W2 Uklady dynamiczne odcinkami liniowe

Dynamika Uk»adów Nieliniowych 2009
Wykład 2
1
Uk»ady dynamiczne
Uk»adem dynamicznym b“dziemy nazywali deterministyczn recept“
na dokonanie ewolucji w czasie stanu danego uk»adu.
Czas moóe byƒ albo dyskretny albo wielkoÑci cig»:
- odwzorowania dyskretne (mapy) s przyk»adem uk»adów z dyskretnym czasem
- autonomiczne równania róóniczkowe zwyczajne pierwszego rz“du - przyk»adem uk»adów z czasem
jako zmienn cig»
r
dx r r
= F [x (t) ]
dt
Uk»ady równa½ nieautonomicznych moóna zamieniƒ na równania autonomiczne poprzez dodanie
odpowiedniego równania do uk»adu.
Uwagi:
a) W wi“kszoÑci podr“czników w cz“Ñci "teoretycznej" rozpatruje si“ albo odwzorowania dyskretne
albo tylko równania róóniczkowe zwyczajne. Wynika to raczej z ogranicze½ matematyki nió realnej
sytuacji w przyrodzie !
W tych samych podr“cznikach analizuje si“ wiele doÑwiadcze½, które ewidentnie nie mog byƒ
opisane równania róóniczkowymi zwyczajnymi (konwekcja, przep»yw hydrodynamiczny, zmienność rytmu
serca i inne).
Dynamika Uk»adów Nieliniowych 2009
Wykład 2
2
b) óeby rozwizania by»y nieregularne w czasie (chaos deterministyczny) uk»ad dynamiczny musi byƒ
odpowiednio wielowymiarowy:
- w przypadku uk»adów dyskretnych - juó jednowymiarowe zagadnienia mog dawaƒ zachowania
nieregularne (chaotyczne)
- w przypadku uk»adów opisywanych uk»adem równa½ róóniczkowych liczba tych równa½ musi byƒ
conajmniej 3
Pytanie: dlaczego w takim razie równanie róóniczkowe 2-giego rz“du dla wahad»a daje odpowiedï
chaotyczn ?
c) przestrze½ fazowa: przestrze½ wektorów x(t)
- nie myliƒ z przestrzeni fazow z fizyki statystycznej: tam jest to przestrze½ {x(t), v(t)}
co wynika z 2-giego rz“du równa½ ruchu - natomiast tu s one 1-szego rz“du.
Dyskretne odwzorowania jednowymiarowe
Odwzorowania odcinkami liniowe:
Najprostszym odwzorowanie tego typu jest odwzorowanie Bernoulliego:
n-krotne iterowanie odwzorowania jednowymiarowego:
xn+1 = σ ( xn ) = 2 xn mod 1
poczynajc od warunku pocztkowego x0
daje cig wartoÑci
x1 = σ(x0), x2 = σ(σ(x0)), .... , xn = σ(....σ(σ(x0))
Dynamika Uk»adów Nieliniowych 2009
Wykład 2
3
Wprowadzimy oznaczenie: n-krotne wykonanie odwzorowania (n-krotne złoŜenie odwzorowania)
będzie oznaczone przez górny indeks n.
Uwaga: n-krotne złoŜenie odwzorowania σ oznaczamy σn.
Przykład: program Modmap;
a) przyjąć parametry:
parametr kontrolny 1.999999;
warunek początkowy dowolny z zakresu (0,1);
argument modulo 100;
rząd złoŜenia 1
b) przyjąć parametry:
parametr kontrolny 1.999999;
warunek początkowy dowolny z zakresu (0,1);
argument modulo 1;
rząd złoŜenia 1
Definicja:
Punkt x* jest punktem sta»»ym odwzorowania σ jeóeli
x* = σ(x*)
tzn. punkty sta»e leó na przeci“ciu wykresu σ(x) z dwusieczn kta prostego.
Dynamika Uk»adów Nieliniowych 2009
4
Wykład 2
Przedstawimy teraz warunek pocztkowy w postaci binarnej:
∞
x0 = ∑aν 2
-ν
ν =1
tzn w postaci:
x0 = 0,a1a2a3a4...
gdzie av przyjmuj wartoÑci 0 lub 1.
Dla x0 < 0.5 mamy a1 = 0
Dla x0 > 0.5 mamy a1 = 1
Pierwsza iteracja odwzorowania σ(x0) oznacza przesuni“cie cigu reprezentacji binarnej o 1 miejsce w
lewo (mnoóenie wielkoÑci binarnej przez 2) oraz usuni“ciu pierwszej cyfry cigu (modulo 1).
tzn.
x1 = 0,a2a3a4...
