Modele Markov-Functional – przegląd wybranych
Transkrypt
Modele Markov-Functional – przegląd wybranych
Uniwersytet Warszawski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Robert Pysiak Nr albumu: 234577 Modele Markov-Functional – przegląd wybranych własności i zastosowanie do wyceny wybranych instrumentów pochodnych Praca magisterska na kierunku MATEMATYKA Praca wykonana pod kierunkiem dra Mariusza Baryło Styczeń 2012 Oświadczenie kierującego pracą Potwierdzam, że niniejsza praca została przygotowana pod moim kierunkiem i kwalifikuje się do przedstawienia jej w postępowaniu o nadanie tytułu zawodowego. Data Podpis kierującego pracą Oświadczenie autora pracy Świadom odpowiedzialności prawnej oświadczam, że niniejsza praca dyplomowa została napisana przeze mnie samodzielnie i nie zawiera treści uzyskanych w sposób niezgodny z obowiązującymi przepisami. Oświadczam również, że przedstawiona praca nie była wcześniej przedmiotem procedur związanych z uzyskaniem tytułu zawodowego w wyższej uczelni. Oświadczam ponadto, że niniejsza wersja pracy jest identyczna z załączoną wersją elektroniczną. Data Podpis autora pracy Streszczenie W pracy omówiono pewne podstawowe własności uogólnionego modelu Vasička oraz modeli rynkowych. Poruszono również problem niezgodności modeli rynkowych BGM i Jamshidiana, ilustrując go na przykładzie n = 2 okresów depozytowych. Następnie przedstawiono alternatywny sposób modelowania stóp procentowych, zwany modelowaniem Markov-Functional (M-F). W tym podejściu postuluje się, że stopy rynkowe są funkcjami pewnego procesu Markowa. Pokazano różne metody kalibracji modelu M-F do danych rynkowych. Ponadto zaprezentowano metodę modelowania M-F stopy LIBOR w mierze spot oraz opisano model M-F ceny aktywa. Poruszono też kwestię wyboru procesu Markowa definiującego model M-F. Słowa kluczowe modele Markov-Functional, modele stopy procentowej, uogólniony model Vasička, model BGM, model Jamshidiana, procesy Markowa Dziedzina pracy (kody wg programu Socrates-Erasmus) 11.1 Matematyka Klasyfikacja tematyczna 91 Game theory, economics, social and behavioral sciences 91G Mathematical finance 91G30 Interest rates (stochastic models) Tytuł pracy w języku angielskim Markov-Functional Models – an overview of chosen properties and application in valuation of some derivatives Spis treści Wstęp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Podstawowe pojęcia z teorii procesów stochastycznych 1.1. Całka stochastyczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Nawias skośny i wariacja kwadratowa . . . . . . . . . . . . 1.3. Wzór Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Stochastyczne równania różniczkowe . . . . . . . . . . . . 1.5. Twierdzenie Girsanowa, zamiana miary . . . . . . . . . . 1.6. Procesy Markowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 7 10 11 12 13 14 2. Podstawy matematyki finansowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1. Stopy procentowe i podstawowe instrumenty finansowe . . . . . . . . . . . . . 2.2. Miary martyngałowe i zamiana numéraire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 19 21 3. Modele stopy procentowej . . . . 3.1. Miara forward i miara swapowa 3.2. Uogólniony model Vasička . . . 3.3. Modele rynkowe . . . . . . . . . 3.4. Niezgodność modeli rynkowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 25 26 32 35 . . . . . . N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 40 45 50 52 56 62 5. Dodatek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 Podsumowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 4. Modele Markov-Functional . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1. Wyznaczenie funkcjonału N na podstawie cen rynkowych 4.2. Modelowanie stóp rynkowych w mierze PTn . . . . . . . . 4.3. Kalibracja modelu dla parametrycznej postaci funkcjonału 4.4. Modelowanie stopy LIBOR w mierze spot . . . . . . . . . 4.5. Modelowanie ceny aktywa metodą Markov-Functional . . 4.6. Wybór zmienności procesu kierującego . . . . . . . . . . . 3 . . . . . . . . . . . . 5 Wstęp Niedoskonałości wielu istniejących modeli stopy procentowej wciąż skłaniają matematyków do poszukiwania modelu spełniającego podstawowe założenia niezbędne w praktyce rynkowej (m.in. brak arbitrażu, możliwość jak najlepszego dopasowania do danych rynkowych oraz możliwość efektywnej implementacji). Stosunkowo nową grupę modeli stanowią tzw. modele Markov-Functional (M-F), w których postuluje się, że obserwowane na rynku stopy procentowe są funkcjami pewnego procesu Markowa o niewielkim wymiarze. Taki sposób modelowania został zaproponowany w roku 2000 przez P. Hunta, J. Kennedy i A. Pelssera w [HKP] (por. też [HK], [Pels]) oraz niezależnie przez P. Ballanda i L. Hugstona w [BH]. Następnie ta tematyka była rozwijana przez C. Friesa i M. Rotta (por. [FR], [F1], [F2]). Celem niniejszej pracy jest przedstawienie modeli Markov-Functional, a także poprawienie i uzupełnienie niektórych wyników zawartych w cytowanych źródłach. Większość rozumowań opiera się na monografii [HK] i artykułach [F2], [FR] (por. też [F1]). W pracy położony jest nacisk na teoretyczne aspekty omawianych modeli. Szczegóły dotyczące implementacji modelu M-F można znaleźć w [F1], s. 400-401, 403-408 i [Pels], s. 115-117. Przykładowe wyceny i porównanie z innymi modelami znajdują się m.in. w [Pels], s. 121-129 i [BK]. Praca składa się z pięciu rozdziałów. W rozdziale pierwszym wprowadzony jest niezbędny aparat analizy stochastycznej używany w dalszych częściach pracy. Rozdział drugi zawiera podstawowe definicje i twierdzenia matematyki finansowej. W rozdziale trzecim przedstawione są niektóre znane modele stopy procentowej (uogólniony model Vasička oraz modele rynkowe BGM i Jamshidiana). Opisany jest także problem niezgodności modeli rynkowych wraz z ilustracją dla n = 2 okresów depozytowych (stanowiącą wynik własny autora pracy). Rozdział czwarty zawiera opis modeli Markov-Functional (w tym modeli LIBOR M-F i swap M-F) oraz metody kalibracji do danych rynkowych. Oprócz tego przedstawiony jest sposób modelowania stóp LIBOR w tzw. mierze spot, a także model M-F ceny aktywa. Ponadto omówiona jest kwestia wyboru procesu Markowa definiującego model M-F. W Dodatku (rozdział 5) zawarte są pomocnicze obliczenia wykorzystywane w pracy, a także pewne twierdzenia mówiące o związkach między lognormalnością rozkładów stóp LIBOR (lub stóp swapowych) a odpowiednimi wzorami Blacka. 5 Rozdział 1 Podstawowe pojęcia z teorii procesów stochastycznych Na początku przypomnimy najważniejsze dla matematyki finansowej narzędzia teorii procesów stochastycznych, które będą używane w pracy, m.in. konstrukcję całki stochastycznej Itô, wzór Itô, twierdzenie Girsanowa i opis procesów Markowa. Definicje i twierdzenia znajdujące się w tym rozdziale można znaleźć w [L], [JPRS], [HK], [KS] i [RY]. Zakładamy, że (Ω, F, P) jest zupełną przestrzenią probabilistyczną (tzn. dowolny podzbiór zbioru miary zero w tej przestrzeni jest mierzalny), 0 < T < ∞ oraz F = (Ft )t∈[0,T ] jest filtracją spełniającą zwykłe warunki. Ponadto zakładamy, że W jest procesem Wienera względem filtracji F (tzn. W jest adaptowany do F oraz dla dowolnych 0 ¬ s < t zmienna losowa Wt − Ws jest niezależna od Fs ). W pracy będziemy oznaczać przez g i Φ odpowiednio gęstość i dystrybuantę standardowego rozkładu normalnego. O ile nie zostanie powiedziane inaczej, symbol E będzie oznaczał wartość oczekiwaną w mierze P. Wartość oczekiwaną w dowolnej innej mierze probabilistycznej Q będziemy oznaczać (wskazując tę miarę w indeksie dolnym) symbolem EQ . 1.1. Całka stochastyczna Opiszemy konstrukcję całki stochastycznej Itô względem procesu Wienera. Podobnie jak w przypadku całki Lebesgue’a, całkę stochastyczną określa się najpierw dla najprostszych procesów stochastycznych (tzw. procesów elementarnych), a następnie uogólnia się definicję na przypadek bardziej skomplikowanych procesów. Definicja 1.1. Proces X = (Xt )t∈[0,T ] nazywamy procesem elementarnym, jeśli X jest postaci Xt (ω) = ξ0 (ω)1 1{0} (t) + n−1 X ξk (ω)1 1(tk ,tk+1 ] (t), t ∈ [0, T ], ω ∈ Ω, k=0 gdzie 0 = t0 < t1 < . . . < tn = T , a ξk są ograniczonymi Ftk -mierzalnymi zmiennymi losowymi. Rodzinę procesów elementarnych oznaczamy przez E. Uwaga 1.1. E jest przestrzenią liniową. Definicja 1.2. Dla X ∈ E definiujemy całkę Itô Z I(X) = T Xs dWs 0 7 wzorem I(X) := n−1 X ξk (Wtk+1 − Wtk ). k=0 Całkę Rt u Xs dWs dla 0 < u < t < T określamy następująco: Z t T Z 11(u,t] (s)Xs dWs . Xs dWs = u 0 (1.1) Definicja nie zależy od reprezentacji X ∈ E. Stwierdzenie 1.1. Jeśli X ∈ E, to proces It (X) := 0t Xs dWs jest martyngałem względem F o średniej zero i ciągłych trajektoriach. Ponadto I0 (X) = 0 oraz R Z 2 E(I(X)) = E tzn. Z E !2 T Xs dWs 0 Z =E 0 T T 0 Xs2 ds Xs2 ds, Z T Z = Ω 0 ! Xs2 ds dP. (1.2) Wzór (1.2) oznacza, że przekształcenie I = IT , I L2 ([0, T ] × Ω, B([0, T ]) ⊗ F, λ ⊗ P) ←- E −→ L2 (Ω, F, P), gdzie λ jest miarą Lebesgue’a, jest izometrią. To pozwala rozszerzyć całkę Itô na domknięcie przestrzeni E w L2 ([0, T ] × Ω, B([0, T ]) ⊗ F, λ ⊗ P). Rozszerzenie to konstruujemy w sposób następujący: jeśli proces X ∈ E jest granicą w L2 ([0, T ] × Ω, B([0, T ]) ⊗ F, λ ⊗ P) ciągu procesów (X n ) z przestrzeni E, to (X n ) jest ciągiem Cauchy’ego. Ponieważ I jest izometrią, więc ciąg (I(X n )) jest ciągiem Cauchy’ego w L2 (Ω, F, P). Z zupełności tej przestrzeni wynika, że istnieje granica limn I(X n ) w L2 (Ω, F, P), którą przyjmujemy jako definicję całki Itô z procesu X względem procesu Wienera na przedziale [0, T ] i oznaczamy znowu przez I(X). Całkę Itô na przedziale zawartym w [0, T ] definiujemy wzorem (1.1). Definicja 1.3. (i) σ-ciałem zbiorów prognozowalnych P nazywamy σ-ciało podzbiorów [0, T ] × Ω generowane przez zbiory postaci F {0} × A oraz (s, t] × A dla s < t ¬ T, A ∈ Fs . (ii) Proces X = (Xt )t∈[0,T ] nazywamy prognozowalnym, jeśli funkcja (t, ω) 7→ Xt (ω) : [0, T ]× Ω → R jest mierzalna względem P. (iii) Proces X nazywamy mierzalnym, jeśli funkcja (t, ω) 7→ Xt (ω) : [0, T ] × Ω → R jest mierzalna względem B([0, T ]) ⊗ FT . Okazuje się, że E = L2 ([0, T ] × Ω, P, λ ⊗ P). Ponadto można pokazać, że jeśli X jest R procesem mierzalnym, F-adaptowanym i takim, że E 0T Xs2 ds < ∞, to istnieje proces prognozowalny Y taki, że Xt (ω) = Yt (ω) dla (λ ⊗ P)-p.w. (t, ω) ∈ [0, T ]. Dzięki temu możemy Rt określić It (X) = 0 Xs dWs dla procesów X ∈ ΛT , gdzie ( ΛT := Z X = (Xt )t∈[0,T ] mierzalny i adaptowany : E 8 0 T ) Xs2 ds <∞ . Twierdzenie 1.1. Jeśli X ∈ ΛT , to proces (It (X))t∈[0,T ] jest martyngałem względem F posiadającym modyfikację ciągłą. Dlatego, rozważając całkę Itô, mamy zawsze na myśli jej ciągłą modyfikację. Okazuje się, że klasę procesów całkowalnych można jeszcze rozszerzyć. Oznaczmy ( PT := T Z X = (Xt )t∈[0,T ] mierzalny i adaptowany : P ) Xs2 ds < ∞ = 1 . 