Teoria mocy I - Maciej Bendkowski

MFI
Metody Formalne Informatyki: Zestaw 7
Semestr zimowy 2016/2017
Kraków
25 listopada 2016
Teoria mocy I
Zbiory A i B nazywamy równolicznymi jeżeli istnieje bijekcja f : A → B. Równoliczność
zbiorów oznaczamy przez A ∼m B. W przypadku, gdy istnieje iniekcja ze zbioru A w zbiór
B używamy oznaczenia A ¬m B. Gdy zbiory A oraz B nie są równoliczne i jednocześnie
istnieje iniekcja ze zbioru A w B używamy oznaczenia A <m B. Zbiór A jest skończony
jeżeli jest równoliczny z pewną liczbą naturalną. Jeżeli zbiór A jest równoliczny z pewnym
podzbiorem liczb naturalnych N0 ⊆ N mówimy, że A jest przeliczalny.
Zadanie 1. Wykaż następujące fakty:
(i) ∼m jest relacją równoważności (w ramach ustalonej przestrzeni X),
(ii) Jeżeli A ∼m B oraz C ∼m D to AC ∼m B D ,
(iii) (AB )C ∼m AB×C ,
(iv) (A × B)C ∼m AC × B C ,
(v) P(A) ∼m 2A .
Zadanie 2. Wykaż, że:
(i) podzbiór zbioru skończonego jest skończony, oraz
(ii) obraz przez funkcję zbioru skończonego jest skończony.
Zadanie 3. Zbiór X daje się ustawić w ciąg jeżeli istnieje surjekcja f : N → X. Udowodnij, że niepusty X jest przeliczalny wtedy i tylko wtedy, gdy daje się ustawić w ciąg.
Zadanie 4. Wykaż, że:
(i) Suma zbiorów przeliczalnych jest przeliczalna,
(ii) Iloczyn kartezjański zbiorów przeliczalnych jest przeliczalny,
(iii) Nk dla dowolnego k ­ 1 jest przeliczalny,
(iv) Zbiór skończonych ciągów o elementach ze zbioru przeliczalnego jest przeliczalny.
Zadanie 5. Czy dla dowolnego zbioru A zachodzi nierówność |
T
A| 6 |A|?
Zadanie 6. Dane są zbiory A, B, C. Czy z faktu, że moc zbioru iniekcji A → B jest
równa mocy zbioru iniekcji A → C wynika, że B ∼ C?
Zadanie 7. Ustalamy dwie proste na płaszczyźnie. Czy od ich doboru zależy moc zbioru
prostych nieprzecinających żadnej z nich?
Zadanie 8. Wyznacz moc:
(i) zbioru okręgów o promieniach o długości będącej liczbą wymierną, których środki
leżą w punktach o współrzędnych wymiernych,
(ii) zbioru zawierającego rozłączne koła położone na płaszczyźnie,
(iii) {(x, y) ∈ R2 : ∃w∈Q x − y = w}.
Strona 1/2
MFI
Metody Formalne Informatyki: Zestaw 7
Semestr zimowy 2016/2017
Kraków
25 listopada 2016
Zadanie 9. (?) Pokaż, że na płaszczyźnie istnieje okrąg, którego każdy punkt ma co
najmniej jedną współrzędną niewymierną.
Zadanie 10. Jaka jest moc zbioru wszystkich wypukłych zbiorów na płaszczyźnie R2 ?
Zadanie 11. (?) Czy zbiór wszystkich takich trójkątów na płaszczyźnie, których jeden
wierzchołek ma współrzędne niewymierne, a dwa pozostałe mają współrzędne wymierne,
jest przeliczalny?
Zadanie 12. Niech A ⊆ R będzie zbiorem przeliczalnym. Czy istnieje taka liczba rzeczywista a, dla której zbiory A oraz {x + a : x ∈ A} są rozłączne?
Zadanie 13. Pokaż, że zbiory NN oraz 2N są równoliczne.
Zadanie 14. Pokaż, że zbiory RR oraz 2R są równoliczne.
Zadanie 15. (?) Podaj moc zbioru funkcji f : N → N takich, że:
(i) f ({0, 1}) = ∅,
(ii) f ({0, 1}) = {2, 3, 4},
(iii) f ({0, 1}) = {1, 2},
(iv) f (N \ {0, 1}) = {0},
(v) f −1 ({0, 1}) = ∅,
(vi) funkcja f nie ma punktów stałych,
(vii) zbiór punktów stałych funkcji f jest koskończony,
(viii) funkcja f jest iniekcją,
(ix) funkcja f jest surjekcją,
(x) funckja f jest bijekcją,
(xi) funkcja f jest silnie rosnąca,
(xii) funkcja f jest silnie malejąca,
(xiii) funkcja f jest słabo rosnąca,
(xiv) funkcja f jest słabo malejąca.
Zadanie 16. (?) Udowodnij, że zbiór punktów nieciągłości monotonicznej funkcji zmiennej rzeczywistej jest co najwyżej przeliczalny.
Strona 2/2