Transformata Fouriera i analiza spektralna

Transkrypt

Transformata Fouriera
i analiza spektralna
●
●
●
●
●
●
●
Z czego składają się sygnały?
Sygnały jednowymiarowe, częstotliwość
Liczby zespolone
Szybka Transformata Fouriera (FFT)
FFT w 2D
Przykłady
Częstotliwość
Prędkość (liniowa): V = S / t
S – droga
t – czas
Prędkość kołowa: ω = θ / t
θ – kąt
t – czas
kąt pełny = 2*PI
PI=3.14....
okres T [s] – czas, w jakim przebyty zostanie kąt
pełny
Częstotliwość
kąt pełny = 2*PI
2*PI = 360˚
PI = 180˚
PI/2 = 90˚ itd...
PI=3.14....
ω = 2*PI / T = 2*PI *f
okres T [s] – czas, w jakim przebyty zostanie kąt
pełny
jednostka: sekunda 1 s
częstotliwość f [Hz] – ile pełnych kątów na sekundę
jednostka: Herz 1 Hz = 1/s
Sygnał 1D
Sygnał 1D
Sygnał 1D
Sygnały składają się z wielu składowych o różnych częstotliwościach...
Zaszumiony sygnał 1D
...dodatkowo występują w nich szumy.
Sygnał 1D
Celem analizy spektralnej i zastosowania transformaty Fouriera jest analiza
sygnału w przestrzeni częstotliwości (rys. po prawej). Widać, że w sygnale
występują dwie częstotliwości – 25 Hz oraz 40 Hz.
Przykład zastosowania:
odfiltrowanie zbędnych częstotliwości
Mając zaszumiony sygnał,
możemy przenieść go do
przestrzeni
częstotliwości....
... i zaobserwować, iż
pewne częstotliwości
zdecydowanie dominują
w sygnale, pozostałe
mogą (ale nie muszą)
odpowiadać za szum.
Usuwamy (zerujemy) “zbyt
małe” częstotliwości i
wracamy do przestrzeni
sygnału za pomocą
transformaty odwrotnej...
...otrzymując sygnał jedynie z
dominującymi składowymi
częstotliwościowymi.
t – czas (time domain)
f – częstotliwość (frequency domain)
Liczby zespolone
Liczby zespolone
Działania
Liczby zespolone
Postać trygonometryczna
Wzory Eulera
z = | z | (cosφ + i sinφ) = | z | e^(iφ)
Liczby zespolone
Symetrie
Właściwości
Konwolucja (splot) dwóch funkcji g(t) oraz h(t),
których transformatami Fouriera są odpowiednio
G(f) oraz H(f).
Zamiast dokonywać
uciążliwego obliczeniowo
splotu w sposób bezpośredni,
można obliczenia przenieść do
przestrzeni częstotliwości,
gdzie splot sprowadza się do
mnożenia.
Konwolucja (splot) to np. również nakładanie
dyskretnej maski na obraz (np. Sobela, Gaussa, itd.)
Mask = [-1,-2,-1;
0, 0, 0;
1, 2, 1];
Korelacja dwóch funkcji
* oznacza liczbę zespoloną
sprzężoną
dla dyskretnych sygnałów
Krytyczna częstotliwość Nyquista
to “sampling interval” - tzn. jak często próbkujemy dany sygnał
Próbkując dany sygnał nie jesteśmy w stanie “uchwycić” tych wysokich
częstotliwości, które są “szybsze” od naszego próbkowania.
Powyższa zależność mówi, że próbkowanie będzie skuteczne jeśli da nam
co najmniej dwie zmierzone wartości w jednym okresie T danej
częstotliwości.
Próbkowanie
W przypadku dyskretnych sygnałów, całka przechodzi w sumę.
Nasz dyskretny sygnał składa się z N zmierzonych wartości:
Możemy uzyskać informacje o następujących częstotliwościach:
Dyskretna Transformata Fouriera
Odwrotna
Dyskretna Transformata Fouriera
W ogólności wszystkie operacje są dla
liczb zespolonych.
Szybka Transformata Fouriera
Szybka Transformata Fouriera (Fast Fourier