0 (1.3) Definicja 1.4. Jeśli X = (Xt )t∈T jest procesem stochastycznym, a τ momentem zatrzymania, to X τ = (Xtτ )t∈T – proces X zatrzymany w chwili τ definiujemy wzorem Xtτ := Xt∧τ . Stwierdzenie 1.2. Dla X ∈ PT określmy t Z τn (ω) := inf t ∈ [0, T ] : 0 Xs2 (ω)ds n ∧ T ∧ n, n ∈ Z+ . Wówczas (τn ) jest rosnącym ciągiem momentów zatrzymania, τn % T R p.n. oraz 11[0,τn ] X = R· (1 1[0,τn ] (t)Xt )t∈[0,T ] ∈ ΛT . Ponadto dla m n procesy 0 11[0,τn ] Xs dWs i ( 0· 11[0,τm ] Xs dWs )τn są nieodróżnialne, tzn. P ∀t∈[0,T ] Z 0 t τn ∧t Z 11[0,τn ] Xs dWs = 11[0,τm ] Xs dWs = 1. 0 Pozwala to określić całkę Itô dla X ∈ PT : Z t Z Xs dWs = It (X) = 0 0 t Z 11[0,τn ] Xs dWs = 0 t Xsτn dWs dla 0 ¬ t ¬ τn . Innymi słowy, całka Itô to taki proces (Mt )t∈[0,T ] = ( 0t Xs dWs )t∈[0,T ] , że Mtτn = R τn ∧t R Xs dWs = 0t 11[0,τn ] Xs dWs dla n ∈ Z+ . Na mocy powyższego stwierdzenia definicja 0 ta jest poprawna. Ponadto całka jest martyngałem lokalnym (τn jest ciągiem lokalizującym) posiadającym ciągłą modyfikację, jest przekształceniem liniowym, ale nie jest już izometrią. R Definicja 1.5. Proces Z = (Zt )t∈[0,T ] o ciągłych trajektoriach nazywamy procesem Itô, jeśli dla t ∈ [0, T ] zachodzi równość Z Zt = Z0 + t Z as ds + t bs dWs p.n. (1.4) Rt |as |ds < ∞) = 1 dla t < T 0 0 gdzie a jest procesem mierzalnym i adaptowanym takim, że P( oraz b ∈ PT . 0 Równość (1.4) zapisujemy w postaci tzw. różniczki stochastycznej: dZt = at dt + bt dWt . Proces a nazywamy współczynnikiem dryfu lub dryfem procesu Z, a proces b – współczynnikiem dyfuzji procesu Z. Rt Rt Rt Rt Przedstawienie (1.4) jest jednoznaczne: jeśli a ds + b dW = ã ds + s s s s 0 0 0 0 b̃s dWs p.n., to R· R· 0 (bs − b̃s )dWs = 0 (ãs − as )ds jest ciągłym martyngałem lokalnym startującym z zera, o wahaniu ograniczonym na [0, t] dla t < T , zatem jest stale równy 0. 9 Definicja 1.6. Całkę Itô względem procesu Itô (1.4) określamy wzorem t Z t Z t Z bs Xs dWs , as Xs ds + Xs dZs = 0 0 0 o ile całki po prawej stronie powyższej równości istnieją. Na koniec tego podrozdziału przypomnimy pewne proste własności całek stochastycznych z funkcji deterministycznych. Stwierdzenie 1.3. Niech h będzie funkcją deterministyczną. Wówczas (a) jeśli h ∈ L2 ([0, T ]), to całka RT 0 h(s)dWs ma rozkład normalny N 0, RT 0 h2 (s)ds (b) jeśli h ∈ C 1 ([0, T ]), to Z T h(s)dWs = h(T )WT − Z T h0 (s)Ws ds. 0 0 1.2. Nawias skośny i wariacja kwadratowa Twierdzenie 1.2 (Rozkład Dooba-Meyera). Jeśli M = (Mt )t∈[0,T ] jest ciągłym martyngałem takim, że supt EMt2 < ∞ (względnie: ciągłym martyngałem lokalnym), to istnieje dokładnie jeden proces hM i = (hM it )t∈[0,T ] o trajektoriach ciągłych i niemalejących taki, że hM i0 = 0 oraz proces (Mt2 − hM it )t∈[0,T ] jest martyngałem (względnie: martyngałem lokalnym). Definicja 1.7. (i) Proces hM i z powyższego twierdzenia nazywamy nawiasem skośnym martyngału (martyngału lokalnego) M . (ii) Wzajemnym nawiasem skośnym dwóch ciągłych martyngałów lokalnych M i N nazywamy proces hM, N i określony wzorem hM, N i = 1 (hM + N i − hM − N i) . 4 Uwaga 1.2. (a) Jeśli W jest procesem Wienera, to (Wt2 − t) jest martyngałem, zatem hW it = t. (b) Dla ciągłego martyngału lokalnego M mamy hM, M i = hM i. Definicja 1.8. Jeśli istnieje proces Z = (Zt )t∈[0,T ] taki, że ∀t∈[0,T ] kn X i=1 (n) (Xt(n) − Xt(n) )2 −−−→ Zt P i i−1 (n) n→∞ (n) (n) (n) dla dowolnego ciągu πn = (t0 , . . . , tkn ) podziałów odcinka [0, t], 0 = t0 < t1 < . . . < tkn = t, takiego że diam πn → 0, to Z nazywamy wariacją kwadratową procesu X na przedziale [0, T ] i oznaczamy przez [X]. 10 Twierdzenie 1.3. Jeśli X jest procesem Itô, t Z t Z bs dWs as ds + Xt = X0 + p.n., 0 0 to istnieje jego wariacja kwadratowa oraz [X]t = Rt 2 0 bs ds (równoważnie: d[X]t = b2t dt). Definicja 1.9. Wzajemną wariacją kwadratową dwóch procesów Itô X i Y nazywamy proces [X, Y ] określony wzorem 1 [X, Y ] = ([X + Y ] − [X − Y ]) . 4 Uwaga 1.3. Jeśli X i Y są procesami Itô, Xt = X0 + 0t as ds + 0t bs dWs p.n., Yt = Y0 + Rt Rt Rt 0 αs ds + 0 βs dWs p.n., to [X, Y ]t = 0 bs βs ds (równoważnie: d[X, Y ]t = bt βt dt). R R Twierdzenie 1.4. Jeśli M, N są ciągłymi martyngałami lokalnymi, to dla każdego t zachodzi [M ]t = hM it oraz [M, N ]t = hM, N it . 1.3. Wzór Itô Wzór Itô pokazuje, że klasa procesów Itô jest zamknięta ze względu na funkcje gładkie i podaje wzór na różniczkę stochastyczną df (x). Przez C 1,2 będziemy oznaczać klasę funkcji mających ciągłą pochodną względem pierwszej zmiennej i ciągłą drugą pochodną względem drugiej zmiennej. Twierdzenie 1.5 (Lemat Itô). Niech Z = (Zt )t∈[0,T ] będzie procesem Itô, t Z Z t bs dWs as ds + Zt = Z0 + p.n. 0 0 i niech f (t, x) : R+ × R → R będzie funkcją klasy C 1,2 . Wówczas (f (t, Zt ))t∈[0,T ] też jest procesem Itô oraz dla każdego t ∈ [0, T ] zachodzi wzór: t 0 ∂f (s, Zs )ds + ∂x Z t Z f (t, Zt ) = f (0, Z0 ) + Z 0 t ∂f 1 (s, Zs )dZs + ∂x 2 Z 0 t ∂2f (s, Zs )d[Z]s ∂x2 p.n. (1.5) lub równoważnie, f (t, Zt ) = f (0, Z0 ) + 0 t ∂f ∂f (s, Zs )ds + (s, Zs )as ds + ∂s 0 ∂x Z Z t 1 t ∂2f ∂f 2 + (s, Z )b ds + (s, Zs )bs dWs s s 2 0 ∂x2 0 ∂x Z p.n. (1.6) Całka stochastyczna występująca we wzorze (1.6) jest martyngałem lokalnym, a jeśli b ∈ ΛT i pochodna ∂f ∂x jest ograniczona, to całka ta jest ponadto martyngałem. Często używa się postaci różniczkowej wzoru Itô: df (t, Zt ) = lub ∂f ∂f 1 ∂2f (t, Zt )dt + (t, Zt )dZt + (t, Zt )d[Z]t ∂t ∂x 2 ∂x2 " # ∂f 1 ∂2f ∂f ∂f df (t, Zt ) = (t, Zt ) + (t, Zt )at + (t, Zt )b2t dt + (t, Zt )bt dWt . ∂t ∂x 2 ∂x2 ∂x 11 W przypadku, gdy funkcja f nie zależy od czasu, tzn. f ∈ C 2 (R), wzór Itô redukuje się do postaci: 1 df (Zt ) = f 0 (Zt )dZt + f 00 (Zt )d[Z]t , 2 a przyjmując, że dZt = at dt (tzn. [Z] ≡ 0) otrzymujemy znany wzór na różniczkowanie funkcji złożonej: df (Zt ) = f 0 (Zt )dZt = f 0 (Zt )at dt. Wzór Itô można uogólnić na przypadek wielowymiarowy. Twierdzenie 1.6. Niech f (t, x) : R+ × Rn → R będzie funkcją klasy C 1,2 i niech Z = (Z 1 , . . . , Z n ), gdzie Z i są procesami Itô dla i = 1, . . . , n. Wówczas (f (t, Zt ))t∈[0,T ] jest procesem Itô oraz dla każdego t ∈ [0, T ] zachodzi wzór: Z f (t, Zt ) = f (0, Z0 )+ 0 t n X ∂f ds+ ∂s i=1 t Z 0 n X ∂f i 1 (s, Zs )dZs + ∂xi 2 i,j=1 Z t 0 ∂2f (s, Zs )d[Z i , Z j ]s p.n. ∂xi ∂xj Po zastosowaniu dwuwymiarowego wzoru Itô do funkcji f (x, y) = xy otrzymujemy wzór na całkowanie przez części. Twierdzenie 1.7. Jeśli X, Y są procesami Itô, to Z t t Z Ys dXs + [X, Y ]t Xs dYs + Xt Yt = X0 Y0 + p.n. 0 0 1.4. Stochastyczne równania różniczkowe Definicja 1.10. Mamy dane funkcje a, b : [0, T ]×Rn → R oraz F0 -mierzalną zmienną losową ξ. Proces X = (Xt )t∈[0,T ] nazywamy rozwiązaniem stochastycznego równania różniczkowego dXt = a(t, Xt )dt + b(t, Xt )dWt , X0 = ξ, (1.7) jeśli jest ciągły, F − adaptowany oraz dla każdego t ∈ [0, T ] zachodzi Z Xt = ξ + t Z 0 t b(s, Xs )dWs a(s, Xs )ds + p.n. 0 Okazuje się, że dla dostatecznie regularnych funkcji a, b równanie (1.7) ma jednoznaczne rozwiązanie. Twierdzenie 1.8. Załóżmy, że współczynniki a, b : [0, T ]×R → R stochastycznego równania różniczkowego (1.7) spełniają: (i) warunek Lipschitza względem zmiennej przestrzennej: dla dowolnych x, y ∈ R i dowolnego t ∈ [0, T ] |a(t, x) − a(t, y)|2 + |b(t, x) − b(t, y)|2 ¬ K|x − y|2 (ii) warunek liniowego wzrostu: dla dowolnego x ∈ R i dowolnego t ∈ [0, T ] |a(t, x)|2 + |b(t, x)|2 ¬ K(1 + |x|2 ), 12 gdzie K jest pewną stałą. Wówczas istnieje rozwiązanie równania (1.7). Ponadto jest ono jedyne w sensie nieodróżnialności procesów, tzn. jeśli X, Y są dwoma rozwiązaniami równania (1.7), to P Xt = Yt ∀t∈[0,T ] = 1. Jeśli dodatkowo ξ ∈ L2 (P), to supt∈[0,T ] E|Xt |2 < ∞. Stwierdzenie 1.4. Jeśli funkcje a, b : R+ → R są mierzalne i ograniczone, to równanie: dXt = a(t)Xt dt + b(t)Xt dWt ma dokładnie jedno rozwiązanie. Jest ono zadane wzorem: Z Z t t b(s)dWs + Xt = X0 exp 0 0 1 a(s) − b2 (s) ds 2 Stwierdzenie 1.5 (Eksponenta stochastyczna). Jeśli proces γ ∈ Pt , to równanie dZt = γt Zt dWt , Z0 = 1 ma dokładnie jedno rozwiązanie. Jest ono zadane wzorem: Z t γs dWs − Zt = exp 0 1 2 t Z 0 1 γs2 ds = exp Mt − hM it , 2 (1.8) gdzie Mt = 0t γs dWs . Ponadto Z jest nieujemnym martyngałem lokalnym (a zatem jest nadmartyngałem). R 1.5. Twierdzenie Girsanowa, zamiana miary Definicja 1.11. Niech (Ω, F, P) będzie przestrzenią probabilistyczną. Miarę probabilistyczną Q nazywamy równoważną mierze P na (Ω, F) (co oznaczamy P ∼ Q), jeśli P, Q mają te same zbiory miary zero, tzn. ∀A∈F P(A) = 0 ⇔ Q(A) = 0. Twierdzenie 1.9. Jeśli miary probabilistyczne P i Q są równoważne na (Ω, F), to istnieje gęstość jednej miary względem drugiej (tzw. gęstość Radona-Nikodýma): % = dQ dP , tzn. Q(A) = R %dP dla dowolnego A ∈ F, oraz % jest dodatnią zmienną losową mierzalną względem F. A 1 dP Ponadto mamy dQ = % . Twierdzenie 1.10. (i) Niech (Ft ) będzie filtracją generowaną przez proces Wienera: Ft = FtW oraz niech P ∼ Q na (Ω, FT ). Wówczas istnieje proces γ ∈ PT taki, że dQ %T := = exp dP Z T 0 1 γs dWs − 2 Z 0 T ! γs2 ds . (ii) Załóżmy, że proces % ma postać Z %t = exp 0 t 1 γs dWs − 2 Z 0 t γs2 ds dla pewnego γ ∈ PT i niech miara Q będzie określona wzorem: dQ = %T dP (tzn. Q(A) = R A %T dP dla A ∈ FT ). Wówczas miara Q jest równoważna mierze P wtedy i tylko wtedy, gdy EP %T = 1. 