30 marca - WordPress.com

Repetytorium z JFiZO
Jakub Michaliszyn
Zadania 31, 51, 83, 84 i jakaś redukcja
Zadanie 31. Niech L będzie językiem regularnym. Wtedy język
L∗ = {w | ∃x .wx ∈ L ∧ |wx | = |w |2 }
jest regularny.
Niech A = (Σ, Q, q0 , QF , δ) będzie DFA takim, że LA = L.
Niech Rn : 2Q → 2Q będzie taka, że
Rn (S) = {q ∈ Q | ∃s ∈ S∃y .|y | = n ∧ δ̂(s, y ) = q}.
Fakt 1. Rn+m =
Niech A = (Σ, Q, q0 , QF , δ) będzie DFA takim, że LA = L.
Niech Rn : 2Q → 2Q będzie taka, że
Rn (S) = {q ∈ Q | ∃s ∈ S∃y .|y | = n ∧ δ̂(s, y ) = q}.
Fakt 1. Rn+m =Rn ◦ Rm
Niech A = (Σ, Q, q0 , QF , δ) będzie DFA takim, że LA = L.
Niech Rn : 2Q → 2Q będzie taka, że
Rn (S) = {q ∈ Q | ∃s ∈ S∃y .|y | = n ∧ δ̂(s, y ) = q}.
Fakt 1. Rn+m =Rn ◦ Rm
Twierdzenie
Dla każdych x , y , jeśli δ̂(q0 , x ) = δ̂(q0 , y ), R|x | = R|y | i
R|x |2 −|x | = R|y |2 −|y | , to x ∼√L y .
Wniosek:
√
L jest regularny (z twierdzenia o indeksie).
Twierdzenie
Dla każdych x , y , jeśli δ̂(q0 , x ) = δ̂(q0 , y ), R|x | = R|y | i
R|x |2 −|x | = R|y |2 −|y | , to x ∼√L y .
Weźmy dowolne x , y , z takie, że δ̂(q0 , x ) = δ̂(q0 , y ),
R|x | = R|y | i R|x |2 −|x | = R|y |2 −|y | .
Twierdzenie
Dla każdych x , y , jeśli δ̂(q0 , x ) = δ̂(q0 , y ), R|x | = R|y | i
R|x |2 −|x | = R|y |2 −|y | , to x ∼√L y .
Weźmy dowolne x , y , z takie, że δ̂(q0 , x ) = δ̂(q0 , y ),
R|x | = R|y | i R|x |2 −|x | = R|y |2 −|y | .
Pokażemy,
√ że:
√
1. x ∈ L wtw. y ∈ L.
2. δ̂(q0 , xz) = δ̂(q0 , yz).
3. R|xz| = R|yz| .
4. R|xz|2 −|xz| = R|yz|2 −|yz| .
√
√
Wniosek: xz ∈ L wtw. yz ∈ L.
√
√
x ∈ L wtw. y ∈ L.
δ̂(q0 , xz) = δ̂(q0 , yz).
R|xz| = R|yz| .
R|xz|2 −|xz| = R|yz|2 −|yz| .
√
Dowód 1. x ∈ L wtw. R|x |2 −|x | ({δ̂(q0 , x )}) ∩ QF 6= ∅.
1.
2.
3.
4.
√
√
x ∈ L wtw. y ∈ L.
δ̂(q0 , xz) = δ̂(q0 , yz).
R|xz| = R|yz| .
R|xz|2 −|xz| = R|yz|2 −|yz| .
√
Dowód 1. x ∈ L wtw. R|x |2 −|x | ({δ̂(q0 , x )}) ∩ QF 6= ∅.
2 - oczywiste.
1.
2.
3.
4.
√
√
x ∈ L wtw. y ∈ L.
δ̂(q0 , xz) = δ̂(q0 , yz).
R|xz| = R|yz| .
R|xz|2 −|xz| = R|yz|2 −|yz| .
√
Dowód 1. x ∈ L wtw. R|x |2 −|x | ({δ̂(q0 , x )}) ∩ QF 6= ∅.
2 - oczywiste.
3 - R|xz| = R|z| ◦ R|x | .
1.
2.
3.
4.
√
√
x ∈ L wtw. y ∈ L.
δ̂(q0 , xz) = δ̂(q0 , yz).
