 : det W  a11  A11  a12  A12  a13  A13  ...  (1)  a1k  A1k
(5)
Gdzie:
A1k (k  1,2,......m) oznacza podwyznacznik stopnia (n  1) utworzony z wyznacznika (D16.3) przez
skreślenie 1-ego wiersza i k-tej kolumny.
aik - element wyznacznika (3); i – nr wiersza; k – nr kolumny
W ten sposób określa się podwyznaczniki macierzy kwadratowych stopni (n-1).
Definicja 2
Podwyznacznikiem, czyli minorem wyznacznika stopnia n odpowiadającym elementowi aik
nazywamy wyznacznik stopnia (n-1), który powstaje z danego wyznacznika przez
opuszczenie i-tego wiersza i k-tej kolumny. Oznaczamy go jako Aik .
Definicja 3
Iloczyn podwyznacznika Aik wyznacznika (3) zaopatrzony znakiem plus lub minus ( w
zależności od tego czy suma wskaźników opuszczonego wiersza i kolumny jest parzysta lub
nieparzysta) nazywamy podwyznacznikiem względnym lub dopełnieniem algebraicznym
elementu aik : Aik  (1)i  k  Aik .
Przykład 1
Wyznaczniki A11; A23; A33 :
A11 
a 22
a 23
; A23 
a11 a12
; A33 
a11 a12
a31 a32
a32 a33
a 21 a 22
są minorami (podwyznacznikami) wyznacznika:
a11 a12
a13
a 21 a 22
a 23
a31 a32
a33
(6)
należącymi odpowiednio do elementów: a11; a23 ; a32 .
Natomiast wyrażenia:



A11
 (1) 2  A11; A23
 (1) 5  A23 ; A33
 (1) 6  A33
są podwyznacznikami względnymi wyznacznika (6) należącymi odpowiednio do elementów:
a11; a23 ; a33 .
Czyli:
a22 a23
a11 a12
a
a



A11

; A23

; A33
 11 12
a31 a32
a32 a33
a21 a22
1.1.1 Obliczanie wartości wyznacznika
Z określenia wartości wyznacznika (5) wynikają praktyczne metody obliczania
wyznaczników 2 i 3 stopnia.
Dla wyznacznika 2 stopnia obliczenia ograniczają się do następującego schematu:
a11 a12
a21 a22
 a11  a22  a12  a21
Dla wyznacznika 3 stopnia:
(7)
a11 a12 a13
a21 a22 a23  a11  (a22  a33  a23  a32 )  a12 (a21  a33  a23  a31)  a13  (a21  a23  a22  a31)
(8)
a31 a32 a33
W praktyce dla wyznacznika 3 stopnia wygodniej jest korzystać z metody Sarusa, gdzie pod
wyznacznikiem przepisujemy pierwszy i drugi wiersz, a następnie mnożymy wzdłuż trzech
przekątnych równoległych wyznaczonych przez elementy leżące na przekątnych głównych.
Wynik mnożenia wzdłuż przekątnych od lewej do prawej mnożymy przez znak „+”,
natomiast wynik uzyskany z mnożenia wzdłuż przekątnych od prawej do lewej mnożymy
przez znak „-„:
a11 a12
a13
a21 a22
a23  a11  a22  a23  a21  a32  a13  a31  a12  a23  a13  a22  a31  a23  a32  a11  a33  a12  a21
a31 a32
a33
a11 a12 a13
a21 a22 a23
Natomiast wyznaczniki stopnia n  4 obliczamy metodą Laplac’a lub metodą Chió.
Metoda Laplac’a:
Wartość wyznacznika dowolnego stopnia równa się sumie iloczynów kolejnych elementów
dowolnego wiersza lub kolumny przez odpowiadające im podwyznaczniki względne:
- dla rozwinięcia wyznacznika według i-tego wiersza
*

