Typy transformacji obrazów

Globalne transformacje obrazów
Marek Wnuk
< [email protected] >
KCiR (W4–K7) PWr
MW: CPOS4 – p. 1
Typy transformacji obrazów
WUDQVIRUPDFMD
SXQNWRZD
x
Φ3
x
y
y
f
g
WUDQVIRUPDFMD
ORNDOQD
x
Φ/
x
y
y
f
g
WUDQVIRUPDFMD
JOREDOQD
x
Φ*
x
y
y
f
g
MW: CPOS4 – p. 2
Liniowe transformacje globalne

fH×W



=


f (0, 0)
f (0, 1)
...
f (0,W − 1)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
f (H − 1, 0) f (H − 1, 1) ... f (H − 1,W − 1)







FH×W = PH×H fH×W QW ×W ; detP 6= 0, detQ 6= 0
F(u, v) =
H−1 W −1
∑ ∑ P(u, m) f (m, n)Q(n, v)
m=0 n=0
−1
fH×W = P−1
H×H FH×W QW ×W
MW: CPOS4 – p. 3
Własności transformacji liniowych
Separowalność:
F = (P f) Q = P (f Q)
Dla P i Q rzeczywistych, ortogonalnych i symetrycznych oraz dla
P i Q zespolonych, hermitowskich i unitarnych:
F = PfQ
f = PFQ
Przypomnienie:
A
A
A
A
jest
jest
jest
jest
symetryczna
ortogonalna
hermitowska
unitarna
⇔
⇔
⇔
⇔
AT = A
AT A = 1
AT = A⋆
AT A⋆ = 1
MW: CPOS4 – p. 4
Dyskretna transformacja Fouriera (DFT)
2π
1
EK [m, n] = √ e− j K mn ; m, n ∈ Z0K−1
K
1 j 2π mn
√
E−1
[m,
n]
=
e K ; m, n ∈ Z0K−1
K
K
FH×W = EH fH×W EW
1
F(u, v) = √
HW
H−1 W −1
∑∑
mu
nv
f (m, n)e− j2π( H + W )
m=0 n=0
−1
fH×W = E−1
H FH×W EW
1
f (m, n) = √
HW
H−1 W −1
∑∑
mu
nv
F(u, v)e j2π( H + W )
u=0 v=0
MW: CPOS4 – p. 5
Własności transformacji Fouriera
F(u, −v)
F(−u, v)
F(−u, −v)
F(aH + u, bW + v)
=
=
=
=
F(u,W − v)
F(H − u, v)
F(H − u,W − v)
F(u, v); a, b ∈ Z
f (−m, n)
f (m, −n)
f (−m, −n)
f (aH + m, bW + n)
=
=
=
=
f (H − m, n)
f (m,W − n)
f (H − m,W − n)
f (m, n); a, b ∈ Z
g = f∗h ⇔ G = F H
G = F∗H ⇔ g = f h
MW: CPOS4 – p. 6
Cykliczność transformacji Fouriera
Y
+Y
+
Y
X
X:
X
:
:X
Y+
MW: CPOS4 – p. 7
Szybka transformacja Fouriera (FFT)
2π
K = 2b , z = e− j K
K−1
√
KF(u) = Gb = ∑ f (k)zku
k=0
G(u) =
K
2 −1
∑ ( f (2m)z2mu + f (2m + 1)z(2m+1)u)
m=0
M=
K
, q = z2 , f (2m) = fe (m) , f (2m + 1) = fo (m)
2
M−1
M−1
G(u) =
∑
mu
fe (m)q
u
+z
∑
fo (m)qmu
m=0
m=0
...
aż do M=1
MW: CPOS4 – p. 8
Algorytm motylkowy FFT
N=2, M=1
0
0
F(0) =
∑
0
0
fe (0)q + z
m=0
fo (0)q0 = f (0) + f (1)
m=0
0
F(1) =
∑
0
∑
0
1
fe (0)q + z
m=0
∑
m=0
fo (0)q0 = f (0) − f (1)
złożoność obliczeniowa DFT:
C(K) = cK 2 + O(K)
złożoność obliczeniowa FFT:
C(K) = cK lg2 K + O(K)
MW: CPOS4 – p. 9
Idea algorytmu motylkowego
I
I
+
)
+
)
I
)
I
)
I
)
I
)
I
)
I
)
I
)
I
)
MW: CPOS4 – p. 10
Przykładowy obraz i jego transformata
obraz
transformata
MW: CPOS4 – p. 11
Idea filtracji w dziedzinie cz˛estotliwości
obraz
pierwotny
)
transformata
maska filtru
odtworzony
obraz
dziedzina
przestrzenna
)
widmo po
filtracji
G]LHG]LQD
F]
VWRWOLZRFL
MW: CPOS4 – p. 12
Przykład filtracji dolnoprzepustowej
dolna cz˛eść widma
wynik filtracji
MW: CPOS4 – p. 13
Przykład filtracji górnoprzepustowej
górna cz˛eść widma
wynik filtracji
MW: CPOS4 – p. 14