Kapitalizacja złożona z dołu zgodna

Wiadomości wstępne
Odsetki powstają w wyniku odjęcia od kwoty teraźniejszej K1 kwoty początkowej K0, zatem
Z = K1 – K0. Z ekonomicznego punktu widzenia właściciel kapitału K0 otrzymuje odsetki
jako zapłatę od banku za udzielenie mu prawa do dysponowania kwotą K0 w określonym
czasie. Wysokość odsetek zależy od kwoty jaką wpłacamy do banku oraz od okresu na jaki
wpłacamy wspomnianą kwotę, dlatego też posługujemy się wskaźnikiem nazywanym stopą
procentową – r. Stopą procentową nazywamy stosunek odsetek Z do wartości początkowej
kwoty czyli (1) r KZ0 K1K0K0 . Z (1) wynika, że (2) Z K 0 r , (tzn. odsetki Z dają się wyrazić
przez stopę procentową r oraz wartość początkową K0), a także (3) K1 K 0 (1 r ) , (tzn.
przyszłą wartość kapitału daje się wyrazić przez stopę proc. r i wart. początkową K0).
Oprocentowaniem nazywamy wyznaczanie odsetek. Wyznaczone odsetki będące zapłatą za
wypożyczenie kapitału mogą być wypłacone na końcu okresu wypożyczenia i mówimy wtedy
o oprocentowaniu z dołu lub też na początku tego okresu – oprocentowanie z góry.
Kapitalizacją odsetek nazywamy ich dopisywanie do kapitału. Czas, w którym odsetki są
dopisywane nazywamy okresem kapitału bądź okresem konwersji. Jeśli odsetki
dopisywane są na końcu kapitalizacji, mówimy o kapitalizacji z dołu – w przeciwnym razie
– kapitalizacji z góry. Kapitalizacja zgodna ma miejsce gdy okres stopy procentowej
pokrywa się z okresem kapitalizacji – gdy jest inaczej mamy do czynienia z kapitalizacją
niezgodną. W zależności od sposobu ustalania odsetek wyróżniamy kapitalizację prostą
(gdy oprocentowaniu podlega wyłącznie kwota początkowa) oraz złożoną (oprocentowaniu
podlega zarówno kapitał początkowy i nagromadzone odsetki). Dyskontowanie to operacja
odwrotna do kapitalizacji i jest to wyznaczanie wcześniejszych wartości kapitału na
podstawie znajomości wartości późniejszych. Stopa procentowa wykorzystywana przy
dyskontowaniu nazywana jest stopą dyskontową, przy czym, w przeciwieństwie do st. proc.,
mierzy ona tempo pomniejszania kapitału w czasie.
Kapitalizacja zgodna prosta. Oznaczmy przez Pn przyszłą wartość kapitału K0 po n
okresach kapitalizacji, gdzie n – liczba naturalna, przy czym odsetki są dopisywane z dołu.
Obliczanie przyszłej wartości Pn+1 na koniec (n+1) – go okresu kapitalizacji przebiega
następująco: do wartości Pn z końca n – tego okresu kap. dopisujemy odsetki Zn+1
przypadające z (n+1) – szy okres. Taki więc ciąg (Pn) przyszłych wartości kapitału K0 spełnia
równanie rekurencyjne: (4) Pn 1 Pn Z n 1 , n 0,1,..., P0 K 0 . Ponieważ mamy do czynienia
z kap. prostą to oprocentowaniu podlega jedynie kapitał początkowy. Ciąg odsetek (Zn) jest
zatem ciągiem stałym i na mocy wzoru (2) mamy: (5) Z n 1 K 0 r , n 1,2,... . Podstawiając
(5) do (4) otrzymujemy: (6) Pn 1 Pn K 0 r , n 0,1,... co wskazuje, że ciąg (Pn) jest ciągiem
arytmetycznym o różnicy K0∙r. Pierwszy wyraz tego ciągu a więc P1 z uwagi na wzór (3) ma