13 Uwaga 1.4. Ponieważ % jest nadmartyngałem, więc warunek EP %T = 1 jest równoważny temu, że % jest martyngałem. Często stosowanym kryterium dostatecznym, zapewniającym zachodzenie powyższego warunku jest tzw. kryterium Nowikowa. Twierdzenie 1.11 (kryterium Nowikowa). Jeśli 1 exp 2 T Z EP 0 γu2 du ! < ∞, to EP %T = 1. Twierdzenie 1.12 (Girsanowa). Niech T < ∞ i niech Q będzie miarą probabilistyczną równoważną P na (Ω, FT ) taką, że dQ = %T = exp dP T Z 0 1 γs dWs − 2 Z T 0 ! γs2 ds dla pewnego γ ∈ PT . Jeśli W = (Wt )t∈[0,T ] jest procesem Wienera na przestrzeni probabilistyf zdefiniowany wzorem cznej (Ω, F, P) względem filtracji F, to proces W ft = Wt − W Z 0 t γs ds ∀t∈[0,T ] jest procesem Wienera na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, Q) względem filtracji F. Wniosek 1.1. Przy założeniach twierdzenia Girsanowa dynamikę procesu Itô (1.4) można zapisać w postaci ft , dZt = (at + bt γt )dt + bt dW zatem współczynnik dyfuzji nie zmienia się przy zmianie miary probabilistycznej na równoważną. 1.6. Procesy Markowa Na koniec tego rozdziału przypomnimy podstawowe pojęcia związane z procesami Markowa. Zakładamy, że (Ω, F, P) jest przestrzenią probabilistyczną, T ⊆ R oraz (E, B) jest przestrzenią mierzalną, taką że wszystkie zbiory jednoelementowe są mierzalne, tzn. ∀x∈E {x} ∈ B. Ponadto dla procesu X = (Xt )t∈T określamy σ-ciała: FtX = σ(Xs : s ¬ t; s, t ∈ T ), X Ft = σ(Xs : s t; s, t ∈ T ) i wprowadzamy oznaczenia: E(Y |Z) = E(Y |σ(Z)), E(Y |Z1 , . . . , Zn ) = E(Y |σ(Z1 , . . . , Zn )), P(A|G) = E(1 1A |G), gdzie Y jest całkowalną zmienną losową, Z, Zi – zmiennymi losowymi o wartościach w E; A ∈ F oraz G ⊆ F jest σ-ciałem. Intuicyjnie mówiąc, proces Markowa to taki proces, którego przyszłość zależy od przeszłości jedynie poprzez stan teraźniejszy. Innymi słowy, w danej chwili t, do prognozowania przyszłości procesu X nie jest potrzebna wiedza o całej przeszłości – wystarczy znajomość obecnego stanu Xt . Tę intuicję precyzuje poniższa definicja. 14 Definicja 1.12. Proces stochastyczny X = (Xt )t∈T o wartościach w (E, B) nazywamy procesem Markowa i mówimy, że X ma własność Markowa, jeśli dla dowolnych t ∈ T , A ∈ FtX , X zachodzi: B ∈ Ft P(A ∩ B|Xt ) = P(A|Xt ) · P(B|Xt ) p.n. Istnieje wiele równoważnych sformułowań własności Markowa. Mówi o tym poniższe twierdzenie. Twierdzenie 1.13. Następujące warunki są równoważne: 1. X jest procesem Markowa. X -mierzalnej zmiennej losowej ξ, F X -mierzalnej zmiennej 2. Dla dowolnych t ∈ T , Ft t losowej η, takich że ξ, η, ξη ∈ L1 zachodzi E(ξη|Xt ) = E(ξ|Xt ) · E(η|Xt ) p.n. X -mierzalnej, całkowalnej zmiennej losowej ξ zachodzi 3. Dla każdego t ∈ T i dowolnej Ft E(ξ|FtX ) = E(ξ|Xt ) p.n. X zachodzi 4. Dla dowolnych t ∈ T , A ∈ Ft P(A|FtX ) = P(A|Xt ) p.n. 5. Dla dowolnych t, s ∈ T , t < s i dowolnego Γ ∈ B zachodzi P(Xs ∈ Γ|FtX ) = P(Xs ∈ Γ|Xt ) p.n. 6. Dla dowolnych t, s ∈ T , t < s i dowolnej borelowskiej funkcji f : E → R takiej, że f (Xs ) ∈ L1 zachodzi E(f (Xs )|FtX ) = E(f (Xs )|Xt ) p.n. 7. Dla dowolnych t, s ∈ T , t < s, dowolnego Γ ∈ B i dowolnych n ∈ N, s1 < s2 < . . . < sn = t zachodzi P(Xs ∈ Γ|Xs1 , . . . , Xsn ) = P(Xs ∈ Γ|Xt ) p.n. W dalszej części pracy będziemy używać przede wszystkim charakteryzacji 6. Użyjemy jej do zdefiniowania procesu Markowa względem dowolnie ustalonej filtracji. Definicja 1.13. Mówimy, że X = (Xt )t∈T jest procesem Markowa względem filtracji (Ft )t∈T , jeśli jest adaptowany do (Ft )t∈T oraz dla dowolnej funkcji mierzalnej i ograniczonej f i dowolnych t, s ∈ T , t < s zachodzi warunek E(f (Xs )|Ft ) = E(f (Xs )|Xt ). Przywołajmy pewne twierdzenie z rachunku prawdopodobieństwa, które pozwoli nam zdefiniować warunkową wartość oczekiwaną i prawdopodobieństwo warunkowe pod warunkiem zdarzenia {Z = z} (nawet jeśli jego prawdopodobieństwo jest równe zero). Twierdzenie 1.14. Niech Y będzie całkowalną zmienną losową, Z – zmienną losową o wartościach w E. Wówczas istnieje funkcja borelowska h : E → R taka, że: E(Y |Z) = h(Z). 15 Definicja 1.14. 1. Warunkową wartością oczekiwaną zmiennej losowej Y pod warunkiem {Z = z}, oznaczaną przez E(Y |Z = z), nazywamy liczbę h(z), gdzie h jest funkcją otrzymaną w powyższym twierdzeniu. 2. Prawdopodobieństwem warunkowym zdarzenia A ∈ F pod warunkiem {Z = z}, oznaczanym przez P(A|Z = z), nazywamy liczbę E(1 1A |Z = z). Zdefiniujemy teraz dwa ważne pojęcia w teorii procesów Markowa – funkcję przejścia i gęstość przejścia. Definicja 1.15. Rodzinę funkcji (Ps,t (x, Γ))s,t∈T ,s¬t , Ps,t (x, Γ) : (E × B) → R nazywamy rodziną funkcji przejścia dla procesu Markowa X względem (Ft ), jeżeli spełnione są następujące warunki: (1) ∀s¬t, s,t∈T ∀x∈E Ps,t (x, ·) jest miarą probabilistyczną na (E, B); (2) ∀s¬t, s,t∈T ∀Γ∈B Ps,t (·, Γ) : (E, B) → (R, B(R)) jest funkcją mierzalną; (3) ∀s∈T ∀x∈E Ps,s (x, ·) = δx ; (4) ∀s¬t, s,t∈T ∀Γ∈B P(Xt ∈ Γ|Xs ) = Ps,t (Xs , Γ) p.n. Warunek (4) można zapisać jako: Ps,t (x, Γ) = P(Xt ∈ Γ|Xs = x). Definicja 1.16. Niech (E, B) = (Rd , B(Rd )). Jeśli istnieje rodzina (ps,t (x, y))s,t∈T , s<t , ps,t : (E × E, B ⊗ B) → (R, B(R)), mierzalnych i takich że ∀s,t∈T ,s<t ∀x∈E ∀Γ∈B Ps,t (x, Γ) = funkcji Z ps,t (x, y)dy, Γ to ps,t nazywamy gęstością przejścia dla procesu Markowa X. Gęstość przejścia musi spełniać warunek: ∀s,t∈T , s<t ∀x,y∈E ps,t (x, y) 0 oraz Z ps,t (x, y)dy = 1 E (ps,t (x, ·) jest gęstością prawdopodobieństwa). W dalszej części pracy będziemy korzystać z następującego faktu. Fakt 1.1. Jeśli X jest procesem Markowa z rodziną funkcji przejścia (Ps,t (·, ·))s,t∈T , s¬t , to dla dowolnej funkcji mierzalnej f : E → R zachodzi E (f (Xt ) | Fs ) = ϕ(Xs ) p.n., gdzie Z ϕ(x) = f (u)Ps,t (x, du). E W szczególności, jeśli dla procesu X istnieje rodzina gęstości przejścia (ps,t (·, ·))s,t∈T , s¬t , to Z ϕ(x) = f (u)ps,t (x, u) du E 16 Dla procesów Markowa z czasem dyskretnym przyjmujemy następującą terminologię: Definicja 1.17. Niech X = (Xt )t∈T będzie procesem Markowa; (i) jeśli T ⊆ Z, to X nazywamy łańcuchem Markowa; (ii) Jeśli T ⊆ Z, a E jest zbiorem co najwyżej przeliczalnym, to X nazywamy dyskretnym łańcuchem Markowa. Dla dyskretnych łańcuchów Markowa B = P(E) (gdyż, jak założyliśmy na początku tego podrozdziału, wszystkie zbiory jednoelementowe są mierzalne), natomiast odpowiednikiem rodziny gęstości przejścia jest tzw. macierz przejścia P s,t (x, y) := (ps,t (x, y))x,y∈E , gdzie ps,t (x, y) := Ps,t (x, {y}). Wówczas zachodzi: X ∀s¬t, s,t∈T ∀x∈E ∀Γ⊆E Ps,t (x, Γ) = Ps,t (x, {y}) = y∈Γ X ps,t (x, y). y∈Γ Macierz przejścia musi spełniać warunki: 1. ∀s,t∈T , s¬t ∀x,y∈E ps,t (x, y) 0 oraz P y∈E ps,t (x, y) = 1; 2. dla każdego s ∈ T P s,s jest macierzą jednostkową, tzn. ps,s (x, y) = δx ({y}). Za definicję dyskretnego łańcucha Markowa często przyjmuje się dyskretną wersję warunku 7 w twierdzeniu 1.13. Zanim podamy przykłady procesów Markowa, przypomnijmy znany fakt z rachunku prawdopodobieństwa. Twierdzenie 1.15. Niech G będzie σ-ciałem, X zmienną losową niezależną od G, a Y zmienną losową G-mierzalną. Wówczas dla dowolnej funkcji borelowskiej f : E × E → E zachodzi E(f (X, Y )|G) = Ef (X, y)|y=Y . Przykład 1. Każdy proces X o przyrostach niezależnych jest procesem Markowa. Istotnie, dla s ¬ t i Γ ∈ B mamy, na mocy twierdzenia 1.15 zastosowanego do funkcji f (x, y) = 11Γ (x + y) i zmiennych Xt − Xs , Xs , P(Xt ∈ Γ|FsX ) = P(Xs + (Xt − Xs ) ∈ Γ|FsX ) = P(x + Xt − Xs ∈ Γ)|x=Xs = = P(Xs + (Xt − Xs ) ∈ Γ|Xs ) = P(Xt ∈ Γ|Xs ) i z warunku 5 w twierdzeniu 1.13 wynika, że X ma własność Markowa. Ponadto funkcja przejścia procesu X jest równa Ps,t (x, Γ) = P(Xt ∈ Γ|Xs = x) = P(x + Xt − Xs ∈ Γ). W szczególności, proces Wienera jest procesem Markowa o funkcji przejścia Ps,t (x, Γ) = P(x + Wt − Ws ∈ Γ) = Z Γ (y−x)2 1 − e 2(t−s) dy, 2π(t − s) p bowiem x + Wt − Ws ∼ N (x, t − s). Zatem gęstość przejścia dla procesu Wienera ma postać: (y−x)2 1 − ps,t (x, y) = p e 2(t−s) . 2π(t − s) 17 Oczywiście procesem Markowa jest także proces postaci Xt = µt + σWt . Ponadto dla dowolnej funkcji niemalejącej ϕ proces Yt = Wϕ(t) jest procesem Markowa względem filtracji Fet = Fϕ(t) . Przykład 2. Niech X0 , Y1 , Y2 , . . . będą niezależnymi zmiennymi losowymi o wartościach w E, fn : E × E → E funkcjami mierzalnymi, n = 1, 2, . . . i niech Xn = fn (Xn−1 , Yn ) dla n = 1, 2, . . . . Wówczas (Xn )∞ n=0 jest łańcuchem Markowa. Istotnie, dla n = 1, 2, . . . , FnX ⊆ σ(X0 , Y1 , . . . , Yn ) i dla dowolnej funkcji mierzalnej i ograniczonej g mamy, na mocy twierdzenia 1.15 zastosowanego do funkcji mierzalnej g ◦ fn+1 i zmiennych Yn+1 , Xn , E g(Xn+1 )|FnX = E g(fn+1 (Xn , Yn+1 ))|FnX = Eg fn+1 (x, Yn+1 ) = E g(fn+1 (Xn , Yn+1 ))|Xn = E g(Xn+1 )|Xn x=Xn = i z warunku 6 w twierdzeniu 1.13 oraz zasady indukcji wynika, że (Xn )∞ n=1 ma własność Markowa. W szczególności, jeśli X0 , Y1 , Y2 , . . . są niezależnymi rzeczywistymi zmiennymi losowymi oraz b, σ : N × R → R, to ciąg zmiennych losowych (Xn )∞ n=0 określony rekurencyjnie wzorem Xn+1 = Xn + b(n, Xn ) + σ(n, Xn )Yn+1 ma własność Markowa. Jest to dyskretny odpowiednik procesu dyfuzji, spełniającego równanie (1.7), który, jak się okazuje, dla dostatecznie regularnych funkcji b, σ jest również procesem Markowa. Zachodzi Twierdzenie 1.16. Załóżmy, że współczynniki a, b równania (1.7) spełniają warunki (i),(ii) twierdzenia 1.8. Wówczas rozwiązanie tego równania jest procesem Markowa. Jak widzimy, procesy Markowa stanowią szeroką klasę procesów stochastycznych. W matematyce finansowej są one wykorzystywane do modelowania Markov-Functional opisanego w dalszych rozdziałach. Zazwyczaj do opisu modelu stosuje się procesy Markowa z czasem ciągłym. W celu kalibracji modelu do danych rynkowych i implementacji dyskretyzuje się czas, czyli de facto używa się łańcuchów Markowa. 18 Rozdział 2 Podstawy matematyki finansowej W tym rozdziale przedstawimy podstawowe zagadnienia matematyki finansowej, używane w następnych rozdziałach. Ustalamy horyzont czasowy T ∗ i przestrzeń probabilistyczną (Ω, F, P) z filtracją F = (Ft )t∈[0,T ∗ ] generowaną przez proces Wienera W , tzn. Ft = FtW = σ(Ws : s ¬ t) dla t ∈ [0, T ∗ ]. O ile nie zostanie powiedziane inaczej, proces Wienera w mierze Q równoważnej P będziemy oznaczać przez W Q . Będziemy też zakładali, że obecnie znajdujemy się w chwili 0. 2.1. Stopy procentowe i podstawowe instrumenty finansowe Przez B = (Bt )t∈[0,T ∗ ] będziemy oznaczać proces opisujący rachunek bankowy. Zakładamy, że spełnia on następujące równanie różniczkowe: dBt = rt Bt dt, B0 = 1, gdzie r = (rt )t∈[0,T ∗ ] jest F-adaptowanym procesem stochastycznym w przestrzeni (Ω, F, P), nazywanym krótkoterminową stopą procentową. Rozwiązaniem powyższego równania jest proces Z t Bt = exp rs ds , t ∈ [0, T ∗ ]. 