LEKCJA 7 – Procenty, cz. 2 – Grupa LM7 Na poprzednich zajęciach

e-learning
matematyka
Opracował: Rafał Piasecki
Zatwierdził: Tadeusz Ostrowski
LEKCJA 7 – Procenty, cz. 2 – Grupa LM7
Na poprzednich zajęciach przypomnieliśmy sobie podstawowe typy obliczeń
procentowych. Teraz zajmiemy się zagadnieniami bardziej złożonymi, które mają
zastosowanie w życiu codziennym – zagadnieniami finansowymi.
Z procentami mamy do czynienia najczęściej przy obliczeniach dotyczących pieniędzy
– podatki, zmiany cen, inflacja, lokaty i kredyty bankowe. Oczywiście wszystkie te
obliczenia można sprowadzić do zadań omawianych na poprzednich zajęciach. Jednak
w bardziej złożonych obliczeniach możemy stosować gotowe wzory. Najważniejsze
z nich dotyczą odsetek bankowych.
W obliczeniach bankowych stosuje się trzy podstawowe konwencje liczenia dni:
actual/actual (liczba dni w miesiącu rzeczywista/liczba dni w roku rzeczywista)
actual/360 (liczba dni w miesiącu rzeczywista/liczba dni w roku = 360)
30/360(liczba dni w miesiącu = 30/liczba dni w roku = 360)
Aby uprościć obliczenia, we wszystkich przykładach i zadaniach przyjmiemy
konwencję 30/360.
PROCENT PROSTY
Jeżeli złożona do banku suma wynosi K (kapitał), stopa procentowa w skali rocznej
wynosi i, a czas, przez jaki pieniądze pozostawały na koncie, wynosi t dni, to należne
odsetki oblicza się ze wzoru:
Ułamek
wyraża część roku, podczas której dany kapitał procentuje (przy przyjętej
konwencji 30/360). Liczba i jest ułamkiem o mianowniku 100 – jeśli np. stopa
procentowa wynosi 5%, to i=0,05
2 marca klient wpłacił na konto bankowe 5000 zł. 21 marca pobrał z konta 2000 zł,
a 30 marca resztę pieniędzy. Oprocentowanie konta wynosi 3%. Oblicz odsetki
należne za ten okres.
Kapitał 5000 zł procentuje przez 18 dni (od 3 do 20 marca włącznie), a następnie
kapitał 3000 zł przez 9 dni.
Należne za ten okres odsetki wynoszą 9,75 zł
Materiały źródłowe: patrz Syllabus
e-learning
matematyka
Opracował: Rafał Piasecki
Zatwierdził: Tadeusz Ostrowski
PROCENT SKŁADANY
Większość kont i lokat bankowych oprocentowana jest według zasady procentu
składanego – odsetki są kapitalizowane, czyli dodawane do kapitału, od którego
liczony jest procent. Kapitalizacja odsetek następuje na końcu umownego okresu –
roku, kwartału lub miesiąca.
Zakładamy trzyletnią lokatę na 6% rocznie, wpłacając 1000 zł. Jaką sumę otrzymamy
po 3 latach, jeśli okres kapitalizacji odsetek wynosi: a) rok, b) pół roku.
a) odsetki za I rok: O1 = 1000 · 0,06 · 1 = 60
kapitał po I roku: K1 = 1000 + 60 = 1060
odsetki za II rok: O2 = 1060 · 0,06 · 1 = 63,60
kapitał po II roku: K2 = 1060 + 63,6 = 1123,60
odsetki za III rok: O3 = 1123,60 · 0,06 · 1 = 67,42
Kapitał po III roku: K3 = 1123,60 + 67,42 = 1191,02
Ta metoda liczenia jest dość żmudna. Możemy ją uprościć, jeśli zauważymy, że
K1 = K · 1,06; K2 = K1 · 1,06 i K3 = K2 · 1,06.
Stąd K3 = K · 1,063 = 1191,02 zł
b) W każdym okresie półrocznym kapitał rośnie o 3%, więc obliczamy go, mnożąc
poprzedni kapitał przez 1,03:
K1 = K · 1,03
K2 = K1 · 1,03
……
Takich okresów jest 6, a więc:
K6 = K · 1,036 = 1000 · 1,194052… = 1194,05 zł
Przedstawioną metodę stosujemy, gdy mamy do czynienia z kilkoma okresami
kapitalizacji. Można ją opisać wzorem:
Km oznacza kapitał początkowy, K – kapitał początkowy a m – liczbę okresów
kapitalizacji. Liczba i nie oznacza rocznej stopy procentowej lecz przyrost kapitału w
czasie jednego okresu kapitalizacji. Jeśli np. roczna stopa procentowa wynosi 8%,
a kapitalizacja odsetek następuje co kwartał, to i = 0,02
Materiały źródłowe: patrz Syllabus