analiza częstotliwościowa

ANALIZA CZĘSTOTLIWOŚCIOWA
Analiza częstotliwościowa polega na przedstawieniu badanego sygnału za pomocą prostych
funkcji elementarnych. Zasadniczym celem analizy widmowej jest określenie częstotliwościowej
struktury badanego sygnału.
1. Sygnały okresowe
W przypadku sygnału okresowego spełniającego warunki Dirichleta (funkcja o okresie 2π
jest ograniczona na przedziale <-π,π> i przedział ten jest sumą skończonej liczby przedziałów,
wewnątrz których funkcja f jest monotoniczna i ciągła), można go przedstawić w postaci szeregu
Fouriera, składającego się z w ogólnym przypadku z czynnika stałego i sumy funkcji
trygonometrycznych o różnych pulsacjach. Najczęściej przyjmuje się, że każdy przebieg okresowy,
który może być fizycznie realizowany, spełnia warunki Dirichleta, a zatem da się wyrazić
zbieżnym szeregiem Fouriera. Tak więc fizyczna możliwość wytworzenia przebiegu okresowego
jest wystarczającym warunkiem zbieżności szeregu Fouriera.
Rozkład funkcji okresowej na szereg Fouriera ma wiele zastosowań praktycznych jak i
teoretycznych. Jedną z zalet takiego przedstawienia funkcji jest możliwość stosowania analizy
częstotliwościowej do przebiegów niesinusoidalnie zmiennych. W przypadku przetworników
liniowych każdą składową harmoniczną wymuszenia można rozpatrywać oddzielnie, a następnie,
stosując zasadę superpozycji, otrzymuje się odpowiedź na sygnał okresowy w postaci sumy
(dyskretnej lub ciągłej) odpowiedzi na poszczególne składowe funkcji wymuszającej.
Sygnał okresowy x(t) można przedstawić w postaci szeregu składowych sinusoidalnych i
cosinusoidalnych:
∞
1
x( t ) = a 0 + ∑ (a n cos( nω 0 t ) + b n sin( nω 0 t ) )
(1)
2
n =1
których pulsacje są wielokrotnościami pulsacji podstawowej ω 0 = 2 πf 0 = 2 π / T
Współczynniki Fouriera an , bn wyznacza się ze związków:
T/2
2
an =
∫ x(t) ⋅ cos(nω0 t)dt
(2)
T −T/2
n = 0,1,2,..., ∞
T/2
2
bn =
∫ x(t) ⋅ sin(nω0 t)dt
T −T/2
(2’)
n = 1,2,..., ∞
Równanie (1) można również zapisać w postaci:
∞
1
x( t ) = a 0 + ∑ c n cos( nω 0 t + ϕ n )
2
n =1
(3)
gdzie:
c n = a 2n + b 2n
b
ϕ n = − arctg n
an
-widmo amplitudowe sygnału x(t),
-widmo fazowe sygnału x(t),
1
Bardzo ważną rolę w praktyce odgrywa przedstawienie szeregu Fouriera w postaci wykładniczej,
gdyż pozwala między innymi na badanie złożonych układów liniowych pobudzanych dowolnymi
sygnałami. Podstawiając w równaniu (1):
(
)
cos(nω0 t ) =
1 jω nt
+ e − jω nt
e
2
sin( nω0 t ) =
1 jω nt
e
− e − jω nt
2j
0
(
0
0
0
)
otrzymujemy:
∞
x( t ) =
∑A
n =−∞
n
e jnω 0 t
(4)
przy czym:
An =
a n + jb n
2
A −n =
a n − jb n
2
A0 =
a0
2
dla n>0
dla n<0
dla n=0 .