W  a11  A11
 a12  A12
 .......aik  Aik
(10)
- dla rozwinięcia wyznacznika według k-tej kolumny
W  a1k  A1*k  a2k  A2k  .......aik  Aik
(11)
Przykład 2
Obliczyć wartość wyznacznika:
W
3 2 1 5
0 2 0 1
2 0 0 1
1 0 3 4
Rozwinięcie zostanie wykonane według elementów trzeciej kolumny (kolejno wykreślamy
wiesze i trzecią kolumnę, wyciągając przed wyznacznik element występujący na linii
skreślenia wiersza i kolumny) :
0 2 1
3 2 5
3 2 5
3 2 5
W  1  2 0 1  0  2 0 1  0  0 2 1  3  0 2 1  14  30  16
1 0 4
1 0 4
1 0 4
2 0 1
W tym przypadku wyznaczniki 3-ego stopnia należy obliczyć metodą Sarusa.
Metoda Chió
Metoda ta pozwala wyznacznik n-tego stopnia przekształcić na jeden równy mu wyznacznik
stopnia (n-1).
Dla każdego wyznacznika n-tego stopnia słuszny jest następujący wzór:
a11 a12 .......a1n
a 21 a 22 ......a 2 n

......................
a n1
1
n2
a11
a n 2 ......a nn
b22
b23 b2 n
b32
b33 b3n
bn 2
bn 3
(12)
bnn
gdzie:
bik
a11 a1k
ai1
i =2,3,....n; k = 2,3,......n;
aik
a11  0
Dla przykładu wyznacznik 3-ego stopnia można przekształcić do następującej postaci:
a11 a12 a11 a13
a11 a12
a13
a 21 a 22
a 23 
a31 a32
a33
1
a 21 a 22 a 21 a 23
3 2
a11
a11 a12 a11 a13
a31 a32 a31 a33
Przykład 3
Obliczyć wyznacznik korzystając z metody Chió
1
1
2
0
0
4
2
5
6
5 1
0
3
3
2
1

5
2
1
0
1
0
4 2 4 5 4 6

1
14 2
1
2
1
0 1
0
5 1
5
0
5 3
1
2
1
0
1
0
3 5
3
2
3
1
10 5 6
  11 0  3 
1 2 1
10 5 10
6
1  11 0  11  3