Przy kaódej iteracji σ realizuje si“ wi“c
przesuni“cie Bernoulliego
Ma ono nast“pujce w»asnoÑci:
1) Czu»oу na warunki pocztkowe
JeÑli dwa warunki pocztkowe róóni si“ od siebie tylko na n-tym miejscu po przecinku to
róónica jest powi“kszana przez dzia»anie σ (2 krotnie z kaód iteracj)
Dynamika Uk»adów Nieliniowych 2009
2)
Wykład 2
5
Cig iteracji σn jest w takim samym stopniu cigiem losowym jak cig rzutów monet: zawsze
moóna tak dobraƒ x0 aby 0 i 1 w zapisie binarnym odpowiada»y kolejnym or»om i reszkom rzutu
monet
(te cigi s wtedy izomorficzne)
3) chociaŜ badany uk»ad jest deterministyczny i rozpoczyna ruch się z warunku początkowego x0 ∈
[0,1]
na skutek kolejnych iteracji odwzorowania dyskretnego stan jest ergodyczny.
Oznacza to:
obrazy dowolnego x0 ∈ [0,1] zblióaj si“ na odleg»oу ε = 2-n do kaódego punktu odcinka [0,1]
niesko½czenie wiele razy.
Przykład: program Modmap;
przyjąć parametry:
parametr kontrolny 1.999999;
warunek początkowy dowolny z zakresu (0,1);
argument modulo 1;
rząd złoŜenia 1 a następnie 2, 4, 8,……
Dynamika Uk»adów Nieliniowych 2009
Wykład 2
6
Przesuni“cie Bernoulliego jest bezpoÑrednim powodem pojawiania si“ orbit periodycznych:
Przyk»ad:
x0 = 0.1010101010....
(= 2/3)
x1 = σ(x0) = 0.0101010...
(= 1/3)
x2 = σ(x1) = 0.101010...
(= 2/3)
Mamy wi“c orbit“ periodyczn o okresie p
gdy dobierzemy warunek pocztkowy tak aby jego zapis binarny x0 = 0,a1a2...apa1a2...apa1a2...apa1a2...ap
itd.
Przykład: program Modmap;
przyjąć parametry:
parametr kontrolny 1.999999;
warunek początkowy 0.666666 a następnie 0.333333333
argument modulo 1;
rząd złoŜenia 1
Punkt y na orbicie o okresie p jest równieó punktem sta»ym mapy p-krotnie z»oóonej tj.
y = σp(y)
Dynamika Uk»adów Nieliniowych 2009
Wykład 2
7
Mechanizm powstawania chaosu deterministycznego w postaci przesuni“cia Bernoulliego jest ca»kowicie
uniwersalny:
- we wszystkich nieliniowych uk»adach dynamicznych pojawia si“ rozciganie a nast“pnie sk»adanie
Dla naszego jednowymiarowego odwzorowania σ:
• Pocztkowo dla x0 < 0.5 odwzorowanie σ rozciga odcinek (0,x0] o czynnik 2
• Następnie, gdy n > n0 gdzie n0 takie, óe 2n0 x0 ≥ 1
zaczyna odgrywaƒ rol“ funkcja modulo:
odwzorowuje ona x0 z powrotem w odcinek jednostkowy.
Innych moóliwoÑci nie ma: bez modulo nie by»oby rozwiza½ ograniczonych do jakiegoÑ skończonego
obszaru przestrzeni fazowej.
Dynamika Uk»adów Nieliniowych 2009
8
Wykład 2
Wyk»adnik Lapunowa
Rozciganie powoduje, óe blisko siebie leóące punkty pod wp»ywem odwzorowania nieliniowego f(xn)
oddalaj si“ od siebie:
gdzie λ jest wyk»adnikiem Lapunowa.
N pełni rolę czasu o wartościach dyskretnych a więc λ jest (średnią prędkością oddalania się (zbliŜania)
trajektorii.
Jak widaƒ:
ε exp( N λ ( x0 )) = | f N ( x0 + ε ) - f N ( x0 ) |
W granicy otrzymuje si“ Ñcis»e wyraóenie na wykładnik Lapunowa λ(x0):
N
( x0 + ε ) - f ( x0 )
F
|
λ ( x0 ) = lim lim ln |
N
N →∞
ε
ε →0
N
1
df ( x0 )
= lim ln |
|
N
N →∞
dx0
1 N -1
= lim ∑ ln | f (′ xi ) |
N →∞ N i = 0
Dynamika Uk»adów Nieliniowych 2009
Wykład 2
9
Wykladnik Lapunowa mierzy Ñredni ubytek informacji o po»oóeniu punktu na odcinku [0,1) po jednej
iteracji odwzorowania.