Współczynniki An , A-n oblicza się z zależności:
T/2
1
An =
x( t )e − jnω 0 t dt
∫
T −T/ 2
(5)
Z równania (5) wynika, że współczynniki An i A-n są zespolone i sprzężone, zatem:
A n = A −n
Wielkości An i A-n nazywane amplitudami zespolonymi n-tej harmonicznej można zapisać w
postaci:
A n = A n e jϕ n
oraz
A − n = A − n e − jϕ n
ponieważ:
 − bn 
 a n − jb n 
 = ϕn
arg(A n ) = arg
 = arctg


2
 an 
2
Widmo amplitudowe sygnału cn można natomiast wyznaczyć wykorzystując zależność:
cn = 2 A n
W zespolonym szeregu Fouriera funkcja okresowa jest wyrażona przez sumę funkcji
wykładniczych o dodatnich i ujemnych pulsacjach, przy czym te ostatnie mają znaczenie tylko
rachunkowe. Obie składowe e jωt oraz e − jωt mogą być bowiem przedstawione jako dwa wektory na
płaszczyźnie, wirujące w przeciwnych kierunkach z pulsacją w i w sumie dające rzeczywistą
funkcję czasu, jak to wynika z zależności:
e jωt + e − jωt = 2 cos(ωt )
Wyrażenie opisane równaniem (5) nazywane jest dyskretną transformatą Fouriera, pozwalającą na
wyznaczenie widma, tj. zbioru składowych harmonicznych, które w sumie dają przebieg okresowy
x(t). Graficznie widmo to przedstawia się w postaci dwóch wykresów: widma amplitudowego jako
szeregu równoległych, pionowych odcinków o długościach proporcjonalnych do amplitud ( 2 A n )
składowych harmonicznych i widma fazowego też w postaci prążkowej zgodnej z wartościami
faz początkowych ϕ n składowych harmonicznych. W większości przypadków amplitudy
częstotliwości składowych są albo rzeczywiste, albo urojone i wtedy funkcję można opisać za
pomocą jednego widma. Równanie (4) nazywane odwrotną transformatą Fouriera, umożliwia
wyznaczenie funkcji x(t) na podstawie znajomości składowych harmonicznych.
Należy zauważyć, że pojęcie sygnału okresowego, który w ścisłym sensie powinien być nie
ograniczony w czasie, jest pojęciem teoretycznym. Dlatego też analizie harmonicznej, opartej na
przedstawieniu funkcji okresowej za pomocą szeregu Fouriera, nie można nadawać szerszej
interpretacji fizycznej. Oznacza to, że widmo prążkowe należy traktować jedynie jako pierwsze
przybliżenie widma, odpowiadającego realnie istniejącym wielkościom fizycznym.
2. Sygnały nieokresowe
Traktując sygnał nieokresowy x(t) jako sygnał okresowy, którego okres T dąży do
nieskończoności, otrzymuje się w rozwinięciu Fouriera zamiast dyskretnej sumy, sumę ciągłą
(całkę) nieskończenie małych składowych harmonicznych:
∞
x( t ) =
1
∫ X(ω)e jωt dω
2π −∞
(6)
∞
X( ω ) =
∫ x( t ) e
− jωt
dt
(7)
−∞
Przekształcenie Fouriera określone wzorem ( 6 ) pozwala więc na przedstawienie funkcji
nieokresowej jako sumy nieskończenie wielkiej liczby składowych o nieskończenie małych
amplitudach, leżących nieskończenie blisko siebie w skali częstotliwości. Funkcja X(ω)
przedstawia widmo częstotliwościowe funkcji x(t) i jest nazywana funkcją widmową lub widmem
częstotliwości. Fizycznie wielkość X(ω) reprezentuje zespolony prążek amplitudy odniesiony do
przyrostu pulsacji dω i stąd bywa też nazywana gęstością widmową amplitudy, mającą wymiar
amplitudy na interwał częstotliwości. Funkcja widmowa X(ω) może być przedstawiona w jednej z
dwu równorzędnych postaci:
3
X(ω ) = X(ω ) e − jϕ ( ω )
X( ω ) =
∞
∞
−∞
−∞
,lub
∫ x( t ) cos(ωt )dt − j ∫ x( t) sin(ωt)dt = A (ω ) − jB(ω)
gdzie:
X( ∞ ) = A 2 (ω ) + B 2 (ω )
 B(ω ) 
ϕ(ω ) = arctg

 A (ω ) 
Przedstawienie funkcji w dziedzinie czasu lub w dziedzinie częstotliwości określa daną funkcję
jednoznacznie. Dlatego nie ma znaczenia czy dana funkcja jest mierzona w dziedzinie czasu czy
częstotliwości. Stanowi to raczej problem wygody pomiaru. Na przykład w telekomunikacji
optycznej pomiary przeprowadza się przeważnie w dziedzinie czasu, natomiast w technice
pomiarów wibracji, preferuje się przeprowadzanie pomiarów w dziedzinie częstotliwości.