0 Definicja 2.1. Obligacją zerokuponową o terminie zapadalności T (zapadalną w T ) nazywamy instrument finansowy, który gwarantuje posiadaczowi wypłatę w wysokości 1 (w danej walucie) w chwili T . Wartość obligacji w momencie t ∈ [0, T ] oznaczamy przez B(t, T ). W przypadku ustalonej struktury czasowej 0 ¬ T0 < T1 < . . . Tn zawsze będziemy zakładać, że istnieje obligacja zapadalna w Ti , i = 1, . . . , n. Definicja 2.2. Czynnik dyskontowy pomiędzy dwiema chwilami t, T , oznaczany przez DF (t, T ), jest to wielkość, która sprowadza do chwili t wartość jednostki monetarnej danej waluty płatnej w chwili T . Oczywiście dla każdego T , DF (T, T ) = 1, DF (t, T ) < 1 dla t ∈ [0, T ) oraz (DF (t, T ))t∈[0,T ] jest F-adaptowanym procesem stochastycznym. Będziemy zakładać, że dla danego t 0 krzywa czynników dyskontowych obserwowana w chwili t, tj. funkcja DF (t, ·) : [t, T ∗ ] → [0, 1] jest dopasowana do cen obligacji, tzn. jeśli istnieje obligacja zerokuponowa zapadająca w chwili T , to DF (t, T ) = B(t, T ). Dla pozostałych chwil T stosujemy interpolację i ekstrapolację tak, aby otrzymana funkcja DF (t, ·) była różniczkowalna. Ponadto będziemy zakładać, że początkowa krzywa czynników dyskontowych DF (0, ·) jest znana. 19 Definicja 2.3. Niech T < S. Terminową stopę LIBOR obserwowaną w chwili t ∈ [0, T ] na okres depozytowy [T, S] oznaczamy przez Lt (T, S) i określamy wzorem Lt (T, S) = DF (t, T ) − DF (t, S) ∆ · DF (t, S) lub równoważnie, 1 + ∆ · Lt (T, S) = DF (t, T ) , DF (t, S) przy czym ∆ = S − T jest długością okresu depozytowego liczoną według ustalonej konwencji. (Spotową) stopą LIBOR na okres [T, S] nazywamy stopę L(T, S) := LT (T, S). Spełnia ona zależność 1 − DF (T, S) , L(T, S) = ∆ · DF (T, S) tzn. 1 + ∆ · L(T, S) = 1 . DF (T, S) Definicja 2.4. Caplet (odpowiednio floorlet) jest to opcja kupna (sprzedaży) stopy LIBOR L = L(T, S), której okres depozytowy zaczyna się w terminie wygaśnięcia opcji T i kończy się w S. Wypłata z tej opcji następuje w chwili T i jest równa max(ω(L − K), 0) · ∆ · N = DF (T, S) · max(ω(L − K), 0) · ∆ · N, 1+∆·L gdzie ω = 1 (ω = −1 dla floorleta), K jest tzw. ceną wykonania opcji, określającą poziom stopy procentowej, ∆ jest długością okresu depozytowego stopy L, a N jest nominałem opcji wyrażonym w walucie stopy L. Na potrzeby następnych definicji zawartych w tym podrozdziale ustalmy strukturę czasową 0 ¬ T0 < T1 < . . . < Tn i oznaczmy przez ∆i = Ti − Ti−1 długość i-tego okresu depozytowego, i = 1, . . . , n. Definicja 2.5. Capem (odpowiednio floorem) będziemy nazywać serię n capletów (floorletów) na stopy L(Ti−1 , Ti ), i = 1, . . . , n, o ustalonej cenie wykonania K i z ustalonym nominałem N. Definicja 2.6. Kontrakt IRS (Interest Rate Swap), lub w skrócie: swap, jest to umowa między dwiema stronami, na podstawie której w ustalonych chwilach czasu T1 , . . . , Tn strony te wypłacają sobie wzajemnie odsetki od ustalonego nominału N (w danej walucie), naliczane według odmiennych stóp procentowych. Jedna ze stron kontraktu dokonuje płatności odsetkowych według stałej stopy K (tzw. stopy kontraktu IRS, ustalonej w momencie zawarcia kontraktu T0 ), podczas gdy druga strona w chwilach Ti dokonuje płatności według stopy zmiennej L(Ti−1 , Ti ), i = 1, . . . , n. Strumień pieniężny złożony z płatności wyliczonych według stałej stopy nazywa się nogą stałą kontraktu IRS, natomiast strumień płatności według zmiennej stopy – nogą zmienną kontraktu IRS. Obie nogi kończą się w tym samym momencie, zwanym terminem zapadalności kontraktu IRS. Wyróżniamy dwa rodzaje kontraktów IRS: (a) pay-fixed IRS lub payer IRS to kontrakt IRS, którego posiadacz płaci stopę stałą i otrzymuje stopę zmienną; (b) receive-fixed IRS lub receiver IRS to kontrakt IRS, którego posiadacz płaci stopę zmienną i otrzymuje stopę stałą. 20 Dla i = 1, . . . , n łączny przepływ pieniężny w chwili Ti jest równy ω(L(Ti−1 , Ti ) − K) · ∆i · N, gdzie ω = 1 (dla kontraktu payer IRS) lub ω = −1 (dla kontraktu receiver IRS). Definicja 2.7. Terminową stopę swapową w chwili t ∈ [0, T0 ] na przyszły termin T0 oznaczamy przez Kt (T0 , Tn ) i określamy wzorem Kt (T0 , Tn ) = DF (t, T0 ) − DF (t, Tn ) Pn . i=1 ∆i DF (t, Ti ) (Spotową) stopą swapową nazywamy stopę K(T0 , Tn ) := KT0 (T0 , Tn ). Spełnia ona zależność 1 − DF (T0 , Tn ) K(T0 , Tn ) = Pn . i=1 ∆i DF (T0 , Ti ) Uwaga 2.1. Dla n = 1 kontrakt IRS sprowadza się do kontraktu forward na stopę K o terminie zapadalności T1 oraz Kt (T0 , T1 ) = Lt (T0 , T1 ) dla t ∈ [0, T0 ]. Zauważmy, że dla i = 1, . . . , n mamy DF (t,Ti−1 ) DF (t, Ti−1 ) − DF (t, Tn ) DF (t,Tn ) − 1 Pn Kt (Ti−1 , Tn ) = = = Pn−1 DF (t,Tk ) ∆n + k=i ∆k DF k=i ∆k DF (t, Tk ) (t,Tn ) Qn j=i = ∆n + Pn−1 k=i DF (t,Tj−1 ) DF (t,Tj ) ∆k Qn −1 j=k+1 (j) j=i (1 + ∆j Lt ) − 1 , Pn−1 Qn (j) k=i ∆k j=k+1 (1 + ∆j Lt ) Qn DF (t,Tj−1 ) DF (t,Tj ) = ∆n + (2.1) (j) gdzie Lt = Lt (Tj−1 , Tj ). Zatem terminowa stopa swapowa K (i) jest funkcją terminowych stóp LIBOR L(i) , L(i+1) , . . . , L(n) . Definicja 2.8. Swapcja jest to opcja na kontrakt IRS, który rozpoczyna się w terminie wygaśnięcia opcji T0 i kończy się w Tn , przy czym cena wykonania swapcji jest stopą kontraktu. Wyróżniamy dwa rodzaje swapcji: (a) payer swapcja (payer swaption) to opcja na kontrakt payer IRS; (b) receiver swapcja (receiver swaption) to opcja na kontrakt receiver IRS. Innymi słowy, payer/receiver swapcja jest opcją kupna/sprzedaży stopy swapowej K(T0 , Tn ). Zauważmy, że dla n = 1 payer/receiver swapcja sprowadza się do capleta/floorleta na stopę L(T0 , T1 ). 2.2. Miary martyngałowe i zamiana numéraire Rozpatrujemy rynek finansowy złożony z d instrumentów pierwotnych, których ceny St1 , . . . , Std są F-adaptowanymi procesami Itô typu càdlàg. Przestrzeń (Ω, F, P) wraz z procesem cen S = (S 1 , . . . , S d ) nazywamy modelem rynku finansowego i oznaczamy przez M. 21 Definicja 2.9. Strategią (inwestycyjną) lub portfelem nazywamy proces ϕ = (ϕ1 , . . . , ϕd ) o składowych prognozowalnych i lokalnie ograniczonych. Procesem wartości portfela ϕ nazywamy proces Vt (ϕ) = d X ϕit Sti , t ∈ [0, T ∗ ]. i=1 Definicja 2.10. Numéraire jest to proces stochastyczny N = (Nt )t∈[0,T ∗ ] , który z prawdopodobieństwem 1 jest ściśle dodatni dla prawie każdego t ∈ [0, T ∗ ], tzn. Nt (ω) > 0 dla (λ ⊗ P)-p.w. (t, ω). Intuicyjnie, numéraire opisuje instrument N , względem którego normalizowane są ceny Sk wszystkich innych instrumentów. Innymi słowy, zamiast cen Stk rozpatrywane są ceny Ntt (dzielone przez numéraire), k = 0, 1, . . . , d. Będziemy zakładać, że N w czasie swego istnienia nie płaci dywidendy i prawie na pewno jest ściśle dodatni dla każdego t ∈ [0, T ∗ ]. Definicja 2.11. Niech N będzie numéraire. Miarę probabilistyczną PN określoną na przestrzeni (Ω, F) nazywamy (równoważną) miarą martyngałową (RMM) stowarzyszoną z St S N ∗ jest P -martyngałem = (N ) N , jeśli PN jest równoważna mierze P oraz proces N t t∈[0,T ] względem filtracji F. Na rynku z czasem dyskretnym istnienie RMM jest równoważne warunkowi braku arbitrażu. Aby sformułować warunek równoważny istnieniu RMM na rynku z czasem ciągłym, musimy najpierw wprowadzić kilka technicznych definicji. Definicja 2.12. Proces prognozowalny nazywamy prostym, jeśli jest skończoną kombinacją liniową procesów postaci ψ 11(τ,σ] , gdzie τ, σ są momentami zatrzymania, a ψ jest zmienną losową Fτ -mierzalną. Ustalmy numéraire N . Definicja 2.13. Niech δ > 0. Prostą strategię inwestycyjną ϕ nazywamy δ-dopuszczalną (względem N ), jeśli Vt (ϕ) P ∀t∈[0,T ∗ ] −δ = 1. Nt Definicja 2.14. Mówimy, że proces cen St spełnia warunek NFLVR (no free lunch with vanishing risk), jeśli dla każdego ciągu (δn ) zbieżnego do zera i każdego ciągu (ϕn ) prostych strategii takich, że dla n = 1, 2, . . . ϕn jest δn -dopuszczalna (względem N ), zachodzi warunek P VT (ϕn ) −−−→ 0. n→∞ Twierdzenie 2.1. Na rynku M istnieje równoważna miara martyngałowa wtedy i tylko wtedy, gdy jest spełniony warunek NFLVR. Twierdzenie 2.2 (Fundamentalne twierdzenie wyceny). Załóżmy, że istnieje numéraire N i równoważna miara martyngałowa PN stowarzyszona z N . Wówczas dla dowolnego numéraire U istnieje równoważna miara martyngałowa PU stowarzyszona z U . Co więcej, wartość w chwili t ∈ [0, T ] dowolnej następującej w T ¬ T ∗ wypłaty osiągalnej X dzielona przez U jest PU -martyngałem, tzn. πt (X) = EPU Ut X Ft , 0 ¬ t ¬ T ¬ T ∗ . UT 22 (2.2) Ponadto, pochodna Radona-Nikodýma definiująca miarę PU jest dana wzorem dPU UT N0 . = N dP U0 NT (2.3) Miarę P∗ := PB stowarzyszoną z rachunkiem bankowym jako numéraire nazywa się miarą neutralną względem ryzyka. Proces Wienera w tej mierze będziemy oznaczać przez W ∗ . Ze wzoru (2.2), zwanego martyngałowym wzorem wyceny, wynika natychmiast związek między cenami obligacji a procesem krótkoterminowej stopy procentowej: B(t, T ) = Bt · EP∗ B(T, T ) Ft = EP∗ exp BT − Z t T ! rs ds Ft . Technika zmiany numéraire jest niezwykle użytecznym narzędziem wyceny instrumentów pochodnych. Jeśli mamy daną wypłatę h(XT ) zależącą od procesu X w chwili T (np. od stopy procentowej, kursu wymiany walut, ceny akcji) i chcemy obliczyć jej wartość w h(XT ) chwili 0, możemy dobrać odpowiedni numéraire N , tak aby wartość oczekiwana EPN NT była możliwie najprostsza do obliczenia. Jeśli dodatkowo XT NT jest wypłatą osiągalną, to ( XNt Nt t )t = (Xt )t jest PN -martyngałem, co również jest mile widzianą własnością. Wówczas, jeśli chcemy modelować X za pomocą lognormalnego procesu Itô w mierze PN , spełniającego równanie N dXt = µ(t)Xt dt + σ(t)Xt dWtP dla pewnych funkcji deterministycznych µ, σ, to współczynnik dryfu musi być zerowy i na mocy wzoru (1.8) otrzymujemy ln Xt ∼ N ln X0 − 1 2 Z t σ 2 (s)ds, Z 0 0 t σ 2 (s)ds w PN , czyli znamy rozkład X w mierze PN , dzięki czemu możemy stosunkowo łatwo obliczać wartości oczekiwane funkcji zależnych od X. 23 Rozdział 3 Modele stopy procentowej W tym rozdziale przedstawimy uogólniony model Vasička modelujący krótkoterminową stopę procentową, a także modele rynkowe BGM i Jamshidiana modelujące obserwowane na rynku terminowe stopy LIBOR i, odpowiednio, terminowe stopy swapowe. Najpierw jednak zdefiniujemy pewne miary martyngałowe, których bedziemy używać. 