Wyk»adnik Lapunowa a stabilnoу punktu sta»ego
Definicja:
Punkt sta»y x* jest lokalnie stabilny, jeśli wszystkie punkty x0 w pewnym otoczeniu x*
s do niego przycigane: inaczej jeÑli cig iteracji
x0,x1,x2,....,xn,.... → x*
Analityczne kryterium lokalnej stabilnoÑci jest spe»nione dla warunku:
|
d
*
f(x*) | < 1
dx
dlatego, óe odleg»oу od punktu sta»ego:
δ n + 1 = | x n + 1 - x* |= | f( x* + δ n ) - x* |
≈ |
d
*
f( x* ) | δ n
dx
Widzimy zwizek pomi“dzy wyk»adnikiem Lapunowa a stabilnoÑci punktu sta»ego odwzorowania.
W»asnoу ta moóe byƒ uogólniona:
dodatni wyk»adnik Lapunowa Ñwiadczy o niestabilnoÑci rozwizania
(ale nie o braku rozwizania).
Dynamika Uk»adów Nieliniowych 2009
Wykład 2
Przyk»ad:
Odwzorowanie trójktne ("mapa namiotowa"):
1
∆ (x) = a ( 1 - 2 | - x |)
2
*
Dla a < 0.5 punkt sta»y x = 0 jest jedynym punktem stabilnym ca»ego odcinka [0,1)
Dla a > 0.5 s dwa niestabilne punkty sta»e: 0 i 2a/(1+2a).
Weïmy ∆n(xn) dla a=1. Jest ono teó kawa»kami liniowe.
Przykład: program TentMap
Przyjmując dowolny warunek początkowy obszaru basenu atrakcji (0,1) oraz rząd złoŜenia 1
Prześledzić zachowanie odwzorowania namiotowego dla 0< a < 0.5 oraz 0.5 <a < 0.99999999.
Sprawdzić, Ŝe dla a = 0.9999999999 osiąga się punkt stały x* = 2/3.
Dla 0.5 <a < 0.99999999
x* = 2a/(1+2a)
10
Dynamika Uk»adów Nieliniowych 2009
Wykład 2
11
Wsz“dzie poza przeliczalnym zbiorem punktów:
j⋅2-n gdzie j=0,1,2,...,2n
d
| ∆ n (x) |= 2 n
dx
Pochodna ta jest miarą stabilności rozwiązania.
Widzimy wi“c, óe odleg»oу (prawie) kaŜdej pary punktów x0, x0+ε roÑnie wyk»adniczo z n.
Std wyk»adnik Lapunowa jest nie zaleŜny od warunku pocztkowego x0
λ = ln 2
Dla dowolnej wartoÑci parametru kontrolnego a
λ = ln 2a
i zmienia znak dla wartoÑci krytycznej ac = 1/2
Pokaz: Wykładnik Lagunowa w funkcji parametry kontrolnego dla róŜnych odwzorowań
Analogia do zjawisk krytycznych fizyki statystycznej:
W poblióu punktu krytycznego ac wyk»adnik Lapunowa zmienia si“ zgodnie z prawem:
λ ∝ (r - rc )
Wyk»adnik Lapunowa spe»nia wi“c rol“ parametru porzdku w analogii do przejу fazowych fizyki
statystycznej stanów równowagi.
Dynamika Uk»adów Nieliniowych 2009
Wykład 2
12
Miara niezmiennicza
Na pocztek:
G“stoу niezmiennicza ρ(x) odwzorowania jednowymiarowego
xn+1 = f(xn), dla xn ε [0,1], n=1,2,...
okreÑla asymptotyczn g“stoу iteracji na odcinku jednostkowym (naturalna g“stoу niezmiennicza):
1 N
ρ (x) ≡ lim ∑ δ [ x - f i ( x0 ) ]
N → ∞ N i= 0
Uk»ad jest ergodyczny jeÑli ρ(x) nie zaleóy od warunku pocztkowego x0.
Pokaz: Miara naturalna dla róŜnych odwzorowań jednowymiarowych
W takim przypadku - podobnie jak w fizyce statystycznej - Ñrednie po czasie funkcji g(x) moóna
wyraziƒ jako Ñrednie z g“stoÑci niezmiennicz:
lim
N →∞
1
N
1
1 N
i
g[ f ( x0 ) ] = ∫ ρ (x) g(x) dx
∑ g( xi ) ≡ lim
∑
N → ∞ N i= 0
i=0
0
N
Dynamika Uk»adów Nieliniowych 2009
Wykład 2
13
Jest to jednowymiarowy odpowiednik termodynamicznego uÑredniania z klasycznej fizyki
statystycznej:
1T
lim
∫ A[x ( t ) ] dt = ∫ ρ (x) A (x) dx
T →∞ T 0
gdzie
o
x=[p(t),q(t)],
o
A(x) jest dowoln funkcj
o
wspó»rz“dne uogólnione q i p“dy uogólnione p spe»niaj równania Hamiltona.