10 3 2 10 5 10
6
1
2 1
1 55 36 880  900

 2
10 25 16
10
Po uzyskani wyznacznika 3-ego stopnia można było skorzystać z metody Sarusa
1
1.1.2 Własności wyznaczników
Własność 1.
Jeżeli w wyznaczniku przestawimy wiersze na miejsce kolumn w tym samym porządku, to
wartość wyznacznika nie ulegnie zmianie.
Przykład:
9 45 25
det A  5
7  446
7
4 6 3
Po przestawieniu wierszy na miejsce kolumn:
9 5 4
det A  45 7 6  446
25
7
3
Własność 2.
Jeżeli w wyznaczniku przestawimy między sobą dwie dowolne kolumny lub wiersze, to
wartość wyznacznika zmieni się na przeciwną.
9 45 25
det A  5 7 7  446
4 6 3
Po przestawieniu pierwszej i drugiej kolumny
45 9 25
det A  7 5 7  446
6 4 3
Własność 3.
Jeżeli w wyznaczniku występują dwa identyczne wiersze lub dwie identyczne kolumny, to
wartość wyznacznika równa się zeru.
5 7
7
det A  5 7 7  0
4
3
3
Własność 4.
Jeżeli wszystkie elementy tego samego wiersza lub kolumny pomnożymy przez ten sam
czynnik, to wartość wyznacznika będzie przez ten czynnik pomnożona:
k  a11 a12 .......ain
k  a 21 a 22 ......a 2 n
......................
k  a n1
a n 2 ......a nn
a11 a12.......ain
=k 
a21 a22......a2 n
......................
an1 an 2 ......ann
(13)
Z własności tej wynika wniosek: jeżeli elementy jakiegoś wiersza lub kolumny mają wspólny
czynnik, to można go wyciągnąć przed wyznacznik.
Przykład 4
15 6 3
4 1 7
3 6 12
z pierwszego i trzeciego wiersza wyciągamy przed znak wyznacznika 3, otrzymując:
5 2 1
3 3 4 1 7
1 2 4
Własność 5.
Jeżeli w wyznaczniku wszystkie elementy jednego wiersza lub kolumny są zerami, to wartość
wyznacznika równa się zeru.
Przykład
15 6 3
det A  0
0 0 0
3 6 12
Własność 6.
Jeżeli w wyznaczniku do elementów pewnego wiersza lub kolumny dodamy lub odejmiemy
odpowiednie elementy innego wiersza lub kolumny pomnożone przez stałą liczbę k, to
wartość wyznacznika nie ulegnie zmianie.
Jeżeli k=1, to wartość wyznacznika nie ulegnie zmianie gdy do elementów dowolnego
wiersza lub kolumny dodamy lub odejmiemy odpowiednie elementy innego wiersza lub
kolumny.
Przykład 5
 9  45  25
1
det A     15  21 21  446
9
 12  18  9
Po wyznaczeniu z wykorzystaniem metody Sarusa det A = 446 (0bliczenia pozostawiamy
czytelnikom).
Spróbujmy ten wyznacznik poddać pewnym przekształceniom zgodnie z przedstawionymi
właściwościami wyznaczników:
Z drugiego trzeciego wiersza wyciągamy (-3)
 9  45  25
 9  45  25 9 45 25
1
1
A     15  21 21    (3)  (3)  5 7 7  5 7 7
9
9
 12  18  9
4 6 3 4 6 3
O d elementów drugiej kolumny odejmujemy odpowiednie elementy trzeciej kolumny:
9 45 25
A 5
7
7
4 6 3
Po zastosowaniu metody Sarusa (obliczenia pozostawiamy Czytelnikom):
9 20 25
det A  5 0 7  446
4 6 3
W konsekwencji uzyskaliśmy ten sam wynik.
Własność 7.
Jeżeli w wyznaczniku wszystkie elementy znajdujące się nad lub pod przekątną główną są
równe zeru, to wartość wyznacznika jest równa iloczynowi wszystkich elementów głównej
przekątnej.
Przykład 5
1 3 7
0 5 2  1  5  3  15
0 0 3
2 Macierze
Przyjmijmy oznaczenie macierzy o „i” wierszach i „k” kolumnach jako aik  .
Równość macierzy
Dwie macierze aik  i bik  nazywamy równymi , gdy są tego samego typu i gdy wszystkie
odpowiednie elementy są równe:
aik  bik
dla i =1..............m oraz k=1...........n
Dodawanie macierzy
Dodawać możemy tylko macierze tego samego typu, dodając odpowiednie ich elementy:
aik   bik   aik  bik 
dla i =1..............m oraz k=1...........n
(14)
Odejmowanie macierzy
Odejmować możemy tylko macierze tego samego typu, odejmując odpowiednie ich elementy:
aik   bik   aik  bik 
dla i =1..............m oraz k=1...........n
(15)
Przykład
Dane są dwie macierze:
2 3 1
1  1 2
; B
A


3 4  2
3 1  1 
Znaleźć sumę i różnicę tych macierzy.
2 3 1 1  1 2 3
A+B= 
 + 
=
3 4  2 3 1  1  3
2 3
1  3
2 3 1 1  1 2 2 3 1  1 1  2 1
A-B= 
 - 
 + 
=
=
3 4  2 3 1  1  3 4  2  3 1 1 0
4  1
3  1
Mnożenie macierzy przez liczbę
Macierz aik  mnożymy przez liczbę (skalar)  , mnożąc każdy element tej macierzy przez tę
liczbę, tzn.
  aik     aik 
dla i =1..............m oraz k=1...........n
(16)
Mnożenie macierzy przez macierz
Macierz A można mnożyć przez macierz B tylko wtedy, gdy liczba kolumn macierzy A jest
równa liczbie wierszy macierzy B.
a  b   c    a
ij
jk
ik
j 1
ij
 b jk
Zatem , jeżeli:
a12 
a11
b11
A  a21
a22  ; B  
b21
a31
a32 
(17)
b12 
b22 
to
a11
A  B  a21
a31
a12 
b
a22    11
b
a32   21
a11  b11  a12  b21
b12  
= a21  b11  a12  b21
b22  
a31  b11  a32  b21
a11  b12  a12  b22 
a22  b12  a22  b22  
a32  b12  a32  b22 
Przykład 5
Pomnożyć macierz A przez macierz B.
 1  2
 1  1
A   2
3  ; B  
0
 2
 1 2 
Ponieważ liczba kolumn macierzy A jest równa liczbie wierszy macierzy B, mnożenie jest
wykonalne:
1  1  (2)  2 1  (1)  (2)  0   3  1
A  B  2  1  3  2
2  (1)  3  0    8  2
(1)  1  2  2 (1)  (1)  2  0  3 1 
Uwaga!
Mnożenie macierzy nie jest przemienne, tzn:
A B  B  A
Z definicji mnożenia macierzy przez macierz wynika, że iloczyn macierzy kwadratowej przez
macierz jednokolumnową jest macierzą jednokolumnową
Oznacza to, że układ n równań o n niewiadomych:
a11  x1  a12  x 2  ......  a1n  x n  b1
a  x  a  x  .....  a  x  b
 21 1
21
2
2n
n
2