Stosowanie przekształceń Fouriera w praktyce powinno być oparte na znajomości jego
właściwości, prawdziwych zarówno dla widm dyskretnych jak i ciągłych. Oto niektóre z nich:
„ Zacieśnianie przedziału czasu przebiegu x(t) wiąże się z rozszerzaniem zakresu częstotliwości
jego widma przy równoczesnym zmniejszaniu wartości funkcji widmowej w ten sposób, że
powierzchnia zawarta pomiędzy wykresem tej funkcji a osią odciętych jest stała (twierdzenie o
skali czasu).
„ Przesunięciu sygnału w dziedzinie czasu o wartość t0 powoduje pomnożenie widma przez
e − jωt 0 , tzn. widmo amplitudowe nie ulega zmianie natomiast każda składowa częstotliwości
zostaje przesunięta w fazie o wartość − ωt 0 .
„ - Jeżeli funkcja x(t) ma widmo X(ω), to funkcja x(t)cos(Ωt) ma widmo postaci:
1
[ X( ω − Ω) + X( ω + Ω) ] (twierdzenie o modulacji).
2
Przekształcenie Fouriera pozwala na określenie wzajemnego związku pomiędzy
dziedzinami czasu i częstotliwości z dokładnością, która jest określona równaniem:
Ts Bs ≥
1
4π
gdzie:
Bs - szerokość pasma częstotliwości sygnału,
Ts - czas trwania sygnału.
Sformułowana powyżej zasada nieoznaczoności, oznacza w praktyce, że niemożliwe jest uzyskanie
nieograniczenie wysokiego stopnia rozdzielczości równocześnie w dziedzinie czasu i
częstotliwości. Na przykład dla sygnału sinusoidalnego, skracanie czasu jego trwania powoduje
coraz większe rozmycie jego składowej spektralnej, w wyniku czego dokładność pomiaru
częstotliwości tej składowej jest coraz mniejsza.
4
3. Cyfrowa analiza widmowa sygnałów
W ostatnich latach, dzięki opracowaniu specjalnych algorytmów oraz w wyniku szybkiego
wzrostu mocy obliczeniowej komputerów, podstawową rolę w analizie widmowej sygnałów
odgrywają metody cyfrowe. Przy cyfrowej analizie widmowej nie jest możliwe bezpośrednie
wykorzystanie przekształcenia Fouriera określonego wzorem ( 7 ), przede wszystkim ze względu
na następujące fakty doświadczalne:
• przebieg x(t) znany jest tylko w pewnym skończonym przedziale czasu, co wynika z jego
ograniczenia czasowego,
• przebieg x(t) znany jest tylko dla dyskretnych wartości czasu wziętych z tego przedziału, co
wiąże się z tzw. próbkowaniem sygnału,
• dyskretne chwilowe wartości przebiegu x(t) znane są jedynie z ograniczoną dokładnością ze
względu na kwantowanie sygnału,
• obliczenie gęstości widmowej X(ω) przeprowadzone być może jedynie ze skończoną
dokładnością arytmetyczną. Warunki jakie musi spełniać prawidłowo przeprowadzona
dyskretyzacja przebiegów czasowych zostały opisane szczegółowo w rozdziale "Rejestracja
cyfrowa".
3.1. Dyskretna transformata Fouriera DFT
Dla ciągu x(kTs ) złożonego z N próbek jednakowo odległych o Ts sekund, para transformat
Fouriera (dyskretna w czasie - dyskretna w częstotliwości) wyraża się następująco:
gdzie f s = 1 / Ts
 nf s  N −1
X n = X
 = ∑ x( kt s )e − j2 πnk / N
 N  k =0
n=0,1,...,N-1
(8)
1 N −1 nf s j2 πnk / N
x k = x( kTs ) = ∑ X( )e
N n =1
N
n=0,1,...,N-1
(9)
N
− 1 zgodnie z warunkami
2
twierdzenia o próbkowaniu. Uzyskane widmo Xn jest widmem dyskretnym a odstęp między
kolejnymi prążkami w widmie jest odwrotnie proporcjonalny do długości czasu zbierania próbek
T0 :
Jednoznaczne wyniki transformaty Xn otrzymuje się tylko dla n ∈ 0,
fs
1
1
=
=
(10)
N NTs T0
Z zależności (10) wynika, że rozdzielczość częstotliwościową widma można zwiększyć
zwiększając liczbę próbek przy tej samej częstotliwości próbkowania.