W klasycznej fizyce statystycznej operator Liouville'a L okreÑla ewolucj“ w czasie gęstoÑci
prawdopodobie½stwa w wyraóeniu na Ñredni po zespole statystycznym:
ρ& (x ,t ) = - i Lρ ( x,t )
gdzie operator Liouville’a:
 ∂H ∂ ∂H ∂ 
L=i 
∂
p
∂
q
∂q ∂p 

Ewolucj“ w czasie g“stoÑci iteracji ρ(x) odwzorowania dyskretnego okreÑla operator Frobenius-Perona:
ρ n+1 (x) = ∫ ρ n (y) δ [x - f (y) ] dy
Dynamika Uk»adów Nieliniowych 2009
14
Wykład 2
Przyk»ad: Operator Frobeniusa-Perona dla odwzorowania namiotowego
Dane jest odwzorowanie:
1

2x,
0
≤
x
<

2
∆(x) = 
 2(1 - x), 1 ≤ x ≤ 1

2
tak, óe xi+1 = ∆(xi), i=0,1,2,....
∆(x)
1
Zamiast analizowaƒ jak odwzorowanie ∆ dzia»a na pojedy½czy punkt
odcinka (0,1), rozpatrzmy g“stoу pocztkow ρ.
0.8
0.6
X
Gdy ∆ dzia»a na ρ otrzymujemy pewn nowa g“stoÑc Pρ.
0.4
U»amek g“stoÑci Pρ na odcinku [0,x] jest
x
0.2
0
0
∫ Pρ (s)ds
Po jednej iteracji odwzorowania ∆:
punkty w [0,x] pochodz
odwzorowania
z
przeciwobrazu
∆ -1 ([0, x]) = {y : ∆(y) ∈ [0, x]}
-1
∆ ([0,x])
0
0.2
0.4
0.6
xn
∆-1([0,x])
0.8
1
Dynamika Uk»adów Nieliniowych 2009
15
Wykład 2
Łatwo obliczyƒ, óe
1
1
-1
∆ ([0, x]) = [0, x] I [1 - x,1]
2
2
Std
x
x
2
0
0
1
∫ Pρ (s)ds = ∫ ρ (s) ds + ∫ ρ (s) ds
1-
x
2
JeÑli t funkcj“ górnej granicy ca»kowania zróŜniczkowaƒ po x otrzymuje si“ jawną postaƒ operatora
Frobeniusa-Perona dla odwzorowania namiotowego:
1
x
x
Pρ (x) = [ ρ ( ) + ρ (1 - )]
2
2
2
G“stoу niezmiennicza ma t“ w»asnoу, óe:
ρ (x) = ∫ ρ (y) δ [x - f (y) ] dy
Rozwizaniem tego ostatniego równania s równieó niestabilne punkty sta»e odwzorowania.
Jednakóe przy obliczeniach numerycznych (zaokrglenia)
jak rówieó na skutek fluktuacji w uk»adach rzeczywistych
prawdopodobie½stwo trafienia w taki niestabilny punkt sta»y jest nieistotne.
Dynamika Uk»adów Nieliniowych 2009
16
Wykład 2
Przyk»ad:
Dla odwzorowania "namiotowego" ∆(x) z parametrem a = 1 równanie na g“stoу niezmiennicz:
1
x 
ρ (x) =  ρ   + ρ  1 -  
2  2
 2 
x
i ma rozwizanie: ρ(x) = 1 a wi“c jest sta»a na ca»ym odcinku [0,1].
Odwzorowanie to jest wi“c ergodyczne.
W wielu wypadkach naturalna g“stoу niezmiennicza nie istnieje.
Np wtedy gdy w wyniku dzia»ania odwzorowania dyskretnego f(x) otrzymuje się
asymptotycznie zbiór fraktalny (np. zbiór Cantora).
Wtedy wprowadza się (ogólniejszą) gęstość iteracji µ posługując się pojęciem przeciwobrazu f-1(x)
odwzorowania f(x).
Podobnie postąpiliśmy w przykładzie wyprowadzenia operatora Frobeniusa-Perona dla odwzorowania
namiotowego.
Wtedy mówimy, óe miara µ jest niezmiennicza gdy
µ(S) = µ(f-1(S))
gdzie S jest zbiorem, na który działa dane odwzorowanie.
Dynamika Uk»adów Nieliniowych 2009
Wykład 2
17
Przykład: Dyfuzja deterministyczna.
Program: dyfuzja
Uwaga: program wymaga DOS-extendera DOS4GW.EXE w tym samym katalogu lub na ścieŜce.
Parametry:
Parametr kontrolny 1.05
Przyjmij warunek początkowy: x0 = 2.155
Iterując krok po kroku zaobserwuj, w którą stronę trajektoria opuści wykres.
Zmień warunek początkowy (klawisz „i”) na 2.16 i zaobserwuj w którą stronę teraz trajektoria opuści
wykres.