Transform – FFT) pozwala w sposób
efektywny liczyć transformaty dla sygnałów
dyskretnych.
transformata cosinusów i sinusów
Transformata sinusów
Transformata cosinusów
FFT w 2D
FFT w dwóch wymiarach
Inverse FFT w dwóch wymiarach
FFT w 2D
Reasumując, dla obrazów przedstawianych jako dwuwymiarowa funkcja
f(m,n)
mamy
FFT w 2D
W przypadku dwóch
wymiarów, FFT wykonuje
się najpierw w jednym z
wymiarów (np. dla każdego
wiersza) a później dla
drugiego wymiaru na
otrzymanej transformacie z
pierwszej FFT.
Analogicznie jest dla
większej liczby wymiarów.
FFT w 2D
Dlatego w Matlabie wykonanie FFT dla obrazu (funkcji dwuwymiarowej)
Y = fft2(X)
jest równoważne wykonaniu jednowymiarowej FFT dla każdego wiersza
a potem jednowymiarowej FFT dla kązdej kolumny w wynikowym
obrazie
fft(fft(X).').'
FFT w 2D
FFT w 2D
FFT w 2D
FFT w 2D
FFT w 2D
Warto zwrócić uwagę,
że rysunek
transformaty pokazuje
większą energię dla
dużych
horyzontalnych
częstotliwości niż dla
dużych wertykalnych
częstotliwości.
Wynika to z faktu, iż
na oryginalnym
rysunku szybsze
zmiany następują w
przekroju poziomym
(tzn. jest większa
częstotliwość zmian),
dlatego, że prostokąt
jest węższy w
poziomie.
FFT w 2D
FFT w 2D
FFT w 2D
FFT w 2D
FFT w 2D
FFT w 2D
FFT w 2D: usuwanie częstotliwości o
niskich wspólczynnikach Fouriera
wysokich wspólczynnikach Fouriera
niskich wspólczynnikach Fouriera
wysokich wspólczynnikach Fouriera
Wniosek
Widać, że nie zawsze współczynniki Fouriera o
niskich wartościach odpowiadają za szum w obrazie
(sygnale) ale niosą ważną informację.
Konwolucja
Konwolucja dwóch obrazów w przestrzeni
oryginalnej odpowiada mnożeniu w przestrzni
częstotliwości!
Konwolucja za pomocą dyskretnej
maski 3x3
mask = [-1,-2,-1; 0, 0, 0; 1, 2, 1];
x3 = filter2(mask, x);
figure
imshow(x3,'notruesize');
title('po filtrowaniu');
Konwolucja za pomocą mnożenia
w przestrzeni częstotliwości
mask = [-1,-2,-1; 0, 0, 0; 1, 2, 1];
mask = rot90(mask,2);
mask(s(1),s(2)) = 0;
% Zero-pad mask to be 8-by-8;
%KONWOLUCJA
x2 = ifft2(fft2(x).*fft2(mask));
x2 = real(x2); % Remove imaginary part caused by roundoff error
Konwolucja za pomocą mnożenia
w przestrzeni częstotliwości
Ten sposób jest dużo oszczędniejszy w przypadku
dużych masek filtrów.
Korelacja w przestrzeni
częstotliwości
Szukany wzorzec
częstotliwości
Korelacja dwóch obrazów również może
być wydajnie przeprowadzona w przestrzeni
częstotliwości. Jest ona ponownie
równoważna mnożeniu transforat z
dodatkową rotacją szukanego wzorca.
częstotliwości
Zwróć
uwagę na
jaśniejsze
punkty.
częstotliwości
Po odpowiednim
progowaniu...
częstotliwości
...wzorzec zostaje
znaleziony.

Transformata Fouriera i analiza spektralna

Transkrypt

Podobne dokumenty

Typy transformacji obrazów

Transformata Fourier`a

x 2k

Cyfrowe przetwarzanie sygnałów

Analizator drgań (Opis stanowiska w formacie pdf)

Metody matematyczne fizyki, prof. dr hab. Maciej Błaszak

Zapisz jako PDF

inż. Pantoł Arkadiusz

Fourierowska analiza sygnałów: podstawowe definicje, własności

Nadajnik radiowy-Przycisk, typ PNH 201 pracujący w zakresie