Ćwiczenia 7 – PRÓBY ZALEŻNE, HIPOTEZY - E-SGH

Ćwiczenia 7 – PRÓBY ZALEŻNE, HIPOTEZY NIEPARAMETRYCZNE
PRÓBY ZALEŻNE
Zadanie 1.
Dla 8 losowo wybranych uczestników kursu treningu pamięci odnotowano liczbę zapamiętanych słów przed i
po przejściu szkolenia. Wyniki zaprezentowano w tabeli:
Liczba zapamiętanych słów
9
8
7
11
6
13
10
11
przed szkoleniem
Liczba zapamiętanych słów po
11
10
9
10
8
11
13
15
szkoleniu
Czy trening poprawia liczbę zapamiętanych słów? Przyjąć poziom istotności
.
HIPOTEZY NIEPARAMETRYCZNE
(testy zgodności – sprawdzanie zgodności rozkładu zmiennej losowej z rozkładem normalnym)
Zadanie 2.
200 losowo wybranych gospodarstw domowych zapytano o uzyskiwane dochody w celu sprawdzenia, czy ich
rozkład jest zgodny z rozkladem normalnym. Dochody pogrupowano uzyskując 7 przedziałów. W dwu z nich
(skrajnych) liczebności teoretyczne wynosiły poniżej 5 jednostek. Nie była znana wartość oczekiwana ani
odchylenie standardowe rozkładu. Otrzymano wartość testu 20,51. Jaki był to test? Jaką podjęto decyzję
weryfikacyjną? Przyjęto poziom istotności
.
Zadanie 3.
Wysunieto hipotezę, że rozkład emerytur rolniczych w Polsce jest rozkładem normalnym. Zbadano 400elementową próbę losową. Tablica zawierała 10 przedziałów. Znana była wartość oczekiwana, nie było znane
odchylenie standardowe. Liczebność w każdym z przedziałów przekraczała 25 jednostek. Otrzymano wartość
testu równą 18,17. Jaki był to test? Dla jakiego poziomu istotności należy odrzucić hipotezę zerową?
Zadanie 4.
Losowa próba 200 centrów handlowych dostarczyła informacji o dziennym utargu w mln zł.
a. Na poziomie istotności
należy zweryfikować hipotezę, że rozkład utargu jest normalny N(2;
0,43. Do obliczeń należy również wykorzystać informacje z tabeli.
Utarg w mln zł
1,0-1,4
1,4-1,8
1,8-2,2
2,2-2,6
2,6-3,0
Empiryczna liczba centrów handlowych
15
45
70
50
20
Teoretyczna liczba centrów handlowych przy
16
48
71
48
17
założeniu, że rozkład kest zgodny z rozkładem
normalnym.
b. Należy podać związek pomiedzy obszarem krytycznym a poziomem istotności.
Zadanie 5.
Na poziomie istotności 0,05 należy zweryfikować hipotezę, że zmienna losowa X (poziom zadłużenia w tys. zł)
ma rozkład normalny, mając dane z próby:
x0i-x1i
0-20
20-40
40-60
60-80
>80
ogółem
ni
13
16
13
7
5
54
Zadanie 6. Na podstawie próby losowej 80 samochodów ustalono, że średni czas oczekiwania samochodów
ciężarowych na przejazd w jednym z punktów granicznych poza strefą UE wynosił 12 godz., a odchylenie
standardowe 4 godz. Do zweryfikowania hipotezy o tym, że rozkład zmiennej losowej czasu oczekiwania
samochodów ciężarowych na przejazd jest zgodny z rozkładem normalnym, dane z próby pogrupowano w 7
przedziałów.
a. Należy obliczyć i zinterpretować liczebności teoretyczne w pierwszym przedziale wiedząc, że x 11=8
godz.
b. Z jakiego przedziału liczbowego przyjęła wartość obliczona statystyka
jeśli przy poziomie istotności
nie było podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej ozn., że rozkład czasu oczekiwania na
przejazd samochodów ciężarowych w tym punkcie jest rozkładem normalnym?
Zadanie 7. Zakłada się, że rozkład wagi noworodków (w kg) jest rozkładem normalnym o wartości średniej
równej 3,5 kg oraz odchyleniu standardowym 0,5 kg. Na podstawie próby losowej 200 noworodków ustalono,
że:
a. Obliczyć i zinterpretować liczebności teoretyczne w czwartym i piątym przedziale wiedząc, że x 04=3
oraz x14=3,5.
Nr przedziału
1
2
3
4
5
6
7
Ogółem
Liczebmości teoretyczne w
10
15
50
...
...
20
18
200
przedziale
b. Z jakiego przedziału liczbowego pochodzi obliczona wartość statystyki chi-kwadrat, jeśli przy poziomie
istotności 0,1 należało odrzucić hipotezę zerową?
Zadanie 8. W celu zweryfikowania hipotezy o zgodności rozkładu rocznych wydatków na prasę rodzin 3osobowych z rozkładem normalnym zebrano informacje o wydatkach 500 losowo wybranych rodzin. Dane
pogrupowano w 6 odpowiednio licznych przedziałów klasowych. Dla pięciu pierwszych obliczono:
, wykorzystując:
z próby. W szóstym przedziale o wydatkach 750 zł i więcej
znalazło się 20 rodzin.
a. Uzupełniając brakujące dane należy zweryfikować hipotezę o zgodności rozkładu empirycznego
rocznych wydatków na prasę z rozkładem normalnym. Przyjąć poziom istotności 0,05 .
b. Dla jakiego poziomu istotności decyzja weryfikacyjna ulegnie zmianie?
Zadanie 9. W celu sprawdzenia czy kostka sześcienna do gry jest rzetelna wykonano 120 rzutów i otrzymano
następujące wyniki:
Liczba oczek
1
2
3
4
5
6
Liczba rzutów
11
30
14
10
33
22
Na podstawie uzyskanych wyników należy sprawdzić, czy badaną kostkę można uznać za rzetelną?
Zadania sprawdzające
Każdą odpowiedź jako: T – prawdziwą lub N – nieprawdziwą.
Zadanie 1.1
W celu sprawdzenia czy wyniki badań w grupie 20 osób stosujących leki na nadciśnienie uległy istotnej
poprawie, należy:
a. zastosować analizę wariancji,
b. założyć niezależność prób losowych,
c. wykorzystać test dla prób zależnych.
Zadanie 1.2
Należy stwierdzić, czy:
a. test Kołomogorowa jest przykładem testu nieparametrycznego, który jest na ogół mocniejszy od testu
chi-kwadrat oraz łatwiejszy w zastosowaniu,
b.
c.
testy nieparametryczne pozwalają uzyskać informację o kształcie rozkładu (postaci funkcyjnej),
testy zgodności zawsze zakładają, że rozkłady w próbie losowej są zawsze takie same jak w populacji
Wzory – hipotezy nieparametryczne, testy zgodności
gdzie k – liczba przedziałow, r – liczba założeń