R|xz| = R|yz| .
R|xz|2 −|xz| = R|yz|2 −|yz| .
√
Dowód 1. x ∈ L wtw. R|x |2 −|x | ({δ̂(q0 , x )}) ∩ QF 6= ∅.
2 - oczywiste.
3 - R|xz| = R|z| ◦ R|x | .
4R|xz|2 −|xz| = R|x |2 +2|x ||z|+|z|2 −|x |−|z| = R|x |2 −|x | ◦ R|z|2 −|z| ◦ R2|x ||z| .
1.
2.
3.
4.
√
√
x ∈ L wtw. y ∈ L.
δ̂(q0 , xz) = δ̂(q0 , yz).
R|xz| = R|yz| .
R|xz|2 −|xz| = R|yz|2 −|yz| .
√
Dowód 1. x ∈ L wtw. R|x |2 −|x | ({δ̂(q0 , x )}) ∩ QF 6= ∅.
2 - oczywiste.
3 - R|xz| = R|z| ◦ R|x | .
4R|xz|2 −|xz| = R|x |2 +2|x ||z|+|z|2 −|x |−|z| = R|x |2 −|x | ◦ R|z|2 −|z| ◦ R2|x ||z| .
2|z|
Zauważmy, że R2|x ||z| = R|x | .
1.
2.
3.
4.
Zadanie 31
Zadanie 51
Zadanie 83
Zadanie 84
Jakaś redukcja
51. Każdy bezkontekstowy język nad {0} jest regularny.
Dowód. Weźmy bezkontektowy język L i niech p będzie stałą
dla niego z lematu o pompowaniu.
Zadanie 31
Zadanie 51
Zadanie 83
Zadanie 84
Jakaś redukcja
51. Każdy bezkontekstowy język nad {0} jest regularny.
Dowód. Weźmy bezkontektowy język L i niech p będzie stałą
dla niego z lematu o pompowaniu.
Niech wk,l - najkrótsze słowo takie, że |wk,l | mod l = k oraz
dla każdego n mamy wk,l 0nl ∈ L lub ∅ gdy takiego nie ma.
Zadanie 31
Zadanie 51
Zadanie 83
Zadanie 84
Jakaś redukcja
51. Każdy bezkontekstowy język nad {0} jest regularny.
Dowód. Weźmy bezkontektowy język L i niech p będzie stałą
dla niego z lematu o pompowaniu.
Niech wk,l - najkrótsze słowo takie, że |wk,l | mod l = k oraz
dla każdego n mamy wk,l 0nl ∈ L lub ∅ gdy takiego nie ma.
r=
X
w ∈L:|w |≤p
w+
X
k,l:0≤k<l≤p
wk,l (0l )∗
Zadanie 31
Zadanie 51
Zadanie 83
Zadanie 84
Jakaś redukcja
51. Każdy bezkontekstowy język nad {0} jest regularny.
Dowód. Weźmy bezkontektowy język L i niech p będzie stałą
dla niego z lematu o pompowaniu.
Niech wk,l - najkrótsze słowo takie, że |wk,l | mod l = k oraz
dla każdego n mamy wk,l 0nl ∈ L lub ∅ gdy takiego nie ma.
r=
X
w ∈L:|w |≤p
Twierdzenie. Lr = L.
w+
X
k,l:0≤k<l≤p
wk,l (0l )∗
Zadanie 31
Zadanie 51
Zadanie 83
Zadanie 84
Jakaś redukcja
51. Każdy bezkontekstowy język nad {0} jest regularny.
Dowód. Weźmy bezkontektowy język L i niech p będzie stałą
dla niego z lematu o pompowaniu.
Niech wk,l - najkrótsze słowo takie, że |wk,l | mod l = k oraz
dla każdego n mamy wk,l 0nl ∈ L lub ∅ gdy takiego nie ma.
r=
X
w+
w ∈L:|w |≤p
Lemat 1. Lr ⊆ L. Oczywiste
X
k,l:0≤k<l≤p
wk,l (0l )∗
Zadanie 31
Zadanie 51
Zadanie 83
Zadanie 84
Jakaś redukcja
51. Każdy bezkontekstowy język nad {0} jest regularny.
Dowód. Weźmy bezkontektowy język L i niech p będzie stałą
dla niego z lematu o pompowaniu.