.......................................................
a n1  x1  a n 2  x 2  .....  a nn  x n  bn
(18)
można zapisać w następujący sposób:
a11 a12 .........ain   x1  b1 

    
a 21 a 22 ........a 2 n    x 2   b2 
.........................  .  . 

    
a n1 a n 2 ........a nn   x n  bn 
(19)
Oznaczając macierz współczynników przez A, jednokolumnową macierz niewiadomych
przez X, a jednokolumnową macierz wolnych wyrazów przez B, powyższe wyrażenie
możemy zapisać w postaci:
A X  B
(20)
Macierz nieosobliwa
Macierz kwadratową określoną wzorem (2) nazywamy nieosobliwą, wówczas gdy jest
wyznacznik, który oznaczać będziemy jako det A, jest różny od zera.
Czyli det A  0 .
Macierz diagonalna
Macierz diagonalna – macierz, zwykle kwadratowa, której wszystkie współczynniki leżące
poza główną przekątną (główną diagonalą) są zerowe. Przykładem macierzy diagonalnej jest
macierz:
1 0
0  1

0 0

0 0
0 0
0 0 
 diag (1,1,2,4)
2 0

0 4
Macierz kwadratową A  [aik ] stopnia „n” nazywa się diagonalną, jeżeli
aik  0 dla i  k gdzie: i – nr wiersza; k – nr kolumny
Często oznacza się ją symbolem diag (d1, d 2 , d3 ,.....d n ) , gdzie di  aii są kolejnymi
współczynnikami leżącymi na głównej przekątnej
Macierz jednostkowa
Macierzą jednostkową I, nazywamy macierz kwadratową, której elementy leżące na
przekątnej głównej są równe jedności, a pozostałe równe zeru:
1 0...........0 
0 1...........0

I 
.................... 


0 0...........1
(21)
Macierz jednostkowa jest szczególnym przypadkiem macierzy diagonalnej.
Dla dowolnej macierzy A, słuszne są relacje:
A  I  A oraz I  A  A
Macierz odwrotna
Macierzą odwrotną macierzy A, którą oznaczać będziemy A-1, nazywamy taką macierz, która
spełnia równości:
A  A1  I lub A1  A  I
Macierz przestawiona (transponowana)
Macierzą przestawioną (transponowaną), którą oznaczać będziemy AT, nazywamy macierz,
która powstaje z macierzy A przez zamianę wierszy na kolumny, w tym samym porządku:
a11 a12
a13
a11 a 21 a31
A  a 21 a 22
a 23
AT  a12
a 22
a32
a31 a32
a33
a13
a 23
a33
(22)
Macierz dołączona
Dołączoną macierzy kwadratowej A, którą oznaczać będziemy symbolem AD, nazywamy
macierz, która powstaje z macierzy A w następujący sposób: najpierw każdy element aik
macierzy A zastępujemy jego dopełnieniem algebraicznym Aik , a następnie z otrzymanej
macierzy tworzymy macierz przestawioną (transponowaną), tzn.:


 A11
A12
........ Ain 
 


A21 A22
........ A2n 

D
A 
......................... 



 An1 An2 ........ Ann

a11 a12 .........ain 


a 21 a 22 ........a 2 n 

A
......................... 


a n1 a n 2 ........a nn 
T
(23)
Jeżeli macierz kwadratowa A  aik  jest nieosobliwa, to istnieje do niej dokładnie jedna
macierz odwrotna A-1, która wyraża się następującym wzorem:
A 1 
AD
det A
(24)
W takim przypadku, równanie (20) pomnożone przez A-1 uzyskuje postać:
A1  A  X  A1  B
Ponieważ A1  A  I oraz I  X  X w konsekwencji otrzymuje się wyrażenie:
(25)
X  A1  B
które określa rozwiązanie układu n równań o n niewiadomych w postaci macierzowej.
Przykład 6
Rozwiązać układ równań:
 x  y  2 z  3

 x  y  z  0
2 x  y  3z  3

oznaczmy jako:
 1  1 2
A   1 1 1 
 2  1 3
 3
B   0 
 3
x 
X   y 
 z 
Wówczas:
 1  1 2
det A   1 1 1   3  0
 2  1 3
Zatem istnieje do tej macierzy dokładnie jedna macierz odwrotna:
 4 1  3
A   5  1  3
 1  1 0
D
 4 1 
 3  3 1