Jak wiadomo w praktyce ciąg próbek {xk } stanowi tylko fragment znacznie dłuższego
przebiegu rzeczywistego, tymczasem DFT traktuje pierwotną funkcję czasu tak, jakby była ona
okresowa - z okresem równym T0 = NTs . To wycinanie w czasie, powoduje zniekształcenie
widma, zwane przenikaniem (przeciekiem). Jeśli rzeczywiste widmo sygnału zawierało ostre
przejścia, to zastosowanie prostokątnego okna wycinającego powoduje ich wygładzenie w
otrzymanym widmie dyskretnym Xn. Te zniekształcenia szczególnie dobrze widoczne są w
przypadku gdy rzeczywisty sygnał jest okresowy, a długość okna wycinającego nie jest równa
wielokrotności okresu tego sygnału.
∆f =
5
a)
b)
c)
d)
Rys.1. Wpływ sposobu wycinania próbek na kształt widma sygnału sinusoidalnego
6
Ilustracją tego zjawiska jest rys.1., na którym przedstawiono cztery wyniki analizy
częstotliwościowej tego samego sygnału. W celu uproszczenia rozważań przyjęto do analizy sygnał
sinusoidalny o częstotliwości 1000 Hz próbkowany z częstotliwością 10 kHz. Rys.1a. przedstawia
wynik analizy 1000 próbek tego sygnału co odpowiada dokładnie 100 jego okresom (na jeden
okres sygnału przypada 10 próbek). Pobranie do analizy całkowitej liczby okresów sygnału
powoduje, że otrzymane widmo jest widmem prawidłowym tzn. w przypadku sygnału
harmonicznego zawiera tylko jeden niezerowy prążek. Rys.1b. ilustruje natomiast widmo dyskretne
uzyskane w wyniku analizy 1024 próbek tego sygnału. Jak widać widmo to znacznie różni się od
widma poprzedniego, bowiem wszystkie jego składowe są niezerowe. Nastąpiło wyraźne rozmycie
widocznego na rys.1a. prążka. Największe amplitudy mają składowe o częstotliwościach leżących
najbliżej 1000 Hz, ale są one mniejsze od amplitudy właściwej składowej sygnału. Ponadto, żadna
ze składowych nie jest składową o częstotliwości 1000 Hz. Obserwowane zniekształcenie widma
wynika z właściwości transformaty DFT traktującej pobierany do analizy ciąg próbek jak jeden
okres sygnału, niezależnie od tego czy jest on rzeczywiście okresem (lub wielokrotnością okresu)
analizowanego sygnału. W omawianym przykładzie 1024 próbki to 102,4 okresu rozpatrywanego
sygnału i dlatego uzyskane widmo jest widmem nieistniejącego sygnału okresowego o okresie
składającym się z 1024 próbek rzeczywistego sygnału. W tym nieistniejącym sygnale
występowałyby skokowe zmiany w punktach granicznych między kolejnymi jego okresami i
dlatego jego widmo zawiera wszystkie składowe harmoniczne. Ponieważ analizie za pomocą DFT
poddaje się zwykle liczbę próbek zawierającą nieznaną ilość okresów sygnału okresowego a
najczęściej analizuje się sygnały nieokresowe, żeby zmniejszyć efekt przecieku widma stosuje się
nieprostokątne okna wycinające. Są to ciągłe funkcje matematyczne, przez które mnoży się
analizowany ciąg próbek otrzymując przebieg sprowadzony do zera na swoich końcach.