Niech wk,l - najkrótsze słowo takie, że |wk,l | mod l = k oraz
dla każdego n mamy wk,l 0nl ∈ L lub ∅ gdy takiego nie ma.
r=
X
w ∈L:|w |≤p
w+
X
wk,l (0l )∗
k,l:0≤k<l≤p
Lemat 2. Lr ⊇ L. Niech w ∈ L. Jeśli |w | < p, to teza jest
oczywista. W przeciwnym razie istnieją słowa s, z, t, y , x takie,
że dla każdego |zty | ≤ p i dla każdego d, sz d ty d x ∈ L. Więc,
istnieje l takie, że dla każdego d mamy w 0ld ∈ L.
Niech k = |w | mod l. Wtedy wk,l 6= ∅ oraz w ∈ Lwk,l (0l )∗ .
Zadanie 31
Zadanie 51
Zadanie 83
Zadanie 84
Jakaś redukcja
83. Każdy niepusty zbiór rekrurencyjnie przeliczalny jest
zbiorem wartości pewnej całkowitej funkcji.
Weźmy dowolny niepusty zbiór rekurencyjnie przeliczalny X
oraz dowolne i ∈ X . Niech ψ będzie programem
semi-rozstrzygającym X .
Rozpatrzmy program ΦX :
Zadanie 31
Zadanie 51
Zadanie 83
Zadanie 84
Jakaś redukcja
83. Każdy niepusty zbiór rekrurencyjnie przeliczalny jest
zbiorem wartości pewnej całkowitej funkcji.
Weźmy dowolny niepusty zbiór rekurencyjnie przeliczalny X
oraz dowolne i ∈ X . Niech ψ będzie programem
semi-rozstrzygającym X .
Rozpatrzmy program ΦX :
wczytaj n
niech k, l będą maksymalne takie, że 2k | n oraz 3l | n.
jeśli ψ(k) uruchomione na l zwraca 1, zwróć k, inaczej
zwróć i.
Twierdzenie. Zbiorem wartości ΦX jest X .
Zadanie 31
Zadanie 51
Zadanie 83
Zadanie 84
Jakaś redukcja
83. Każdy niepusty zbiór rekrurencyjnie przeliczalny jest
zbiorem wartości pewnej całkowitej funkcji.
Weźmy dowolny niepusty zbiór rekurencyjnie przeliczalny X
oraz dowolne i ∈ X . Niech ψ będzie programem
semi-rozstrzygającym X .
Rozpatrzmy program ΦX :
wczytaj n
niech k, l będą maksymalne takie, że 2k | n oraz 3l | n.
jeśli ψ(k) uruchomione na l zwraca 1, zwróć k, inaczej
zwróć i.
Twierdzenie. Zbiorem wartości ΦX jest X . 1. ΦX zwraca tylko
elementy z X .
Zadanie 31
Zadanie 51
Zadanie 83
Zadanie 84
Jakaś redukcja
83. Każdy niepusty zbiór rekrurencyjnie przeliczalny jest
zbiorem wartości pewnej całkowitej funkcji.
Weźmy dowolny niepusty zbiór rekurencyjnie przeliczalny X
oraz dowolne i ∈ X . Niech ψ będzie programem
semi-rozstrzygającym X .
Rozpatrzmy program ΦX :
wczytaj n
niech k, l będą maksymalne takie, że 2k | n oraz 3l | n.
jeśli ψ(k) uruchomione na l zwraca 1, zwróć k, inaczej
zwróć i.
Twierdzenie. Zbiorem wartości ΦX jest X . 1. ΦX zwraca tylko
elementy z X . 2. Jeśli ψ(x ) zwraca 1 po l krokach, to
ΦX (2x 3l ) zwraca x .
Zadanie 31
Zadanie 51
Zadanie 83
Zadanie 84
Jakaś redukcja
84. Każdy nieskończony zbiór rekrurencyjnie przeliczalny jest
zbiorem wartości pewnej różnowartościowej, całkowitej funkcji.
Weźmy dowolny nieskończony zbiór rekurencyjnie przeliczalny
X . Rozpatrzmy program ΨX :
Zadanie 31
Zadanie 51
Zadanie 83
Zadanie 84
Jakaś redukcja
84. Każdy nieskończony zbiór rekrurencyjnie przeliczalny jest
zbiorem wartości pewnej różnowartościowej, całkowitej funkcji.
