1 MUMIO. Lab 4a. Centralne Twierdzenie Graniczne

1
MUMIO. Lab 4a. Centralne Twierdzenie
Graniczne
1. Niech Sn = X1 + · · · + Xn , gdzie niezależne (Xi )i­1 maja̧ ten sam
rozkład
i
0
1
2
3
P (X = i) 0.3 0.2 0.4 0.1
Policz P (10 < S10 < 15) oraz zastosuj przybliżenie rozkładem normalnym dla tego prawdopodobieństwa. Jaka jest dokładność przybliżenia?
Zastosuj przybliżenie rozkładem normalnym przesuniętym o 0.5, porównaj wyniki.
2. (Tw. Moivre’a Laplace’a, aproksymacja r. dwumianowego) Niech Sn =
X1 + · · · + Xn , gdzie niezależne (Xi )i­1 maja̧ ten sam rozkład FX (x) =
(1 − p)I[0,∞) (x) + pI[1,∞) (x). Niech p = 0.3. Policz P (5 ¬ S20 ¬ 8)
oraz zastosuj przybliżenie rozkładem normalnym dla tego prawdopodobieństwa. Jaka jest dokładność przybliżenia? Zastosuj przybliżenie
rozkładem normalnym przesuniętym o 0.5, porównaj wyniki.
3. (aproksymacja r. Poissona) Niech Sn = X1 + · · · + Xn , gdzie niezależne
(Xi )i­1 maja̧ ten sam rozkład Poissona(1). Policz P (15 ¬ S20 ¬ 25)
oraz zastosuj przybliżenie rozkładem normalnym dla tego prawdopodobieństwa. Jaka jest dokładność przybliżenia? Zastosuj przybliżenie
rozkładem normalnym przesuniętym o 0.5, porównaj wyniki.
4. (aproksymacja r. gamma) iech Sn = X1 + · · · + Xn , gdzie niezależne
(Xi )i­1 maja̧ ten sam rozkład wykładniczy Exp(1). Policz P (15 ¬
S20 ¬ 25) oraz zastosuj przybliżenie rozkładem normalnym dla tego
prawdopodobieństwa. Jaka jest dokładność przybliżenia? Zastosuj przybliżenie rozkładem normalnym przesuniętym o 0.5, porównaj wyniki.
5. (aproksymacja sum zmiennych o różnych rozkładach)
Towarzystwo ubezpieczeniowe oferuje roczne kontrakty w wysokości 1
i 2, w grupach osób, gdzie w pierwszej grupie prawdopodobieństwo
śmierci równa sie 0.02, a w drugiej 0.10:
k
1
2
3
4
q k bk
0.02 1
0.02 2
0.10 1
0.10 2
1
nk
500
500
300
500
gdzie nk oznaczaja̧ liczebności konkraktów. Towarzystwo to zamierza
za 1800 powyżej opisanych kontraktów zebrać tyle składek, aby z prawdopodobieństwem 0.95 sumaryczna szkoda S = X1 + . . . + X1800 była
mniejsza od zebranej sumy. Przy tym wymaga siȩ, aby składka każdego
osobnika była proporcjonalna do wartości oczekiwanej jego szkody, tzn.
ma być postaci (1 + θ)E[Xj ], dla pewnej stałej θ > 0. Zmienne Xi sa̧
niezależne o rozkładach P (Xi = bk ) = qk , P (Xi = 0) = 1 − qk , przy
czym rozkłady zależa̧ od typu kontraktu ( np. dla i = 1, . . . , 500, k = 1).
Należy wiȩc znaleźć θ takie, że
P (S ¬ (1 + θ)ES) = 0.95,
Użyj przybliżenia normalnego dla rozkładu S i wylicz wartość θ.
6. Portfel X1 , . . . , Xn jest dwuwarstwowy, dla n = n1 + n2 ryzyk postaci Xi = Ii · Bi , gdzie P (Ii = 1) = qi . Inaczej mówiąc, ubezpieczenia wypadkowe sa̧ dwojakiego rodzaju (k = 1, 2) i mają taka samą
strukturę. Rozkład wypłaty pod warunkiem, że szkoda nastȩpuje tzn.
P (Xk ¬ x | Ik = 1) = FB (x) jest rozkładem obciȩtym wykładniczym.
Rozkład obciȩty wykładniczy zadany jest dystrybuanta̧



0
1 − e−λx
FB (x) =


1
dla
dla
dla
x<0
0¬x<L ,
x­L
dla pewnego L > 0. Specyfikuja̧c różne wartości parametrów skali i
poziomu obciȩcia, zakładamy nastȩpuja̧ce dane
k
1
2
nk
qk λk
500 0.10 1
2000 0.05 2
Lk
2.5
5.0
Wylicz θ takie, że
P (S ¬ (1 + θ)ES) = 0.95
stosując przybliżenie rozkładem normalnym dla S.
2