3.1. Miara forward i miara swapowa Definicja 3.1. Przyjmijmy obligację zerokuponową zapadalną w chwili T jako numéraire: Nt = B(t, T ). Równoważną miarę martyngałową stowarzyszoną z tym numéraire nazywamy miarą T -forward (lub miarą forward, jeśli określenie T nie jest istotne albo wynika z kontekstu) i oznaczamy przez PT . Proces Wienera w tej mierze będziemy oznaczać przez W T . Uwaga 3.1. Zgodnie z (2.3) miarę T -forward można zdefiniować za pomocą pochodnej 1 ∗ T Radona-Nikodýma wzorem dP dP∗ = BT B(0,T ) P -p.n. Stwierdzenie 3.1. Terminowa stopa LIBOR na dowolny okres kończący się w T jest martyngałem w mierze PT , tzn. EPT (Lt (S, T )|Fu ) = Lu (S, T ) ∀0¬u¬t¬S<T . W szczególności, dla t = S mamy EPT (L(S, T )|Fu ) = Lu (S, T ), czyli terminowa stopa LIBOR obserwowana w chwili u jest warunkową wartością oczekiwaną przyszłej stopy LIBOR pod warunkiem informacji dostępnej w u. Dowód. Z definicji terminowej stopy LIBOR Lt (S, T ) wynika, że Lt (S, T )B(t, T ) = 1 B(t, S) − B(t, T ) T −S jest ceną pewnego aktywa w chwili t (portfela złożonego z długiej pozycji w obligacji za1 padalnej w S z nominałem T −S oraz krótkiej pozycji w obligacji zapadalnej w T , także z 1 nominałem T −S . Stąd Lt (S, T )B(t, T ) Lt (S, T ) = B(t, T ) jest PT -martyngałem. 25 Definicja 3.2. Niech 0 < T0 < T1 < . . . < Tn , ∆j = Tj − Tj−1 dla j = 1, . . . , n i niech k ∈ {0, 1, . . . , n − 1}. Jako numéraire przyjmijmy portfel złożony z n − k długich pozycji w obligacjach zerokuponowych zapadalnych w Tk+1 , . . . , Tn , z nominałami odpowied(k+1) = nio ∆k+1 , . . . , ∆n . Jego proces cen będziemy oznaczać przez P (k+1) , tzn. Pt Pn j=k+1 ∆j B(t, Tj ). Równoważną miarę martyngałową stowarzyszoną z tym numéraire nazye T . Proces Wienera w tej mierze będziemy ozwamy miarą swapową i oznaczamy przez P k+1 T f k+1 . naczać przez W (n) Uwaga 3.2. Zauważmy, że Pt e T = PT . = ∆n B(t, Tn ), zatem P n n Stwierdzenie 3.2. Terminowa stopa swapowa K jest martyngałem w odpowiedniej mierze swapowej, tzn. przy powyższych oznaczeniach zachodzi EeP Tk+1 (Kt (Tk , Tn ) | Fu ) = Ku (Tk , Tn ) ∀0¬u¬t¬Tk W szczególności dla t = Tk mamy EeP Tk+1 (K(Tk , Tn ) | Fu ) = Ku (Tk , Tn ), czyli terminowa stopa swapowa w chwili u na termin Tk jest warunkową wartością oczekiwaną przyszłej stopy swapowej K(Tk , Tn ) pod warunkiem informacji dostępnej w u. Dowód. Z definicji terminowej stopy swapowej wynika, że Kt (Tk , Tn ) · n X ∆j B(t, Tj ) = B(t, Tk ) − B(t, Tn ) j=k+1 jest ceną pewnego aktywa w chwili t (portfela złożonego z długiej pozycji w obligacji zapadalnej w Tk i krótkiej pozycji w obligacji zapadalnej w Tn ). Stąd Kt (Tk , Tn ) = Kt (Tk , Tn ) · Pn j=k+1 ∆j B(t, Tj ) Pn j=k+1 ∆j B(t, Tj ) e T -martyngałem. jest P k+1 3.2. Uogólniony model Vasička Tak zwane modele dyfuzyjne stopy krótkoterminowej są zadane przez stochastyczne równanie różniczkowe drt = µ(t, rt )dt + σ(t, rt )dWt∗ , (3.1) gdzie W ∗ jest procesem Wienera w mierze wolnej od ryzyka P∗ , a funkcje µ, σ : [0, T ∗ ]×R → R są dostatecznie regularne (np. spełniające warunki liniowego wzrostu i Lipschitza, jak w twierdzeniu 1.8), tak aby powyższe równanie z warunkiem początkowym r0 > 0 miało jednoznaczne markowskie rozwiązanie. Wówczas wartość w chwili t dowolnej obligacji zerokuponowej zapadalnej w T t jest zadana wzorem B(t, T ) = EP∗ exp 26 − Z t T ! rs ds rt , a więc jest funkcją zmiennych t, T, rt : B(t, T ) = B(t, T, rt ). (3.2) Pozwala to efektywnie wyceniać instrumenty pochodne za pomocą rozmaitych metod numerycznych. Jednym z pierwszych modeli stopy krótkoterminowej jest model zaproponowany przez Vasička w roku 19771 , w którym dynamika stopy r w mierze P∗ jest zadana przez równanie (z wartością początkową r0 ): drt = (θ − art )dt + σdWt∗ dla pewnych stałych r0 , θ, a, σ > 0. Stopa krótkoterminowa w tym modelu ma tzw. własność powrotu do średniej : w przypadku, gdy rt < aθ , dryf procesu jest dodatni; jeśli zaś rt > aθ , to dryf jest ujemny. Zatem dla każdego t stopa krótkoterminowa rt zbliża się do wartości aθ . Wadą modelu Vasička jest niemożność dopasowania go do bieżącej struktury terminowej stóp procentowych. Aby dokładnie skalibrować model do rynkowych cen obligacji, musielibyśmy rozwiązać nieskończoną liczbę równań postaci − B(0, T ) = EP∗ exp T Z ! T ∈ [0, T ∗ ], , rs ds 0 co wymagałoby wprowadzenia nieskończenie wielu parametrów. Ten problem stanowił motywację dla Hulla i White’a2 do rozszerzenia modelu Vasička poprzez zastąpienie stałych parametrów funkcjami zależnymi od czasu i modelowanie stopy krótkoterminowej równaniem drt = (θ(t) − a(t)rt )dt + σ(t)dWt∗ , r0 , (3.3) gdzie funkcje θ, a, σ : [0, T ∗ ] → R są ograniczone. Model ten, nazywany uogólnionym modelem Vasička lub modelem Vasička-Hulla-White’a, daje możliwość dokładnej kalibracji do początkowej struktury terminowej stóp procentowych, a także do struktury terminowej współczynników zmienności terminowej stopy LIBOR. Ponadto zachowuje on własność powrotu do θ(t) średniej w tym sensie, że dla każdego t stopa krótkoterminowa rt zbliża się do krzywej a(t) (o ile a(t) 6= 0). Parametr a(t) bywa nazywany parametrem powrotu do średniej. Wyznaczymy teraz rozkład i autokorelację procesu r. Przyjmijmy następujące oznaczenia: Z φ(t) = exp t Z a(s)ds , T 1 du, φ(u) ψ(t, T ) = t 0 Z ξ(t) = t φ2 (u)σ 2 (u)du. (3.4) 0 Ze wzoru na całkowanie przez części mamy d(φ(t)rt ) = φ(t)a(t)rt dt + φ(t)drt = φ(t)(θ(t)dt + σ(t)dWt∗ ). Zatem dla s < t 1 rt = φ(s)rs + φ(t) Z t Z φ(u)θ(u)du + s s t φ(u)σ(u)dWu∗ , (3.5) a więc rt |rs ∼ N 1 φ(s)rs + φ(t) Z t ξ(t) − ξ(s) φ(u)θ(u)du , s 1 φ2 (t) . zob. O. Vasiček, An equilibrium characterisation of the term structure. Journal of Financial Economics 5, s. 177-188, 1977. 2 zob. J. Hull, A. White, Pricing interest-rate derivative securities. Review of Financial Studies 3, s. 573-592, 1990. 27 Ponadto dla s < u < t mamy Cov(rt , ru |rs ) = 1 (ξ(u) − ξ(s)) φ(t)φ(u) oraz s corr(rt , ru |rs ) = ξ(u) − ξ(s) . ξ(t) − ξ(s) W szczególności, jeśli a(t) ≡ a > 0, σ(t) ≡ σ, to φ(t) = eat , ξ(t) = s corr(rt , ru |rs ) = σ2 2a e2at − 1 oraz e2au − e2as , s < u < t. e2at − e2as (3.6) q Jeśli natomiast a(t) ≡ 0, σ(t) ≡ σ, to φ(t) = 1, ξ(t) = σ 2 t oraz corr(rt , ru |rs ) = u−s t−s dla s < u < t, czyli autokorelacja stopy r jest tożsama z autokorelacją procesu Wienera (wynika to również bezpośrednio ze wzoru (3.3)). Poniższe twierdzenie pokazuje, że, dla danych s < u < t, korelacja stóp rt , ru pod warunkiem rs jest malejącą funkcją parametru a > 0.3 Twierdzenie 3.1. Rozważmy uogólniony model Vasička ze stałymi parametrami a > 0 i σ. Dla dowolnych 0 < s < u < t korelacja między stopami rt , ru pod warunkiem rs jest funkcją malejącą względem parametru a. Dowód. Ustalmy 0 < s < u < t. Mamy corr2 (rt , ru |rs ) = e2a(u−s) − 1 . e2a(t−s) − 1 t−s > 1, x = x(a) = 2a(u − s). Ponieważ funkcja x jest rosnącą bijekcją na Oznaczmy c = u−s R+ , więc wystarczy wykazać, że dla dowolnie ustalonego c > 1 funkcja f (x) = ex − 1 ecx − 1 jest malejąca na R+ . Oczywiście f jest klasy C ∞ . Ponadto mamy następujący ciąg równoważnych nierówności: f 0 (x) < 0 ⇐⇒ ex (ecx − 1) − (ex − 1)cecx < 0 ⇐⇒ cecx − ex < e(c+1)x (c − 1). Oznaczmy g(x) = cecx − ex , h(x) = e(c+1)x (c − 1). Zauważmy, że dla dowolnego n = 0, 1, . . . zachodzi g (n) (x) = cn+1 ecx − ex , h(n) (x) = (c − 1)(c + 1)n e(c+1)x oraz g (n) (0) ¬ h(n) (0) (dla n ∈ {0, 1} zachodzi równość, a dla n > 1 nierówność ostra). Zatem aby wykazać, że g(x) < h(x), wystarczy wykazać, że istnieje n ∈ N takie, że g (n) (x) < h(n) (x) dla wszystkich x > 0. Ale g (n) (x) < cn+1 ecx , (c − 1)(c + 1)n ecx < h(n) (x), 3 Jest to wynik własny autora pracy. 28 zatem wystarczy udowodnić, że istnieje n spełniające nierówność cn+1 < (c − 1)(c + 1)n , która z kolei jest równoważna nierówności c c+1 n c−1 . c < Ta ostatnia nierówność jest oczywiście prawdziwa dla dostatecznie dużego n, gdyż (wystarczy wziąć n dlog c c+1 c c+1 n c−1 c n→∞ −−−→ 0 < ( c−1 c )e). Dodatkową zaletą uogólnionego modelu Vasička jest tzw. afiniczność struktury terminowej. Definicja 3.3. Model krótkoterminowej stopy procentowej, w którym ceny obligacji mają postać B(t, T ) = A(t, T )e−C(t,T )rt (3.7) dla pewnych funkcji deterministycznych A,C, nazywamy modelem afinicznym struktury terminowej. Powyższą nazwę uzasadnia fakt, że kapitalizowana w sposób ciągły stopa zwrotu z obligacji o cenie zadanej wzorem (3.7) jest funkcją afiniczną stopy krótkoterminowej, tzn. R(t, T ) = − ln B(t, T ) − ln A(t, T ) + C(t, T )rt = . T −t T −t Pokażemy teraz, że uogólniony model Vasička jest modelem afinicznym struktury terminowej i wyznaczymy współczynniki A i C.4 Z równości (3.5) i stwierdzenia 1.3 (b) widzimy, RT że dla t < T zmienna t ru du pod warunkiem rt ma rozkład normalny. Mamy Z t T ru durt ∼ N (mt,T , Vt,T ), gdzie Z mt,T = t T E(ru |rt )du = T Z t 1 φ(t)rt + φ(u) u Z φ(s)θ(s)ds du t oraz Z Vt,T = EP∗ t Z = EP∗ T ru du − mt,T rt T Z φ(s)σ(s) t s T !2 Z = EP∗ 1 du dWs φ(u) t T 1 φ(u) !2 Z T Z !2 u φ(s)σ(s)dWs du 2 2 Z φ (s)σ (s) = t = t s T 1 du φ(u) !2 ds, przy czym przedostatnia równość wynika ze stochastycznej wersji twierdzenia Fubiniego5 . Na mocy lematu 5.1 (p. Dodatek) otrzymujemy B(t, T ) = EP∗ exp − Z t T ! ru du rt = A(t, T )e−C(t,T )rt , 4 (3.8) Jest to wynik autora pracy, nieznaleziony w dostępnej literaturze. por. tw. IV.45 w: P. Protter, Stochastic Integration and Differential Equations, Springer, Berlin Heidelberg New York 1990. 5 29 gdzie A(t, T ) = exp − Z T t Z T C(t, T ) = φ(t) t 1 φ(u) Z t u 1 φ(s)θ(s)ds du + 2 Z T φ2 (s)σ 2 (s) t ! T Z 2 1 du ds , (3.9) φ(u) s 1 du = φ(t)ψ(t, T ). φ(u) (3.10) Wyprowadzimy jeszcze inny wzór na cenę obligacji w uogólnionym modelu Vasička. Twierdzenie 3.2. Dla T > S > 0 wartość w chwili S obligacji zapadalnej w T w uogólnionym modelu Vasička wyraża się wzorem B(0, T ) 1 B(S, T ) = exp −ψ(S, T )XS + ψ 2 (S, T ) Var(XS ) , B(0, S) 2 (3.11) gdzie t Z Xt = 0 φ(s)σ(s)dWsT . W szczególności, jeśli a(t) ≡ a, to zachodzi B(0, T ) e−aS − e−aT B(S, T ) = exp − B(0, S) a ! 