postać P1 K1 K 0 (1 r ) . Zatem n-ty wyraz tego ciągu ma postać (z def. ciągu
arytmetycznego) Pn P1 (n 1) K 0 r K 0 (1 r ) (n 1) K 0 r , skąd otrzymujemy (7)
Pn K 0 (1 n r ) . Liczbę (1+n∙r) nazywamy współczynnikiem akumulacji lub czynnikiem
wartości przyszłej w kapitalizacji prostej. Traktując (7) jako tożsamość widzimy, że
znajomość trzech spośród czterech wielkości Pn, K0, n, r pozwala wyznaczyć czwartą. W
szczególności mamy (7’) K0 (1 Pnn r ) . Oczywiście suma odsetek wytworzonych przez kapitał
K0 w ciągu n okresów kap. jest równa różnicy wartości przyszłej Pn i wartości teraźniejszej
n
K0, a więc: (8)
Zi
Pn
K 0 K 0 (1 n r ) K 0
K 0 n r . Znając wartość Pn można ją
i 1
aktualizować/dyskontować na k okresów otrzymując Pn+k /Pn-k dodając/odejmując odsetki
proste za K0∙k∙r okresów. Tak więc aktualizacja (9)
Pn
Pn
P
k
k
Pn K0 k r Pn 1 nn r k r Pn (1 1 k nr r ), n, k 0,1,... oraz dyskontowanie (10)
Pn K 0 k r Pn (1 1 k nr r ), n 0,1,... , k 0,1,..., n .
Kapitalizacja złożona z dołu zgodna
Przypominamy, ze w kapitalizacji złożonej oprocentowaniu podlega zarówno kapitał
początkowy Ko jak i zgromadzone do tej pory odsetki. Ponadto odsetki dopisywane są do
kapitału na koniec okresu kapitalizacji i okres stopy procentowej pokrywa się z okresem
kapitalizacji. Przyszła wartość kapitału Ko po n okresach kapitalizacji oznaczamy symbolem
Kn.
Ciąg przyszłych wartości, tj ciąg {kn} kapitału Ko spełnia równanie rekurencyjne:
(11) Kn+1 =Kn+Zn+1, n=0,1,,,,
gdzie Zn+1 są odsetkami przypadającymi za n+1 –szy okres przy czym odsetki Zn+1 wyznacza
się w oparciu o cały nagromadzony przez n okresów kapitał czyli
(12) Zn+1=Knr , n =0,1,2….
Po podstawieniu (12) w (11) otrzymujemy, że
(13) Kn+1=Kn+Knr=Kn(1+r) n=1,2,…
Z (13) wynika, że ciąg {Kn} jest ciągiem geometrycznym o pierwszym wyrazie k1=k0(1+r) i
ilorazie (1+r). Zatem n-ty wyraz ciągu {Kn} wyraża się wzorem.
(14) Kn=K1(1+r)n-1 = Ko(1+r)n, n=0,1,..
Liczbę (1+r)n nazywamy Współczynnikiem akumulacji lub czynnikiem wartości
przyszłej w modelu kapitalizacji złożonej z dołu. Zależność (14) ustala zależność pomiędzy 4
wielokrotności Kn,ko, r,n znajomość trzech pozwala wyznaczyć czwartą. W szczególności
wart. teraźniejszą kapitału Kn jest :
(15) Ko= Kn / ( (1+r)n) n=0,1,
Zauważmy, że w ciągu n okresów kapitalizacji wart. nagromadzonych odsetek jest równa
różnicy między wart. koń. Kn o wart. pocz Ko, a więc wobec wzoru 14 mamy
(16) Σ (i=1 do n) Zi=Kn-Ko=Ko[(1+r)n -1] n=1,2
Kapitalizacja złożona z góry zgodna
W modelu kapitalizacji złożonej, w którym odsetki również podlegają oprocentowaniu .
Odsetki mogą być dopisywane do kapitału n początku okresu kapitalizacji będzie to więc
model kapitalizacji złożonej z góry. Dodatkowo zakładamy, że okres stopy procentowej
pokrywa się z okresem kapitalizacji. A więc kapitalizacja jest zgodna.
Przyszłą wartość kapitału ko na początku n-tego okresu kapitalizacji będziemy oznaczać Wn.
Głównym celem dalszych rozważań będzie wyznaczenie ciągu {Wn} Wpłacamy kwotę Ko.