Weźmy dowolny nieskończony zbiór rekurencyjnie przeliczalny
X . Rozpatrzmy program ΨX :
wczytaj n
niech Z ← ∅
dla i = 1, 2, ...
x ← ΦX (i)
jeśli x 6∈ Z oraz |Z | = n to zwróć x
Z ← Z ∪ {x }
Twierdzenie. ΨX jest jak trzeba.
Zadanie 31
Zadanie 51
Automat kolejkowy.
Zadanie 83
Zadanie 84
Jakaś redukcja
Zadanie 31
Zadanie 51
Automat kolejkowy.
Zadanie 83
Zadanie 84
Jakaś redukcja
Zadanie 31
Zadanie 51
Zadanie 83
Zadanie 84
Jakaś redukcja
Automat kolejkowy.
(Γ, Q, q0 , δ, qf ) gdzie δ ⊆ Q × Γ ∪ {⊥} × Q × Γ∗ .
Intuicja: δ(q, s, q 0 , s1 . . . sn ) oznacza „jeśli jesteś w stanie q a
kolejka jest postaci sk1 . . . kl dla pewnych k1 , ..., kl , to przejdź
do stanu q 0 i kolejki k1 . . . kl s1 . . . sn (⊥ - pusta kolejka).
Zadanie 31
Zadanie 51
Zadanie 83
Zadanie 84
Jakaś redukcja
Automat kolejkowy.
(Γ, Q, q0 , δ, qf ) gdzie δ ⊆ Q × Γ ∪ {⊥} × Q × Γ∗ .
Intuicja: δ(q, s, q 0 , s1 . . . sn ) oznacza „jeśli jesteś w stanie q a
kolejka jest postaci sk1 . . . kl dla pewnych k1 , ..., kl , to przejdź
do stanu q 0 i kolejki k1 . . . kl s1 . . . sn (⊥ - pusta kolejka).
Twierdzenie. Problem stopu dla automatu kolejkowego jest
nierozstrzygalny.
Dowód. Zredukujemy problem stopu maszyny Turinga.
Zadanie 31
Zadanie 51
Zadanie 83
Zadanie 84
Jakaś redukcja
Automat kolejkowy.
(Γ, Q, q0 , δ, qf ) gdzie δ ⊆ Q × Γ ∪ {⊥} × Q × Γ∗ .
Intuicja: δ(q, s, q 0 , s1 . . . sn ) oznacza „jeśli jesteś w stanie q a
kolejka jest postaci sk1 . . . kl dla pewnych k1 , ..., kl , to przejdź
do stanu q 0 i kolejki k1 . . . kl s1 . . . sn (⊥ - pusta kolejka).
Twierdzenie. Problem stopu dla automatu kolejkowego jest
nierozstrzygalny.
Dowód. Zredukujemy problem stopu maszyny Turinga. Niech
M będzie maszyną a x dowolnym wejściem, skonstruujemy
automat, który staje wtw., gdy M(x ) staje.
Idea na tablicy.
(q0 , ⊥, (q0M , szukaj), $x £B#)
Zadanie 31
Zadanie 51
Zadanie 83
Zadanie 84
Jakaś redukcja
Automat kolejkowy.
(Γ, Q, q0 , δ, qf ) gdzie δ ⊆ Q × Γ ∪ {⊥} × Q × Γ∗ .
Intuicja: δ(q, s, q 0 , s1 . . . sn ) oznacza „jeśli jesteś w stanie q a
kolejka jest postaci sk1 . . . kl dla pewnych k1 , ..., kl , to przejdź
do stanu q 0 i kolejki k1 . . . kl s1 . . . sn (⊥ - pusta kolejka).
Twierdzenie. Problem stopu dla automatu kolejkowego jest
nierozstrzygalny.
Dowód. Zredukujemy problem stopu maszyny Turinga. Niech
M będzie maszyną a x dowolnym wejściem, skonstruujemy
automat, który staje wtw., gdy M(x ) staje.
Idea na tablicy.
(q0 , ⊥, (q0M , szukaj), $x £B#)
Czy dla deterministycznych automatów problem jest
rozstrzygalny?