1 XS + 2 e−aS − e−aT a !2 Var(XS ) (3.12) B(·,S) Dowód. Rozpatrzmy proces B(·,T ) . Korzystając z reprezentacji (3.8) i wzoru (3.10), otrzymujemy B(t, S) A(t, S) (C(t,T )−C(t,S))rt = F (t, rt ), = e B(t, T ) A(t, T ) A(t,S) φ(t)ψ(S,T )r gdzie F (t, r) = A(t,T . )e Wzór Itô zastosowany do funkcji F ma postać d B(t, S) B(t, T ) = ∂F ∂F 1 ∂2F (t, rt )dt + (t, rt )drt + (t, rt )dhrit . ∂t ∂r 2 ∂r2 B(·,S) Ponieważ B(·,T ) jest martyngałem w mierze PT , więc na mocy wniosku 1.1 powyższe równanie przyjmie w tej mierze postać B(t, S) d B(t, T ) = ∂F B(t, S) (t, rt )σ(t)dWtT = φ(t)ψ(S, T )σ(t)dWtT . ∂r B(t, T ) Stąd B(t, S) B(0, S) = exp ψ(S, T ) B(t, T ) B(0, T ) t Z 0 φ(s)σ(s)dWsT 1 − ψ 2 (S, T ) 2 φ(s)σ(s)dWsT 1 + ψ 2 (S, T ) 2 t Z 2 2 φ (s)σ (s)ds 0 i kładąc t = S, dostajemy B(0, T ) B(S, T ) = exp −ψ(S, T ) B(0, S) S Z 0 co prowadzi do wzoru (3.11). W szczególności, jeśli a(t) ≡ a, to Z T ψ(S, T ) = e−as ds = S co daje wzór (3.12). 30 e−aS − e−aT , a Z S ! 2 2 φ (s)σ (s)ds , 0 Wniosek 3.1. Cena w S obligacji zapadalnej w T jest funkcją XS (z parametrami S, T , a(·), σ(·)): B(S, T ) = B(S, T, XS ), gdzie B(0, T ) 1 B(S, T, ξ) = exp −ψ(S, T )ξ + ψ 2 (S, T ) B(0, S) 2 Z S ! 2 2 φ (s)σ (s)ds . 0 Na koniec tego podrozdziału wyznaczymy stochastyczne równanie różniczkowe na terminową stopę LIBOR. Jest to uogólnienie wyniku z monografii [HK], s. 381-382. Twierdzenie 3.3. Rozważmy uogólniony model Vasička zadany równaniem (3.3), ustalmy strukturę czasową 0 ¬ T0 < T1 < . . . < Tn i niech ∆i = Ti − Ti−1 dla i = 1, . . . , n. Wówczas (i) dla i = 1, . . . , n terminowa stopa LIBOR na okres [Ti−1 , Ti ], Lt := Lt (Ti−1 , Ti ) spełnia stochastyczne równanie różniczkowe w mierze PTi : (i) (i) Ti dLt = (Lt + ∆−1 i )φ(t)ψ(Ti−1 , Ti )σ(t)dWt . (3.13) W szczególności, jeśli a(t) ≡ a, to terminowa stopa LIBOR spełnia równanie (i) (i) dLt = (Lt + ∆−1 i )· e−aTi−1 − e−aTi at e σ(t)dWtTi . a (3.14) Dowód. Korzystając z reprezentacji (3.8) i wzoru (3.10), otrzymujemy (i) Lt = B(t, Ti−1 ) − B(t, Ti ) = ∆−1 i · ∆i B(t, Ti ) A(t, Ti−1 ) (C(t,Ti )−C(t,Ti−1 ))rt e − 1 = f (t, rt ), A(t, Ti ) gdzie f (t, r) = ∆−1 i A(t, Ti−1 ) φ(t)ψ(Ti−1 ,Ti )r e −1 . A(t, Ti ) Wzór Itô zastosowany do funkcji f ma postać (i) dLt = ∂f ∂f 1 ∂2f (t, rt )dt + (t, rt )drt + (t, rt )dhrit . ∂t ∂r 2 ∂r2 (i) Ponieważ Lt jest martyngałem w mierze PTi (por. stwierdzenie 3.1), więc na mocy wniosku 1.1 powyższe równanie przyjmie w tej mierze postać (i) dLt = ∂f (i) Ti (t, rt )σ(t)dWtTi = (Lt + ∆−1 i )φ(t)ψ(Ti−1 , Ti )σ(t)dWt . ∂r Przyjmując a(t) ≡ a, dostajemy (i) dLt = (i) (Lt +∆−1 i ) Z Ti ! −as e Ti−1 (i) ds ·eat σ(t)dWtTi = (Lt +∆−1 i ) (i) Zauważmy, że z postaci (3.13) wynika, że proces Yt rozkładzie lognormalnym w mierze PTi . 31 e−aTi−1 − e−aTi at e σ(t)dWtTi . a (i) := Lt + ∆−1 jest martyngałem o i 3.3. Modele rynkowe Chociaż wiele modeli stopy krótkoterminowej ma dobre własności, takie jak istnienie analitycznych wzorów na ceny obligacji i możliwość efektywnej implementacji, to jednak ich wspólną wadą jest fakt, że modelują stopę czysto teoretyczną, nieobserwowalną na rynku. To powoduje ograniczoną możliwość kalibracji modelu do rynkowych cen instrumentów (np. capów, floorów, swapcji). Taka kalibracja wymaga użycia bardziej skomplikowanych i nie zawsze satysfakcjonujących metod numerycznych. W celu ominięcia tych problemów rozwinięto tzw. modele rynkowe, w których modelowane są występujące w praktyce terminowe stopy LIBOR i swapowe. W tym podejściu postuluje się, że – w zależności od wybranego modelu – terminowe stopy LIBOR lub terminowe stopy swapowe są procesami lognormalnymi w odpowiednich miarach martyngałowych, dzięki czemu otrzymuje się zgodność cen capów i floorów (odpowiednio swapcji) ze stosownymi wzorami Blacka, używanymi w praktyce rynkowej. Opiszemy teraz model rynkowy stóp LIBOR, znany również pod nazwą modelu BGM. Został on wprowadzony w roku 1997 przez Miltersena, Sandmanna i Sondermanna6 oraz Brace’a, Gątarka i Musielę7 . Niech 0 < T0 < . . . < Tn i ∆j = Tj − Tj−1 dla j = 1, . . . , n. Oznaczmy przez L(j) proces terminowej stopy LIBOR na j-ty okres depozytowy, L(j) = (Lt (Tj−1 , Tj ))t∈[0,Tj−1 ] dla każdego j = 1, . . . , n. Zgodnie ze stwierdzeniem 3.1 proces ten jest martyngałem w mierze Tj -forward. Dodatkowo zakładamy, że ma on w tej mierze rozkład lognormalny, tzn. spełnia stochastyczne równanie różniczkowe postaci (j) dLt T (j) = Lt σj (t)dWt j , (3.15) gdzie σj : [0, Tj−1 ] → R jest ograniczoną funkcją deterministyczną. Ponieważ σj jest ograniczone, więc z kryterium Nowikowa wynika, że L(j) rzeczywiście jest martyngałem w mierze PTj . Ze wzoru (1.8) widzimy, że (j) Lt = (j) L0 exp Z t T σj (s)dWs j 0 (j) czyli dla dowolnego t ∈ [0, Tj−1 ] stopa Lt PTj . Dokładniej, (j) ln Lt (j) ∼ N L0 − 1 2 1 − 2 t Z 0 σj2 (s) ds , (3.16) rzeczywiście ma rozkład lognormalny w mierze Z t 0 σj2 (s)ds, Z 0 t σj2 (s)ds . (j) Ponieważ funkcja DF (0, ·) jest malejąca, więc dla j = 1, . . . , n L0 > 0 i ze wzoru (3.16) wynika, że proces L(j) jest dodatni. Zadaliśmy dynamikę każdej z n terminowych stóp LIBOR w odpowiedniej mierze forward. Sprowadzimy teraz wszystkie stopy do jednej miary martyngałowej; mianowicie wyznaczymy ich dynamikę w mierze forward na chwilę Tn . Ustalmy i ∈ {1, . . . , n − 1}. Zgodnie z twierdzeniem 2.2 pochodna Radona-Nikodýma wiążąca miary PTi i PTi+1 jest dana wzorem (i) %t dPTi B(t, Ti ) · B(0, Ti+1 ) B(0, Ti+1 ) (i+1) = = = 1 + ∆ L . i+1 t dPTi+1 Ft B(0, Ti ) · B(t, Ti+1 ) B(0, Ti ) 6 zob. K. Miltersen, K. Sandmann, D. Sondermann, Closed form solutions for term structure derivatives with log-normal interest rates. Journal of Finance 52, s. 409-430, 1997. 7 zob. A. Brace, D. Gątarek, M. Musiela, The market model of interest rate dynamics. Mathematical Finance 7, s. 127-154, 1997. 32 Stąd i ze wzoru (3.15) mamy (i) (i) d%t B(0, Ti+1 ) %t T T (i+1) (i+1) = ·∆i+1 σi+1 (t)Lt dWt i+1 = ·∆i+1 σi+1 (t)Lt dWt i+1 = (i+1) B(0, Ti ) 1 + ∆i+1 Lt (i) (i+1) = %t γt (i+1) gdzie γt Ti+1 dWt , (i+1) = ∆i+1 σi+1 (t)Lt czona, to proces (i+1) 1+∆i+1 Lt γ (i+1) , t ∈ [0, Ti ]. Zauważmy, że skoro funkcja σi+1 jest ograni- ∆i+1 L(i+1) t też jest ograniczony, gdyż (i+1) = 1+∆i+1 L t (i+1) ∆i+1 Lt (i+1) 1+∆i+1 Lt < 1. Zatem γ (i+1) ∈ PTi (por. (1.3)). Ze stwierdzenia 1.5 wynika, że Z (i) %t = exp 0 t γs(i+1) dWsTi+1 − 1 2 Z t 0 γs(i+1) 2 ds , (i) gdyż %0 = 1. Z twierdzenia Girsanowa otrzymujemy Ti+1 dWtTi = dWt (i+1) − γt dt. (3.17) Iterując powyższe rozumowanie n − i razy, dostajemy dWtTi = dWtTn − n X (k) γt dt. k=i+1 Zauważmy, że powyższe równanie jest spełnione także dla i = n. Ostatecznie otrzymujemy następującą dynamikę terminowych stóp LIBOR: (i) (i) dLt = Lt σi (t) dWtTn − n X (k) n X ∆k σk (t)Lt (k) γt dt = − k=i+1 k=i+1 1+ (k) ∆k Lt (i) (i) Lt σi (t)dt + Lt σi (t)dWtTn (3.18) dla t ∈ [0, Ti−1 ], i = 1, . . . , n. Omówimy teraz model rynkowy stóp swapowych. Został on wprowadzony w roku 1997 przez Jamshidiana8 (dlatego też jest nazywany modelem Jamshidiana). Jego konstrukcja jest analogiczna do modelu BGM. Zakładamy, że dla każdego j = 1, . . . , n terminowa stopa swapowa K (j) := (Kt (Tj−1 , Tn ))t∈[0,Tj−1 ] spełnia stochastyczne równanie różniczkowe eT : w mierze swapowej P j (j) dKt (j) = Kt T f j, · σj (t)dW t gdzie σj : [0, Tj−1 ] → R jest ograniczoną funkcją deterministyczną. Analogicznie jak w przye T martyngałem o rozkładzie logpadku modelu BGM wnioskujemy, że K (j) jest w mierze P j normalnym, tzn. Z t Z 1 t 2 Tj (j) (j) f σ (s)ds , Kt = K0 exp σj (s)dWs − 2 0 j 0 8 zob. F. Jamshidian, LIBOR and swap market models and measures. Finance and Stochastics 1, s. 293-330, 1997. 33 (j) ln Kt ∼N 1 − 2 (j) K0 Z t 0 σj2 (s)ds , t Z 0 σj2 (s)ds . Dla pełności opisu wyznaczymy dynamikę terminowych stóp swapowych K (1) , . . . , K (n) e T = PT , choć dynamika ta jest dużo w jednej mierze martyngałowej, mianowicie mierze P n n bardziej skomplikowana niż dynamika terminowych stóp LIBOR (3.18) w modelu BGM. Niech K = (K (1) , . . . , K (n) ). Z wniosku 1.1 wynika, że dla i = 1, . . . , n dynamika stopy K (i) jest zadana równaniem (i) (i) dKt = µi (t, Kt )dt + σi (t)Kt dWtTn , gdzie µi jest procesem stochastycznym. Przyjmijmy dla wygody następujące oznaczenia: (i) Pt ∆0 = 1, = n X (i) (i) ∆k B(t, Tk ), P̂t Pt , B(t, Tn ) = k=i (i) Ψt = i Y (j+1) (1 + ∆j Kt t ∈ [0, Ti ], i = 0, . . . , n, Ψ(−1) ≡ 1. i = 0, . . . , n − 1, ), j=0 (n) Zauważmy, że P̂t (i) P̂t = ∆n oraz dla i = 0, . . . , n − 1 zachodzi n X B(t, Tk ) B(t, Ti ) B(t, Ti ) − B(t, Tn ) (i+1) (i+1) ∆k = = P̂t + ∆i · = P̂t + ∆i · 1 + B(t, Tn ) B(t, Tn ) B(t, Tn ) k=i (i+1) = P̂t (i+1) (i+1) · P̂t + ∆i 1 + Kt (i+1) = ∆i + 1 + ∆i Kt (i+1) P̂t = . (3.19) Po zastosowaniu wzoru na całkowanie przez części mamy (i) dP̂t (i+1) = 1 + ∆ i Kt (i+1) dP̂t (i+1) + ∆i P̂t (i+1) dKt + ∆i dhK (i+1) , P̂ (i+1) it . Korzystając z faktu, że dla każdego j = 0, . . . , n P̂ (j) jest martyngałem w mierze PTn , otrzymujemy (i) (i+1) (i+1) (i+1) (i+1) dP̂t = 1 + ∆i Kt dP̂t + ∆i P̂t Kt σi+1 (t)dWtTn oraz (i+1) ∆i P̂t (i+1) µi+1 (t, Kt )dt + ∆i σi+1 (t)Kt dhW Tn , P̂ (i+1) it = 0 (3.20) dla i = 0, . . . , n − 1. Stąd (i+1) (i−1) (i) Ψt dP̂t = (i) (i+1) Ψt dP̂t + (i) (i+1) Ψt P̂t ! ∆i Kt 1+ (i+1) ∆ i Kt σi+1 (t)dWtTn i przez indukcję otrzymujemy (i−1) (i) Ψt dP̂t = n−1 X k=i (k+1) (k) (k+1) Ψt P̂t ∆k Kt 1+ ! (n−1) σk+1 (t)dWtTn +Ψt (k+1) ∆ k Kt (n) dP̂t , i = 0, . . . , n−1, czyli (i) dP̂t = (i) P̂t (j−1) (j) n X Ψt P̂t (i−1) (i) P̂t j=i+1 Ψt (j) ∆j−1 Kt 1+ (j) ∆j−1 Kt 34 ! σj (t)dWtTn , i = 0, . . . , n − 1. (3.21) Ze wzoru (3.20) wynika, że (i) (i) P̂t µi (t, Kt )dt + σi (t)Kt dhWtTn , P̂ (i) it = 0, i = 1, . . . , n, co w połączeniu z (3.21) daje µi (t, Kt ) = (i) −σi (t)Kt (j−1) (j) n X Ψt P̂t (i−1) j=i+1 Ψt (j) ∆j−1 Kt (i) (j) P̂t 1 + ∆j−1 Kt ! σj (t) dla i = 1, . . . , n − 1. Powyższa równość zachodzi w sposób trywialny także dla i = n, gdyż wiemy, że µn ≡ 0. Na koniec zauważmy, że ze wzoru (3.19) i zasady indukcji mamy (i−1) Ψt (i) P̂t = n−1 X (k−1) ∆k Ψt (n−1) + Ψt (n) P̂t = k=i n X (k−1) ∆k Ψt =: Φi (t, Kt ), i = 0, . . . , n. k=i Ostatecznie otrzymujemy następującą dynamikę terminowych stóp swapowych w mierze PTn : (i) dKt = − (j) n X Φj (t, Kt ) j=i+1 Φi (t, Kt ) 1+ ! ∆j−1 Kt (i) (j) ∆j−1 Kt (i) σi (t)σj (t) Kt dt + σi (t)Kt dWtTn (3.22) dla i = 1, . . . , n. Mimo swej prostoty i dobrej kalibracji do cen capów lub swapcji modele rynkowe mają zasadniczą wadę utrudniającą ich zastosowanie w praktyce. Mamy w nich bowiem do czynienia z n-wymiarowym procesem Markowa, gdzie n jest liczbą modelowanych stóp LIBOR lub stóp swapowych. Prowadzi to do znacznych trudności implementacyjnych, np. przy wycenie swapcji bermudzkich. Innym problemem jest opisana niżej niezgodność modeli rynkowych utrudniająca ich zastosowanie do wyceny instrumentów pochodnych zależnych jednocześnie od stóp LIBOR i stóp swapowych. Przykładem takiego instrumentu jest tzw. constant maturity swap (CMS), w którym w chwili Ti , i = 1, . . . , n, stopa LIBOR L(Ti−1 , Ti ) jest wymieniana na stopę swapową K(Ti−1 , Tn ). 