Kwota Ko podlega oprocentowaniu z góry, a więc do Ko dopisana jest kwota Kor jako
oprocentowanie. Lecz ta kwota znajdująca się n akoncie również podlega oprocentowaniu z
góry i to oprocentowanie wynosi Kor r itd. Zatem W1=Ko+Kor+Kor2+ .. = Ko(1+r+…)=
Ko(1/(1-r))=Ko(1-r)-1 o ile 0<r<1. Analogicznie postępując otrzymujemy, że
W2=W1+W1r+W1r2+..=W1(1-r)-1 i ogólnie
(19) Wn+1=Wn+Wnr+Wnr2+..=W1(1-r)-1
Wzór 19 wskazuje, że ciąg {Wn} jest geom. o ilorazie (1-r)-1 zatem
(20) Wn=W1[(1-r)-1]n-1=Ko(1-r)-n, n=1,2…
Liczbę (1-r)-n nz. Współczynnikiem akumulacji lub czynnikiem wart. przyszłej w modelu.
Zależność (20) traktujemy jako tożsamość wiążącą ze sobą 4 wielkości Wn,Ko,r i n. Znając
3 z nich. Pozwala wyznaczyć 4-tą, a w szczególności (21) Ko=Wn(1-r)n
Wartość kapitalizowanych odsetek przez n okresów jest równa
(22) Σ (i=1 do n) Zi=Wn-Ko=Ko[(1-r)-n +1] n=1,2
Kapitalizacja niezgodna
Jeśli okres stopy procentowej nie pokrywa się z okresem kapitalizacji to kapitalizacje
nazywamy niezgodną. Jeśli okres stopy procent jest całkowitą wielokrotnością okr.
Kapitalizacji to mówimy o kapitalizacji w podokresach. Jeśli ok. kapitalizacji jest całkowitą
wielokrotnością ok. stopy procentowej to mówimy o kapitalizacji w nadokresach. Jeśli m
oznacza stosunek okr. Stopy % (rocznej lub innej) do okresu. Kapit a więc m=okres stopy
procentowej/okresu stopy kapitalizacji. To z powyższego wynika, że w przyp. Kapiatl w
podokresach m należy do N. natomiast natomiast przypadku kapitalizacji w nadokresach m
jest ułamkiem o mianowniku będącym wielokrotnością licznika.
Jeśli r jest roczną stopą procentową wówczas w zależności od wartości parametru m
kapitalizacja nazywa się: roczna m=1, miesięczna m=12, czteroletnia m=0,25.
Jeśli r jest roczną lub inną stopą procentową, to w przypadku kapitalizacji niezgodnej odsetki
przypadające na 1 okres kapitalizacji wyznacza się na podstawie względnej stopy
procentowej(dostosowanej) r--, którą okresla się r--=r/m. I w tym przypadku r jest stopa
nominalna.
Stopa nominalna jest zasadniczym nośnikiem inf. O ofercie bankowej przy czym osetki w
danym banku mogą być wyznaczone wg innej stopy np. względnej.
Należy zauważyć, ze rachunek procentowy rachunek przyp. Kapitalizacji niezgodnej
jest analog. Procentowego dla kapitalizacji zgodnej opisanej wcześniej z ta różnicą, ze
zamiast nom. Stopy % r należy zastosować r—oraz zamiast l okresów stopy procentowej r
należy uwzględnić l okresów kapitalizacji. 2 lata r--=2r k=6.
Tak więc przyszła wartość kapitału Ko w kapitalizacji niezgodnej po k okresach kapitalizacji
wynosi: dla kapitalizacji prostej: (25) P k/m=Ko(1+k(r/m)),
dla złożonej z dołu: (26) K k/m=Ko(1+r/m))k
dla złożonej z góry: (27) W k/m= Ko(1-r/m))-k
Model kapitalizacji prostej stosuje się najczęściej przy oprocentowaniu kont z często
zmieniającym się saldem np. kwot na rachunkach bankowych. Jedną z możliwych do
zastosowania technik wyznaczania stanu konta jest metoda liczb procentowych:
Metoda liczb procentowych. Niech r ozn. Roczną stopę % zgodnie ze wzorem 25, przyszla
wartość ko po t dniach w oprocentowaniu prostym jest równa kt=ko(1+t(r/360)) natomiast
odsetki proste za ten okres wynoszą Zt=kt-k0=Kot(r/360).
