W11 synchronizacja_2

Dynamika Ukadów Nieliniowych 2009
Wykład 11
1
Synchronizacja ukadów chaotycznych
O synchronizacji mówiliśmy przy okazji języków Arnolda. Wtedy była to synchronizacja stanów
periodycznych. Wiecej na ten temat w artykule pod redakcją prof. Pikovskyego.
{hyperlink: http://www.scholarpedia.org/article/Synchronization}
Chcielibymy doprowadzi do synchronizacji dwa ukady chaotyczne bez utraty ich chaotycznego
stanu.
Przykad:
Zastpmy jedn zmienn ukadu Lorenza 2 odpowiadajc mu zmienn ukadu 1:
Okazuje si, e rozpoczcie ruchu
z arbitralnie dobranych warunków
pocztkowych - przy takim
cakowitym podstawieniu jednej
zmiennej za drug - po pewnym
czasie doprowadzi do zrównania
si y1= y2 oraz z1=z2.
Jest to stan synchronizacji tosamociowej.
S moliwe te sabsze formy synchronizacji: np. taka w której zmienne ukadu odbiorczego s jak
funkcj zmiennych ukadu nadawczego (synchronizacja uogólniona na przykad odpowiedajce sobie
zmienne s do siebie proporcjonalne - w najprostszym przypadku). Wystpuje te tzw.
synchronizacja fazowa o czym poniej.
Dynamika Ukadów Nieliniowych 2009
Wykład 11
2
Przykad: zastosowanie do telekomunikacji:
W nadajniku sygna mowy jest maskowany przez
dodanie go do skadowej u ukadu chaotycznego.
Skadowa ta jest nastpnie wysyana do odbiornika.
W odbiorniku, którego równania s takie same jak w
nadajniku sygna jest podstawiany jako ur i ukady
doprowadzane s do synchronizacji.
Odtwarza to pierwotny przebieg
zmiennej u i pozwala odzyskać sygna
jak wida poniej:
Fakt, e mona odzyska sygna
modulacji syganu chaotycznego
wiadczy o tym, e zdolno do
synchronizacji ukadów chaotycznych
jest w duym stopniu odporna na
zaburzenia.
Dynamika Ukadów Nieliniowych 2009
Wykład 11
3
Oczywicie na kady sposób kodowania istnieje sposób na rozszyfrowanie.
Na przykad: jest możliwa synchronizacja nieidentycznych (nawet np. ukad Lorenza i ukad
Rösslera) ukadów dynamicznych. Oznacza to, e nie trzeba mie odbornika identycznego z
nadajnikiem aby odtworzy sygna modulacji.
Synchronizacja fazowa
Dla prostych oscylacji chaotycznych mona wprowadzi faz podobnie jak to si robi dla
figur Lissajou. Przykładem jest oscylacja w układzie van der Pola na rysunku powyżej.
Dynamika Ukadów Nieliniowych 2009
Wykład 11
4
Natomiast dla bardziej skomplikowanych przebiegów chaotycznych takich jak dla ukadu
Rösslera
kiedy trajektorie przeplataj si ze sob dogodnie jest uy formalizmu Gabora:
Dynamika Ukadów Nieliniowych 2009
Wykład 11
5
Dla sygnau s(t) wprowadza si pojcie sygnau analitycznego
 (t )  s(t )  j~
s (t )  Ae j (t )
s ( t ) jest transformat Hilberta sygnau s(t):
gdzie  (t) jest fazą sygnału, funkcja ~
 s ( )
1
~
s (t )  P.V . 
d

t 
s ( t ) z jej
P.V. oznacza warto gówn caki w sensie Cauchy. W praktyce uzyskuje si ~
~
transformaty Fouriera S (j  ) = - j s(j ) .
Ukady s zsynchronizowane fazowo gdy rónica faz
| n  1 - m  2 | < const
Jako przykad wemy dwa sprzone ukady Rösslera:
parametry  1,2 = 1   oraz C to odstrojenie czstoci i stopie sprzenia ukadów ze sob.
Dynamika Ukadów Nieliniowych 2009
Wykład 11
6
Zauważmy, że dwa oscylatory Rősslera są tu sprzężone nie poprzez podstawienie zmiennej jednego
układu do układu drugiego ale charakterystycznym członem sprzężenia dyfuzyjnego. Dla
odpowiednio dużego C następują synchronizacje uogólnione bądź tożsamościowa.
Dla
ustalonego
odstrojenia,
dla
umiarkowanych wartości C ukad przechodzi
ze stanu, w którym
1 -  2   t
gdzie t to czas a  jest redni szybkoci
zmian rónicy faz.
Dla nieco większych C w różnica faz
pomiędzy układami ustala się okresami.
Dla jeszcze większych C róznica ta jest stała.
Jednoczenie jak wida na rysunku amplitudy
obydwu ukadów pozostaj chaotyczne i
nieskorelowane - synchronizacja fazowa.
Synchronizacja fazowa wystpuje dla o wiele
miejszych wartoci sprzenia pomidzy
ukadami ni sychnronizacja tosamociowa
czy te uogólniona.
Dynamika Ukadów Nieliniowych 2009
Wykład 11
7
Dynamika Ukadów Nieliniowych 2009
Wykład 11
8
Synchronizacja fazowa znalaza zastosowanie m.in. w medycynie, gdzie pozwala analizowa
np. oddziaywania oddechu z rytmem serca.
Rosenblum i in., w pracy w Nature z
1997 roku pokazali synchronizację fazową
pomiędzy oddechem a rytmem serca. Na
rysunku a) widoczna jest faza oddecu
otrzymana za pomocą metody sygnału
analitycznego Gabora uwidoczniona w
momencie skurczu komór (załamek R w
EKG). Widoczna jest synchronizacja 5:2
(czarny), stan przejściowy (czerwony) i
synchronizacja 3:1. Rodzaj synchronizacji
widoczny jest też w histogramach fazy.
Jest wiele układów, w których
synchronizacja fazowa jest jedynym
możliwym
trybem
synchronizacji.
Przykładem są różne układy impulsowe jak
pewien gatunek świetlików {hyperlink:
http://www.youtube.com/watch?v=sROKYelaWbo}
żyjący w
Indonezji.