3.4. Niezgodność modeli rynkowych Na mocy uwagi 2.1 i uwagi 3.2 model Jamshidiana dla n = 1 redukuje się do modelu BGM. Jednak już dla n 2 modele te są sprzeczne ze sobą. Sprzeczność ta polega na tym, że w modelu Jamshidiana terminowe stopy LIBOR L(i) nie mają rozkładu lognormalnego w odpowiednich miarach martyngałowych PTi , co jest niezgodne z założeniami modelu BGM. Podobnie, terminowe stopy swapowe K (i) pochodzące z modelu BGM nie mają rozkładu e T , niezgodnie z założeniami modelu Jamshidiana. Zilustrujemy lognormalnego w miarach P i ten drugi fakt dla przypadku n = 2.9 Przyjmijmy model BGM z n = 2. W celu uproszczenia obliczeń zakładamy, że ∆1 = ∆2 = 1, σ1 ≡ σ2 ≡ 1. Dla czytelności zapisu oznaczymy Li := L(i) dla i = 1, 2, K1 := K (1) i pominiemy zmienną czasową t w równaniach stochastycznych. Aby wyznaczyć dynamikę e T , skorzystamy ze wzoru (2.1). W tym celu musimy terminowej stopy swapowej K1 w mierze P 1 eT . najpierw wyznaczyć dynamikę stóp L1 , L2 w tej samej mierze swapowej P 1 9 Jest to wynik własny autora pracy. 35 Wiemy, że dLi = Li dW Ti dla i = 1, 2. Ponadto na mocy twierdzenia 2.2 pochodna eT i P e T jest dana wzorem Radona-Nikodýma wiążąca miary P 1 2 e T dP 1 %t = dPT2 = Ft B(t, T1 ) + B(t, T2 ) B(0, T2 ) B(0, T2 ) · = · B(0, T1 ) + B(0, T2 ) B(t, T2 ) B(0, T1 ) + B(0, T2 ) B(t, T1 ) +1 = B(t, T2 ) B(0, T2 ) · (L2 + 2) . = B(0, T1 ) + B(0, T2 ) Zatem d% = gdzie proces µ2 := L2 L2 +2 B(0, T2 ) L2 dW T2 = % µ2 dW T2 , B(0, T1 ) + B(0, T2 ) jest ograniczony przez 1. Z twierdzenia Girsanowa mamy f T1 = dW T2 − µ2 dt dW oraz f T1 + µ2 dt = dL2 = L2 dW T2 = L2 dW L22 f T1 , dt + L2 dW L2 + 2 a ze wzoru (3.18) otrzymujemy L2 L2 f T1 + L2 dt = L1 dt + L1 dWtT2 = − L1 dt + L1 dW 1 + L2 1 + L2 L2 + 2 L L 1 2 f T1 − f T1 , = L1 dW dt = µ1 L1 dt + L1 dW (L2 + 2)(L2 + 1) dL1 = − L2 gdzie µ1 := − (L2 +2)(L . 2 +1) e T . Na mocy Teraz wyznaczymy dynamikę terminowej stopy swapowej K1 w mierze P 1 wzoru (2.1) mamy (1 + L1 )(1 + L2 ) − 1 K1 = 2 + L2 Ponadto ∂K1 L2 + 1 = , ∂L1 L2 + 2 ∂ 2 K1 = 0, ∂L21 ∂K1 (L1 + 1)(L2 + 2) − L1 − L2 − L1 L2 L1 + 2 = = , 2 ∂L2 (L2 + 2) (L2 + 2)2 ∂ 2 K1 ∂ 2 K1 1 , = = ∂L1 ∂L2 ∂L2 ∂L1 (L2 + 2)2 ∂ 2 K1 L1 + 2 = −2 · 2 (L2 + 2)3 ∂L2 i z dwuwymiarowego wzoru Itô otrzymujemy L1 + 2 1 L1 + 2 L2 + 1 dL1 + dL2 + dhL1 , L2 i − dhL2 i = 2 2 L2 + 2 (L2 + 2) (L2 + 2) (L2 + 2)3 L2 + 1 L1 + 2 1 L1 + 2 2 = µ1 L1 + µ L + L L − L dt + 2 2 1 2 L2 + 2 (L2 + 2)2 (L2 + 2)2 (L2 + 2)3 2 L2 + 1 L1 + 2 f T1 = + L1 + L2 dW L2 + 2 (L2 + 2)2 dK1 = " # L1 L2 (L2 + 1) L22 (L1 + 2) L1 L2 L22 (L1 + 2) = − + + − dt + (L2 + 1)(L2 + 2)2 (L2 + 2)3 (L2 + 2)2 (L2 + 2)3 + (L2 + 1)(L2 + 2)L1 + L2 (L1 + 2) f T1 L1 L22 + 4L1 L2 + 2L1 + 2L2 f T1 d W = dW , (L2 + 2)2 (L2 + 2)2 36 e T , zgodnie z oczekiwaniem. Jednak a więc K1 jest martyngałem w mierze P 1 dK1 f T1 , = σ(L1 , L2 )dW K1 gdzie σ(L1 , L2 ) = L1 L22 + 4L1 L2 + 2L1 + 2L2 2 L1 L2 >0 = + (L2 + 2)(L1 + L2 + L1 L2 ) L2 + 2 L1 + L2 + L1 L2 nie jest funkcją deterministyczną. Istotnie, gdyby σ(L1 , L2 ) = c(t) dla pewnej funkcji deterministycznej c, to L1 L22 + 4L1 L2 + 2L1 + 2L2 = c(t)(L1 L2 + L22 + L1 L22 + 2L1 + 2L2 + 2L1 L2 ), czyli L1 L22 (c(t) − 1) + L1 L2 (3c(t) − 4) + 2L1 (c(t) − 1) + 2L2 (c(t) − 1) + c(t)L22 = 0. Ale L1 , L2 są stochastyczne – sprzeczność. Zatem K1 nie ma rozkładu lognormalnego w eT . mierze P 1 Dla dowolnego n rachunki są oczywiście dużo bardziej skomplikowane, oparte na poniższym stwierdzeniu (zob. [BM], s. 245). Stwierdzenie 3.3. W modelu BGM określonym przez równanie (3.15) dynamika terminowej e T ma postać stopy LIBOR L(k) w mierze swapowej P l (k) dLt (k) (k) f Tl ), = σk (t)Lt (µt dt + dW t k, l = 1, . . . , n (3.23) gdzie (k) µt (l) Pt = = n X j=l n X (2 · 11{j¬k} − 1) B(t, Tj ) max(k,j) ∆i σi (t)Lt i=min(k+1,j+1) 1 + ∆i Lt (l) Pt (i) X (i) , ∆j B(t, Tj ). j=l Na podstawie równania (3.23) i zależności (2.1) można pokazać, że w modelu BGM, dla eT i = 1, . . . , n terminowa stopa swapowa K (i) nie ma rozkładu lognormalnego w mierze P i 10 (zob. [BM] s. 244-246). 10 W [BM] przedstawiony jest jedynie ogólny zarys dowodu stwierdzenia 3.3 i dowodu niezgodności modeli rynkowych. W dostępnej literaturze brak jest dokładnych rachunków prowadzących do tego wniosku. 37 Rozdział 4 Modele Markov-Functional Wady modeli opisanych w poprzednim rozdziale stanowiły istotną motywację do zaproponowania przez Hunta, Kennedy i Pelssera w roku 2000 (zob. [HKP]) alternatywnego sposobu modelowania, zwanego modelowaniem Markov-Functional. W tym podejściu postuluje się, że terminowe stopy LIBOR i terminowe stopy swapowe są funkcjami pewnego procesu Markowa o niewielkim wymiarze (najczęściej jedno- lub dwuwymiarowego). Dokładniej, model Markov-Functional jest określony przez proces Markowa X, strukturę czynników dyskontowych będących funkcjami procesu X oraz numéraire, również będący funkcją X. Niski wymiar procesu Markowa X umożliwia efektywną implementację modelu, podobnie jak modele dyfuzyjne krótkoterminowej stopy procentowej. Natomiast swoboda wyboru zależności funkcyjnych między procesem X a numéraire i czynnikami dyskontowymi pozwala dokładnie skalibrować model do cen rynkowych capów (floorów) lub swapcji, jak w przypadku modeli rynkowych BGM i Jamshidiana. Pozostaje jeszcze swoboda wyboru samego procesu X, która pozwala określić łączny rozkład stóp rynkowych i tym samym dobrze wyceniać egzotyczne instrumenty pochodne. Za Huntem, Kennedy i Pelsserem przyjmujemy następującą definicję: Definicja 4.1. Model stopy procentowej nazywamy n-wymiarowym modelem MarkovFunctional na przedziale [0, T ∗ ] lub krótko: modelem M-F (M-F model), jeśli istnieje numéraire N , równoważna miara martyngałowa PN stowarzyszona z N oraz proces stochastyczny X = (Xt )t∈[0,T ∗ ] o wartościach w Rn , spełniające następujące warunki: (M1) X jest procesem Markowa w mierze PN ; (M2) proces N cen numéraire’a jest postaci Nt (ω) = N (t, Xt (ω)), t ∈ [0, T ∗ ], gdzie (t, ξ) 7→ N (t, ξ) jest funkcją deterministyczną; (M3) ceny czynników dyskontowych są postaci DF (t, T )(ω) = DF (t, T, Xt (ω)), 0 ¬ t ¬ T ¬ T ∗, gdzie (t, T, ξ) 7→ DF (t, T, ξ) jest funkcją deterministyczną. Proces X nazywamy (markowskim) procesem kierującym (Markovian driver). W pracy skupimy się na przypadku, gdy X jest procesem jednowymiarowym (tzn. na jednowymiarowym modelu Markov-Functional). 39 W powyższej definicji i w całej pracy używamy tego samego oznaczenia N zarówno na proces stochastyczny N : [0, T ∗ ] × Ω → R, jak i na funkcjonał N : [0, T ∗ ] × R → R. Z kontekstu będzie jasne, który obiekt mamy akurat na myśli: Nt oznacza wartość procesu w chwili t, a N (t, ξ) – wartość funkcjonału w czasie t i stanie ξ. Ta sama uwaga dotyczy czynników dyskontowych DF i wszystkich procesów, dających się zapisać jako funkcje procesu kierującego. Zauważmy, że z warunku (M3) wynika, że terminowe stopy LIBOR i swapowe także są funkcjami procesu X, tzn. Lt (T, S) = L(t, T, S, Xt ), Kt (T0 , Tn ) = K(t, (Tk )nk=0 , Xt ). Uwaga. Warunek (M2) powyższej definicji czasami zastępuje się słabszym warunkiem mówiącym, że N zależy od całej trajektorii procesu X do chwili t: (M2’) Nt = N (t, (Xs )s¬t ), t ∈ [0, T ∗ ]. Użyjemy tego zmodyfikowanego warunku w wersji dyskretnej w podrozdziale 4.4 przy opisie modelu Markov-Functional w mierze spot. Z warunku (M2) i wzoru na wycenę wynika, że jeśli V = (Vt )t∈[0,T ] jest procesem cen pewnego instrumentu o wypłacie VT następującej w chwili T ¬ T ∗ i będącej funkcją zmiennej XT : VT = VT (XT ), to Vt = Nt EPN VT Ft = Nt (Xt )EPN NT VT (XT ) Xt NT (XT ) na mocy własności Markowa, czyli Vt jest funkcją Xt , którą oznaczymy znowu tą samą literą V . Mamy V (T, ξ) {X = ξ} . (t, ξ) 7→ V (t, ξ) = N (t, ξ)EPN t N (T, ξ) W szczególności, dla dowolnego T ¬ T ∗ proces cen obligacji spełnia B(t, T ) = B(t, T, Xt ), gdzie B(t, T, ξ) = N (t, ξ) EPN 1 {Xt = ξ} . N (T, XT ) (4.1) Zatem, jeśli czynniki dyskontowe utożsamiamy z obligacjami zerokuponowymi, to warunek (M3) definicji 4.1 wynika z warunku (M2).1 Wówczas do pełnego określenia modelu wystarczy zdefiniować proces kierujący X oraz funkcjonał (t, ξ) 7→ N (t, ξ), t ∈ [0, T ∗ ], ξ ∈ R. 4.1. Wyznaczenie funkcjonału N na podstawie cen rynkowych Wprowadzimy najpierw definicję binarnych opcji na stopy procentowe, które posłużą nam do kalibracji modelu. W literaturze bardzo różnie określa się moment i wartość wypłaty tych instrumentów. Decydujemy się na najbardziej dogodną terminologię. Dla uproszczenia notacji przyjmujemy następujące oznaczenie: 1(x) 1 := 11(0,∞) (x). 1 Natomiast jeśli oprócz tego założymy, że numéraire jest pakietem obligacji zerokuponowych, to warunek (M2) wynika z warunku (M3). 