Czynnik Kot nazywa się liczbą procentową natomiast 360/r dzielnikiem procentowym
Zauważmy, że liczba procentowa jest f-cja czasu natomiast dzielnik procentowy jest
wielkością stałą niezależna od czasu.
Przyjmijmy teraz, żę na rachunku bankowym dokonano N operacji bankowych –wpł at i
wypłat przy czym wysokość kwoty w i-tej operacji ozn. Przez Si wpłaty poprzedzone są
znakiem + a wypłaty -, Niech ti oznacza liczbę dni, które upłynęły między dniem dokonania
i-tej operacji a dniem rozrachunku t. Przy powyższych ozn. Wart. konta bankowego w dniu t
jest równa.
Kt=S1(1+t1(r/360))+ S2(1+t2(r/360))+…+ Sn(1+n(r/360))= Σ (i=1 do n)Si+(r/360) Σ (i=1 do
n)Si ti
Sumę L= Σ (i=1 do n)Si Ti nazywamy sumaryczną liczbą procentową. Stan konta w dniu t
można zapisać w postaci
(28)Kt= Σ (i=1 do n)Si +(r/360)L
W powyższych rozważaniach zostały zastosowane standardowe liczby dni.
Stosując podobnie wyliczenia można uwzględnić rzeczywiste liczby dni.
Należy zwrócić uwagę na fakt, ze banki liczą czas oprocentowania wpłaty od
dnia następującego po jej dokonaniu, natomiast oprocentowanie wypłaty
(kredytu) liczy się od dnia jej dokonania.
Jak zauważyliśmy wcześniej rachunek procentowy w przypadku kapitalizacji
niezgodnej opisują wzory (25),(26),(27). Naszym najbliższym celem jest
zbadanie zachowania się funkcji Pk/m i Kk/m i Wk/m ,będących przyszłą
wartością kapitału Ko w zależności od okresu kapitalizacji , czyli od częstości
dopisywania odsetek. Dokładnie czy przyszła wartośc kapitału Ko przy
jednokrotnym dopisywaniu odsetek w ciagu wg stopy procentowej r jest taka
sama jak przyszła wartość tego kapitału przy dwukrotnym dopisywaniu odsetek
wg stopy procentowej r/2 i taka sama jak prz 3-krotnym dopisywaniu odsetek
wg stopy procentowej r/3 itd.
Na początek zbadamy zachowanie się Pk/m określonej wzorem (25).Wykażemy
następujące tw.1.Twierdzenie 1 Po n okresach stopy procentowej r przyszła
wartość kapitału Ko w modelu kapitalizacji prostej zgodnej PN (wzór(7)), jest
taka sama jak w modelu kapitalizacji prostej niezgodnej (wzór(25)) , tj nie
zależy od okresu kapitalizacji .Dowód Istotnie, przypuśćmy że mamy do
czynienia z wyznaczeniem przyszłej wartości Ko po n okresach stopy
procentowej n przy m-krotnym dopisywaniu odsetek w ciągu 1-go okresu stopy
procentowej. Zatem k=n*m i wzór(25) przyjmie postać
Pnm/m=Ko(1+nm*r/m)=Ko(1+nr)=Pn/1. Wzór powyższy wskazuje, że wartość
ta jest taka sama jak przy jednokrotnym dopisywaniu odsetek w ciagu okresu
stopy procentowej (tj m=1). Co wiecej jeżeli porównamy wzór (7) to widzimy,
ze jest ona taka sama jak w modelu kapitalizacji prostej zgodnej.