Najczęściej używane okna wycinające (rys.2) to:
- okno trójkątne:
n
dla
n = 0, 1, 2, K , N / 2
N
/
2
w( n ) =
(11)
n
2−
dla n = N / 2 + 1, N / 2 + 2, K , N − 1
N /2
okno Hanninga:
w( n ) = 0,5 − 0,5 ⋅ cos(2πn / N )
dla
n = 0, 1, 2, K , N − 1
(12)
dla
n = 0, 1, 2, K , N − 1
(13)
okno Hamminga:
w( n ) = 0,54 − 0,46 ⋅ cos(2πn / N )
1
w (n )
o k n o t r ó jk ą t n e
o k n o H a n n in g a
o k n o H a m m in g a
0 ,5
0
n
Rys.2. Przykłady okien wycinających
7
Rys.1c przedstawia widmo 1024 próbek rozważanego sygnału przemnożonego przez okno
Hanninga. Widać na nim, że nastąpiło wyraźne zmniejszenie przecieku w porównaniu z widmem z
rys.1b, tzn. tylko kilka składowych harmonicznych w pobliżu 1000 Hz ma niezerowe wartości.
Należy jednak zwrócić uwagę, że zastosowanie nieprostokątnego okna wycinającego ma również
ujemny wpływ na postać widma poprzez stłumienie amplitud składowych harmonicznych a w
przypadku analizy ciągu próbek zawierającego całkowitą wielokrotność długości okresu sygnału
wprowadza niewielkie rozmycie widma (rys.1d), którego nie było w przypadku użycia okna
prostokątnego (rys.1.a).
3.2. Szybka transformata Fouriera FFT
Szybkie przekształcenie Fouriera jest specjalnym algorytmem pozwalającym na szybkie
obliczenie DFT. Algorytm FFT opracowany przez Cooleya i Tukeya w 1960 roku, umożliwił
wykorzystanie na szeroką skalę cyfrowych metod analizy widmowej. Wielu wytwórców produkuje
cyfrowe analizatory widma umożliwiające mierzenie przebiegów przejściowych lub operacje nad
widmem aż do częstotliwości rzędu 100 kHz, a także wyświetlanie widma sygnału w czasie
rzeczywistym, w przypadku gdy to widmo zmienia się w czasie.
Tradycyjny sposób obliczania N - punktowej DFT wymaga wykonania N2 złożonych
operacji mnożenia i dodawania. W przypadku gdy N=2p zastosowanie FFT zmniejsza liczbę tych
operacji do 2N lnN. Np. dla N=1024 próbek metoda FFT pozwala prawie 100 razy przyspieszyć
obliczenia.
Algorytm FFT opiera się na spostrzeżeniu, że jeśli N punktowy ciąg próbek zostanie
podzielony na dwa o długości N/2 każdy, to koszt obliczenia DFT dla każdego z nich wynosi
(N/2)2 operacji. W sumie obliczenie dwóch połówkowych transformat wymaga 2(N/2)2 operacji
czyli dwukrotnie mniej w porównaniu z N2 dla DFT całego ciągu. Jak można wykazać, dwa
połówkowe widma można przy pomocy dodatkowych N operacji połączyć w całe widmo a tym
samym zmniejszyć koszt obliczeń do N+2(N/2)2 operacji. Obliczając tym samym sposobem
transformaty ciągów połówkowych poprzez ich podział na połowy, uzyskuje się dalsze
zmniejszenie liczby koniecznych obliczeń. Jeśli liczba próbek jest całkowitą potęgą liczby 2, to
dzielenie ciągu próbek przez dwa może być kontynuowane aż do osiągnięcia zbioru transformat par
danych wejściowych. W praktyce istnieją różnorodne odmiany algorytmu FFT w zależności czy
ciąg próbek N da się przedstawić w postaci N=2p , czy też jako iloczyn innych czynników.
Literatura:
1. E. Ozimek, Podstawy teoretyczne analizy widmowej sygnałów, PWN 1985
2. Sydenham P.H., Podręcznik metrologii, tom I podstawy teoretyczne, WKiŁ 1988
3. Hagel R., Zakrzewski J., Miernictwo dynamiczne, WNT 1984
4. R.G. Lyons, Wprowadzenie do cyfrowego przetwarzania sygnałów, WKiŁ 1999
8