Teoria Grafów – PPT

Teoria Grafów – PPT
13.10.2014
Lista 2. Drzewa.
1. Drzewo o 12 wierzchołkach ma wyłącznie wierzchołki stopnia 1 oraz 3. Ile wierzchołków wiszących ma
to drzewo? Ile jest nie izomorficznych takich drzew?
2. W pewnym drzewie wszystkie wierzchołki są stopnia co najwyżej 5, a tych, które nie są liśćmi, jest
dokładnie 12. Ile liści może mieć to drzewo?
3. Uzasadnij, że każde drzewo ma przynajmniej dwa wierzchołki wiszące.
4. Nie korzystając z twierdzeń macierzowych, wyznacz liczbę drzew spinających grafu K2,n . Rozwiąż ten
problem na dwa sposoby i wywnioskuj stąd znaną tożsamość kombinatoryczną.
5. Dwa cykle Cn i Cm sklejamy: a) wspólnym wierzchołkiem; b) wspólną krawędzią. Ile drzew spinających ma otrzymany graf?
6. Ile drzew spinających ma:
r
a) cykl Cn ; b) graf czworościanu;
r
r
@ r
@
r
@r
c)
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
d)
r
7. Korzystając z twierdzeń macierzowych, wyznacz liczbę drzew spinających grafu (szkieletu) piramidy.
8. Pokaż, że każde drzewo jest grafem dwudzielnym. Jaką największą liczbę krawędzi można dodać do
poniższego drzewa, aby otrzymany w ten sposób graf prosty o tym samym zbiorze wierzchołków był
nadal dwudzielny?
r r r
r
r
r
r
r
r
r
@
@r
9. Znajdź kod Prüfera dla podanych drzew etykietowanych:
r8
3r
7r
r2
r4
r5
r1
9r
r6
8r
r4
r6
r2
r3
r7
r5
r
1@
@r10
10. Znajdź drzewo o podanym kodzie Prüfera:
a) 433153;
b) 123454321;
c) 12. . . n;
d) n. . . 21;
e) 22. . . 2 (n razy);
f) 1212. . . 12 (n razy).
11. Rozważmy wszystkie drzewa etykietowane o wierzchołkach 1, 2, . . . , n. Ile spośród nich:
a) ma wierzchołek stopnia n − 1;
b) ma wierzchołek stopnia n − 2;
c) ma wyłącznie wierzchołki stopnia 1 i 2;
d) ma stopień wierzchołka 1 równy 1;
e)* zawiera krawędź {1,2}?
12. Jak często pojawia się numer danego wierzchołka w kodzie Prüfera? Korzystając z tej obserwacji,
rozwiąż ponownie poprzednie zadanie.
13. Niech hn oznacza liczbę drzew spinających poniższego grafu. Znajdź zależność rekurencyjną dla hn i
wykaż, że hn = F2n , gdzie Fn jest n-tą liczbą Fibonacciego.
rv0
r
v1
r
v2
r
v3
...
r
r
vn−1 vn
14*. Drzewem binarnym nazywamy uporządkowane drzewo z korzeniem (tzn. takie, w którym kolejność
potomków jest ważna), w którym każdy wierzchołek ma co najwyżej dwóch potomków. Uzasadnij, że
liczba drzew binarnych o n wierzchołkach jest n-tą liczbą Catalana Cn .
15*. Korzystając z twierdzenia Kirchhoffa, uzasadnij, że liczba drzew spinających grafu Km,n wynosi
mn−1 nm−1 .
1/1