Przechodzimy teraz do analizy wzorów (26), (27) wyrażających wartość
przyszłą kapitału odpowiednio przy kapitalizacji złożonej z dołu i złożonej z
góry pod kątem ich zachowania względem częstości kapitalizacji zachodzi:
Twierdzenie 2 Dla każdej ustalonej wielokrotności (n) okresu stopy
procentowej przyszła wartość kapitału w modelu kapitalizacji złożonej z dołu
jest rosnącą f-cją częstości kapitalizacji odsetek (m) Dowód: Wykażemy, że dla
każdej ustalonej l naturalnej n f-cja: Knm/m=Ko(1+r/m)=Ko(1+nr/nm)nm jest
rosnaca względem m. Zauważmy na początek, że dla kapitalizacji w
podokresach jak i w nadokresach wyrażenie p = mn jest l naturalna. Gdy m
(częstość kapitalizacji) rośnie
(m->nieskończoność) wtedy również p rósnie .wystarczy wykazac ze ciag{ap}
ap=(1+nr/p)p p=1,2,… jest ciagiem rosnącym. Udowodnimy korzystając z
nierówności ,ze ciag {ap} jest rosnący ap>ap-1 p>=2
Istotnie mamy (ap+1)/(ap)=p(1+nr/p)[1-nr/(p+1)(p+nr)]p+1 Jeśli zastosujemy
nierówność Bernoulliego (30) dla x = -nr/(p+1)(p+nr) wtedy otrzymamy :
(ap+1)=(1+nr/p)*p/(p+nr)=1. Wykazaliśmy, że p jest liczba naturalna to
ap+1>ap, a więc ciąg {ap} jest rosnący. Zauważmy teraz, że Knm/m=Ko*anm.
Zatem Knm/m jest f-cja rosnącą zmiennej m co kończy dowód Uwaga Jeśli n,m
są liczbami naturalnymi wtedy (31) Knm/m=Ko(1+r/m)nm
>=Ko(1+r/1)n*1=Kn/1=Ko(1+r)n=Kn gdzie Kn określone jest wzorem (14). Na
koniec omówimy wzór (27) pod względem częstości kapitalizacji zachodzi:
Twierdzenie 3 Dla każdej ustalonej wielokrotności (n) okresu stopy
procentowej przyszła wartość kapitału w modelu kapitalizacji złozonej z góry
jest f-cja malejąca częstości kapitalizacji (m).Dowód Ponieważ k=nm, więc
wzór (27) przyjmie postać Wnm/m=Ko(1-r/m)-nm=Ko(1-nr/nm)-nm. Wyrażenie
p=nm jest liczbą naturalną , zatem wystarczy wykazać ze {bp} określamy
wzorrem bn=(1-nr/p)p jest ciagiem rosnącym. Istotnie, stosując podobne
rozumowanie jak w dow.tw2 otrzymujemy,ze (bp+1)/(bp)=(1-nr/p)*(1/(1-nr/p)).
Tak więc bp+1>bp , p należy do N jest to równoważne temu, że f-cja określone
wzorem (32) przy ustalonym n jako f-cja zmiennej m jest malejąca.
Uwaga Jeżeli n,m są dowolnymi liczbami naturalnymi, to: (33) Wnm/m=Ko(1nr/nm)-nm<=Ko(1-nr/n)-n=Wn/1=Ko(1-r)-n=Wn, gdzie Wn określone jest wzorem
(20)Uwaga Jeśli n,m są dowlnym liczbami naturalnymi, to : (34)
Kn<=knm/m<=Wnm/m<=Wn lub równowaznie
(35) Ko(1+r)<=Ko(1+r/m)nm<=Ko(1-r/m)-nm<=Ko(1-r)-n Dowód Wystraczy
wykazac ze Knm/m<=Wnm/m ,n,m naleza do N i zasotsowac (31) i (33) ,w tym
celu zauważmy, że 1-(r/m)2<1 , a wiec (1-r/m)-1=1/(1-r/m)>1+r/m i w
konsekwencji (1-r/m)-nm>(1+r/m)nm, a więc Knm/m=Ko(1+r/m)nm<=Ko(1-r/m)nm
=Wnm/m , Zatem nierówności (34) zostały wykazane
Nierówności (34), a wiec (35) oraz (31),(33) oznaczaja, że przy ustalonej oraz
od częstości dopisywanie odsetek . nierówności (34), (35) porządkują w
pewnym sensie modelu kapitalizacja złożonej.