AD
 5 1 
1
A 
 
1
det A  3 3 


 1 1 0
 3 3



Zatem:
 4 1 
12

 3  3 1
 3  0  3
x  
  3 
  1
 y    5 1 1   0   15  0  3    2
   3 3    3
  
 z  
 3 

  1
 1 1 0
  1  0  0
 3 3



Czyli: x =1; y = 2; z = -1
3 Podstawy matematyczne teorii składowych symetrycznych
Teoria składowych symetrycznych opiera się na operatorze obrotu o kąt 1200, oznaczanego
literą a.
Zgodnie z wzorem Eulera, operator ten możemy zapisać następująco:
0
1
a  e j120  cos 120 0  j sin 120 0    j
2
1
3
1
3
1
a 2  (  j
)  (  j
)  j
2
2
2
2
2
1
3
1
3
a 3  (  j
)  (  j
) 1
2
2
2
2
3
2
3
2
Dodając stronami powyższe równania, otrzymuje się następująca zależność:
a  a2  a3  0
lub, z uwagi na to, że a 3  1
1 a  a2  0
Otrzymany związek w interpretacji geometrycznej wyraża, że z wektorów 1; a; a2 na
płaszczyźnie Gaussa można utworzyć zamknięty trójkąt równoboczny, co zostało
przedstawione na rysunku 1.
Rysunek 1: Wykres na płaszczyźnie Gaussa operatora a; a2 oraz a3 = 1.
W odniesieniu do napięć generatora synchronicznego, ich chwilowe wartości można zapisać
następująco:
u A  U m  sin t
u B  U m  sin(t  120 0 )
u C  U m  sin(t  240 0 )  U m  sin(t  120 0 )
Napięciom tym można na płaszczyźnie Gaussa przyporządkować układ trzech wektorów:
U A  U1 ; U B  a 2  U1 ; U C  a  U1 .
Uzyskany w ten sposób układ uporządkowanych trzech wektorów w teorii składowych
symetrycznych nosi nazwę układu zgodnego.
Natomiast układ symetryczny przeciwny otrzymuje się stosując następujący zapis napięć
chwilowych:
u A  U m  sin t
u B  U m  sin(t  240 0 )  U m  sin(t  120 0)
u C  U m  sin(t  120 0 )
Napięciom tym można na płaszczyźnie Gaussa przyporządkować układ trzech wektorów:
U A  U 2 ; U B  a U 2 ; U C  a 2 U 2 .
Uzyskany w ten sposób układ uporządkowanych trzech wektorów w teorii składowych
symetrycznych nosi nazwę układu przeciwnego.
W przypadku, gdy wartości napięć chwilowych zostaną zapisane zależnością:
u A  u B  uC  U m  sin t
Otrzymujemy wówczas na płaszczyźnie Gaussa uporządkowany układ trzech identycznych
wektorów: U A  U B  U C  U 0 , który w teorii składowych symetrycznych nosi nazwę
układu zerowego.
Wykres poszczególnych układów na płaszczyźnie Gaussa przedstawia rysunek 2.
Rysunek 2: Wykres na płaszczyźnie Gaussa układów symetrycznych:
a) zgodnego; b) przeciwnego, c) zerowego
Przedstawioną elementarna teorię można zilustrować przedstawiając schemat
niesymetrycznego napięcia, równoważnego połączeniu łańcuchowemu trzech generatorów
symetrycznych napięcia (rysunek 3).
Rysunek 3: Schemat niesymetrycznego napięcia, równoważnego połączeniu łańcuchowemu
trzech generatorów symetrycznych napięcia.
Przedstawiony na rysunku 3 układ połączenia generatorów umożliwia zasilanie trójfazowego
odbiornika gwiazdowego z generatora niesymetrycznego G, przy położeniu przełącznika w
pozycji 2. Natomiast przy położeniu przełącznika w pozycji 1 zasilanie odbiornika jest
realizowane z trzech generatorów trójfazowych G1 ; G2 ; G3 . Punkty neutralne generatora G i
łańcucha są połączone bezimpedancyjnie, a fazy odbiornika mają znaczą impedancję, dzięki
czemu pobierane przez odbiornik prądy są bardzo mała.
Napięcia w poszczególnych fazach odbiornika można zapisać następująco:
U A  U 0  U 1  U 2

2
U B  U 0  a  U 1  a  U 2

2
U C  U 0  a  U 1  a  U 2
lub w postaci macierzowej:
1
U A  1 1
U   1 a 2 a
 B 
U C  1 a a 2
 U 0 
  
  U 1 
 U 2 

Macierz przekształcenia oznaczymy jako S:
1 1 1 


S  1 a 2 a 
1 a a 2 


det S  3  (a  a 2 )
Po przekształceniach można otrzymać wartości poszczególnych składowych:
1 1 1 
D T
[
S
]
1


S 1 
 1 a a 2 
det S 3
1 a 2 a 


1  U A 
1 1
U 0 
1
U   1 a a 2   U 
  B
 1 3
2


U 2 
1 a a  U C 
Czyli:
1

U 0  3 (U A  U B  U C )

1

2
U1  (U A  a  U B  a  U C )
3

1

2
U 2  3 (U A  a  U B  a  U C )

Podobne zależności uzyskujemy w odniesieniu do prądów oraz impedancji:
1
1 1
I 0 
1

I   1 a a 2
 1 3
1 a 2 a
 I 2 

 I A 
  
  I B 
  I C 

Czyli:
1

I 0  3 ( I A  I B  IC )

1

2
 I1  ( I A  a  I B  a  I C )
3

1

2
I 2  3 ( I A  a  I B  a  IC )

Oznaczając:
U A 
U = U B  ; Us =
U C 
U 0 
U 
 1
U 2 
I A 
I =  I B  ; Is =
 I C 
I0 
I 
 1
 I 2 
Można zapisać rozkład na składowe symetryczne, wyrażone równaniami macierzowymi, za
pomocą zależności:
U = SUs
Us = S-1U
I = SIs
Is = S-1I
Podobne zależności dotyczą impedancji
 Z A  1 1 1   I 0 
 Z   1 a 2 a    I 
  1
 B 
2
 Z C  1 a a   I 2 
1
1 1
Z 0 
 Z   1 1 a a 2
 1 3
1 a 2 a
 Z 2 

 Z A 
  
  Z B 
  Z C 

Z A 
Z =  Z B  ; Zs =
 Z C 
Z0 
Z 
 1
 Z 2 
Zatem:
Z = SZs
Zs = S-1Z
Podstawowe twierdzenia dotyczące metody składowych symetrycznych
Twierdzenie 1
W układzie źródła lub odbiornika trójfazowego połączonego w gwiazdę bez przewodu
neutralnego składowa zerowa prądu jest równa zero, I 0  0 .
Twierdzenie 2
W układzie trzech prądów (napięć), z których jeden tylko prąd (jedno napięcie) jest różny od
zera, składowe symetryczne tego prądu (napięcia) są sobie równe i równają się jednej trzeciej
części prądu (napięcia) różnego od zera.
1
Dla przykładu jeżeli I A  0; I B  0; I C  0 , wówczas I 0  I 1  I 2  I A .
3
Twierdzenie 3
W układzie trzech prądów (napięć), z których jeden tylko prąd (jedno napięcie) jest równy
zero, suma geometryczna składowych symetrycznych zerowej, zgodnej i przeciwnej tego
prądu (tego napięcia)składowe symetryczne tego prądu (napięcia) jest równa zero:
I 0  I1  I 2  0
Twierdzenie 4
W układzie trójfazowym trój- lub czteroprzewodowym składowa symetryczna napięcia
międzyfazowego (mierzona w źródle, na linii lub na odbiorniku)jest równa zero, U 0  0 .
Twierdzenie 5
W uzwojeniach źródła lub odbiornika połączonego w trójkąt może krążyć składowa zerowa
prądu fazowego, ale nie może wyjść w linię, tzn. nie może wystąpić w prądzie liniowym.