40 Definicja 4.2. Caplet/floorlet binarny (digital caplet/floorlet) jest to binarna opcja kupna/ sprzedaży stopy LIBOR L = L(T, S), której okres depozytowy zaczyna się w terminie wygaśnięcia opcji T i kończy się w S. Wypłata z tej opcji następuje w chwili T i jest równa N · ∆ · DF (T, S) · 1(ω(L 1 − K)), gdzie ω = 1 (ω = −1 dla floorleta), K jest ceną (poziomem) wykonania opcji, ∆ jest długością okresu depozytowego stopy L, a N – nominałem opcji wyrażonym w walucie stopy L. Definicja 4.3. Niech 0 ¬ T0 < T1 < . . . < Tn , ∆i = Ti − Ti−1 dla i = 1, . . . , n i rozważmy kontrakt IRS rozpoczynający się w T0 i wymieniający odsetki w T1 , . . . , Tn . Swapcja binarna (digital swaption) związana z tym kontraktem jest to binarna opcja kupna (lub sprzedaży) stopy swapowej K(T0 , Tn ). Wypłata z tej opcji następuje w chwili T0 i jest równa N n X ∆i DF (T0 , Ti ) · 11(ω (K (T0 , Tn ) − K)) , i=1 gdzie ω = 1 dla payer swapcji (opcji kupna), ω = −1 dla receiver swapcji (opcji sprzedaży), K jest ceną (poziomem) wykonania, a N – nominałem kontraktu.2 Zauważmy, że dla n = 1 binarna payer/receiver swapcja sprowadza się do binarnego capleta/floorleta na stopę L(T0 , T1 ). Lemat 4.1. Oznaczmy przez Vsw (K, ·) proces wartości payer/receiver swapcji na stopę K(T0 , Tn ) o poziomie wykonania K, a przez Vbin.sw (K, ·) proces wartości odpowiedniej payer/receiver swapcji binarnej. Wówczas cena binarnej payer/receiver swapcji jest równa Vbin.sw (K, 0) = −ω ∂ Vsw (K, 0), ∂K (4.2) gdzie ω = 1 dla payer swapcji, ω = −1 dla receiver swapcji. Dowód. Udowodnimy lemat dla payer swapcji. Dowód dla receiver swapcji jest analogiczny. P Bez straty ogólności możemy przyjąć, że N = 1. Niech Pt = ni=1 ∆i B(t, Ti ). Mamy Vsw (K, T0 ) = PT0 · (K(T0 , Tn ) − K)+ , czyli ∂ Vsw (K, T0 ) = −PT011(K(T0 , Tn ) − K) = −Vbin.sw (K, T0 ), ∂K zatem z martyngałowego wzoru wyceny i twierdzenia o różniczkowaniu całki z parametrem wynika, że Vbin.sw (K, 0) = P0 · EeP T1 Vbin.sw (K, T0 ) PT0 =− 2 = P0 EeP T1 ∂ P0 EeP T1 ∂K ∂ − ∂K Vsw (K, T0 ) PT0 Vsw (K, T0 ) PT0 =− ! = ∂ Vsw (K, 0). (4.3) ∂K Hunt i Kennedy określają ten rodzaj swapcji binarnej jako PVBP-digital swaption, zob. [HK] s. 356. 41 Często stosuje się następującą aproksymację na cenę swapcji binarnej: Vbin.sw (K, 0) ≈ −ω · Vsw (K + h, 0) − Vsw (K − h, 0) . 2h (4.4) Zajmiemy się teraz ogólnym zagadnieniem kalibracji modelu Markov-Functional do rynkowych cen capletów lub swapcji (nasze rozważania będą dotyczyć capletów i payer swapcji, ale w podobny sposób można je przeprowadzić dla floorletów i receiver swapcji). Załóżmy, że mamy dane ceny n swapcji, przy czym instrumentem podstawowym i-tej (i) swapcji jest kontrakt IRS rozpoczynający się w T0 i wymieniający odsetki w chwilach (i) (i) (1) (n) T1 , . . . , Tmi , przy czym T0 < . . . < T0 . Po ewentualnym wprowadzeniu pomocniczych (i) (k) swapów możemy dodatkowo założyć, że dla każdych i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , mi , Tj = T0 (i) (n) (i) (i) (i) dla pewnego k > i lub Tj > T0 . Oznaczmy przez Kt = Kt (T0 , Tmi ) terminową stopę swapową związaną z i-tym kontraktem IRS. W szczególności, jeśli dla każdego i = 1, . . . , n, (i) (i) (i) mi = 1, to rozważane swapcje są capletami oraz Kt = Lt (T0 , T1 ) i jeśli dodatkowo za(i) (i+1) (1) (n) łożymy, że T1 = T0 =: Ti dla i = 1, . . . , n − 1, T0 =: T0 , T1 =: Tn , to otrzymamy taką samą strukturę stóp LIBOR jak w modelu BGM. Jeśli natomiast przyjmiemy mi = n+1−i dla (1) (i) i = 1, . . . , n, Tj =: Tj dla j = 0, . . . , n oraz Tj = Tj+i−1 dla i = 2, . . . , n, j = 0, . . . , n+1−i, to otrzymamy taką samą strukturę stóp swapowych jak w modelu Jamshidiana. Poniższą procedurę kalibracji do cen rynkowych można więc będzie zastosować do modelowania stóp rynkowych aternatywnego względem modeli BGM i Jamshidiana. Instrumenty egzotyczne zależne od wyżej określonych swapów można wycenić na pod(i) (l) (l) (i) stawie czynników dyskontowych DF (T0 , Tj ), i, l = 1, . . . , n, j = 1, . . . ml , Tj > T0 . (i) Zatem do zastosowań praktycznych wystarczy wyznaczyć funkcjonały numéraire, N (T0 , ξ) dla i = 1, . . . , n oraz funkcjonały czynników dyskontowych na kracie K := n (i) (l) T0 , T j (l) (i) : i, l = 1, . . . , n, j = 1, . . . , ml , Tj > T0 o . Ustalmy numéraire N . Przyjmujemy następujące założenia: (i) mamy dany rozkład jednowymiarowego procesu kierującego X w mierze martyngałowej PN ; (n) (n) (n) (ii) znamy funkcje ξ 7→ N (T0 , ξ) oraz ξ 7→ DF (T0 , T, ξ) dla T takich, że (T0 , T ) ∈ K;3 (iii) stopa swapowa K K (i) (i) T0 = (i) (i) jest rosnącą funkcją zmiennej XT (i) , tzn. dla i = 1, . . . , n T0 (i) mj (i) K (Tj )j=0 , XT (i) , 0 gdzie funkcja ξ 7→ 0 K (i) (i) i (Tj )m j=0 , ξ jest rosnąca (będziemy w skrócie pisać K (i) (ξ)). Założenie (iii) jest dość naturalnym założeniem, świadczącym o tym, że proces X rzeczywiście „kieruje” stopą rynkową: wzrost (spadek) procesu X powoduje wzrost (spadek) stopy4 . Alternatywnie można zamiast (ii) założyć, że (n) (ii’) znamy funkcje ξ 7→ N (T, ξ) dla T takich, że (T0 , T ) ∈ K. 3 (i) (i) Jak zwykle, zakładamy że DF (·, Tj ) = B(·, Tj ) dla i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , mi . (i) (i) 4 Można zamiast tego założyć, że K (i) jest malejącą funkcją zmiennej XT0 – zob. uwaga 4.2. T0 42 (i) Uwaga 4.1. Z założeń (i), (ii) wynika, że, znając funkcjonały ξ 7→ N (T0 , ξ) dla i = (i) (l) 1, . . . , n, potrafimy wyznaczyć funkcjonały czynników dyskontowych ξ 7→ DF (T0 , Tj , ξ) dla (i) (l) (T0 , Tj ) ∈ K . Istotnie, dla i = 1, . . . , n musi być n o 1 X (i) = ξ (k) T0 N T0 , XT (k) (i) (k) (i) DF (T0 , T0 , ξ) = N (T0 , ξ)EPN 0 dla k > i oraz (i) (i) DF (T0 , T, ξ) = N (T0 , ξ)EPN (n) DF T0 , T, XT (n) n o 0 X (i) = ξ T0 (n) N T0 , XT (n) 0 (n) dla T > T0 . Zatem do opisu modelu M-F na kracie K wystarczy wyznaczyć zależności (i) funkcyjne ξ 7→ N (T0 , ξ) dla i = 1, . . . , n. Wyprowadzimy postać funkcjonału N tak, aby otrzymany model M-F był skalibrowany do rynkowych cen swapcji (lub capletów). Na mocy lematu 4.1 kalibracja modelu do cen standardowych swapcji jest równoważna kalibracji do cen swapcji binarnych zadanych wzorem (4.2). Oznaczmy B̂(t, T ) = B(t, T ) , Nt (i) Pt = mi X (i) ∆j B t, Tj (i) (i) , P̂t = j=1 Pt , Nt i = 1, . . . , n. Dla i = 1, . . . , n mamy K (i) (i) T0 1−B = (i) (i) T0 , Tmi P = (i) 1 (i) NT (i) (i) − B̂ T0 , Tmi 0 P̂ (i) T0 (i) (i) T0 i stąd NT (i) = 0 1 P̂ (i) (i) T0 T0 (i) K (i) (i) (n) T0 , ξ W celu wyznaczenia funkcjonału ξ 7→ N T0 , ξ 1. Z założenia (ii) znamy funkcjonał ξ 7→ N zależności funkcyjne ξ 7→ N (k) T0 , ξ (i) (i) + B̂ T0 , Tmi . (4.5) zastosujemy wsteczną indukcję od n do . Załóżmy, że mamy już wyznaczone dla k = i + 1, . . . , n. Wówczas na mocy założeń (i) oraz (i) (i) (ii) potrafimy wyznaczyć funkcjonały ξ 7→ B̂ T0 , Tj , ξ , j = 1, . . . , mi . Mianowicie, jeśli (i) Tj (k) = T0 dla pewnego k > i, to n o 1 X (i) = ξ , (i) T0 N Tj , XT (i) (i) (i) B̂(T0 , Tj , ξ) = EPN j 43 (4.6) (i) a jeśli Tj (n) > T0 , to (i) (n) (i) B T0 , Tj , XT (n) n o 0 X (i) = ξ .5 T0 (n) N T0 , XT (n) (i) B̂(T0 , Tj , ξ) = EPN 0 Ponadto P̂ (i) (i) T0 = P̂ (i) (XT (i) ), gdzie funkcjonał ξ 7→ P̂ (i) (ξ) = (i) (i) (i) (i) j=1 ∆j B̂ T0 , Tj , ξ jest 0 Pmi wyznaczony na podstawie funkcjonałów ξ 7→ B̂ T0 , Tj , ξ , j = 1, . . . , mi . Teraz wyznaczymy funkcjonał ξ 7→ K (i) (ξ). Weźmy dowolne ξ ∈ R. Oznaczmy przez (i) cenę rynkową i-tej swapcji binarnej o poziomie wykonania K, a przez Ve0 (K) jej cenę arbitrażową (tzn. uzyskaną na podstawie martyngałowego wzoru wyceny). Naturalnie będziemy zakładali, że V0 jest funkcją ciągłą, malejącą względem K oraz (i) V0 (K) (i) (i) (i) V0 (0) = P0 , V0 (+∞) = 0. Mamy (i) Ve0 (K) = N0 EPN P̂ (i) (i) T0 · 11 K (i) −K (i) T0 = N0 EPN P̂ (i) XT (i) · 11 K (i) XT (i) − K 0 . 0 Oznaczmy J (i) (ξ) = N0 EPN P̂ (i) XT (i) · 11 0 (i) XT0 −ξ . Na podstawie rozkładu zmiennej XT (i) możemy obliczyć wartość funkcji J (i) (ξ) dla dowolnego 0 ξ ∈ R. Zauważmy też, że jeśli ten rozkład ma gęstość, to J (i) jest funkcją ciągłą. Ponadto jest ona malejąca. Ponieważ funkcja K (i) (ξ) jest rosnąca, więc (i) Ve0 (i) K (i) (ξ) = J (i) (ξ), czyli potrafimy obliczyć wartości Ve0 K (i) (ξ) bez znajomości funkcjonału K (i) (ξ). Na podstawie cen rynkowych znajdujemy takie K ∗ , że (i) (i) V0 (K ∗ ) = Ve0 K (i) (ξ) = J (i) (ξ) i przyjmujemy K (i) (ξ) = K ∗ (K ∗ jest wyznaczone jednoznacznie na mocy różnowartoś(i) ciowości funkcji V0 ). (i) Korzystając z (4.5) wyznaczamy funkcjonał ξ 7→ N T0 , ξ : (i) 1 N T0 , ξ = P̂ (i) (ξ)K (i) (ξ) (i) (i) + B̂ T0 , Tmi , ξ , co kończy krok indukcyjny. W ten sposób otrzymujemy funkcjonały numéraire w chwilach (1) (n) T0 , . . . , T0 , a następnie funkcjonały czynników dyskontowych na kracie K, zgodnie z uwagą 4.1. (i) 5 (i) W przypadku, gdy dysponujemy założeniem (ii’) zamiast (ii), wyznaczamy B̂(T0 , Tj , ξ) za pomocą wzoru (4.6). 44 Uwaga 4.2. Alternatywnie można było założyć, że funkcjonał ξ 7→ K (i) (ξ) jest malejący. Wówczas J (i) (ξ) definiujemy następująco: (i) J (i) (ξ) = N0 EPN P̂ (i) XT (i) · 11 ξ − XT0 0 (tym razem jest to funkcja rosnąca) i rozumowanie przeprowadzone wyżej dla funkcji rosnących ξ 7→ K (i) (ξ) przenosi się na przypadek funkcji malejących. Przy naturalnym założeniu, (i) że cena rynkowa V0 (K) jest funkcją malejącą względem ceny wykonania K, monotoniczność (i) funkcji K (i) (ξ) = (V0 )−1 (J (i) (ξ)) jest zgodna z obranym założeniem.6 Uwaga 4.3. Przy założeniu, że funkcja K (i) jest rosnąca, mamy J (i) (−∞) = N0 EPN P̂ (i) (i) T0 (i) (i) = P0 = V0 (0), czyli K (i) (−∞) = 0, oraz (i) J (i) (+∞) = 0 = V0 (+∞), czyli K (i) (+∞) = +∞. Analogicznie, przy założeniu, że funkcja K (i) jest malejąca, mamy K (i) (−∞) = +∞ oraz (i) K (+∞) = 0, zatem w obu przypadkach K (i) : R → R+ jest ciągłą bijekcją R na R+ . Zwróćmy uwagę, że monotoniczność funkcjonału stopy rynkowej jest kluczowym założeniem w metodologii opisanej w tym podrozdziale. Można je poczynić, jeśli proces X jest jednowymiarowy. W przypadku wielowymiarowym Hunt i Kennedy proponują za proces kierujący przyjąć jednowymiarowy proces niebędący procesem Markowa, lecz funkcją pewnego wielowymiarowego procesu Markowa, tzn. Xt = f (t, Zt ), gdzie Z jest n-wymiarowym procesem Markowa, a f : R × Rn → R – zob. [HK], s. 363. Odbiega to od definicji 4.1, ale pozwala zastosować wyżej opisaną metodę kalibracji. Częstą praktyką rynkową jest wycena swapcji na podstawie wzoru Blacka. Jednak opisana w tym podrozdziale technika kalibracji nie narzuca sposobu, w jaki obliczane są rynkowe ceny swapcji, zatem można ją zastosować w wielu sytuacjach rynkowych – również wtedy, gdy ceny rynkowe nie są dane wzorem Blacka7 . Jest to duża zaleta modeli Markov-Functional i przewaga nad innymi modelami. 4.2. Modelowanie stóp rynkowych w mierze PTn Modelowanie M-F może być użyte jako alternatywa wobec modeli rynkowych opisanych w rozdziale 3. Przedstawimy najpierw model M-F modelujący stopę LIBOR, zwany modelem LIBOR M-F, a następnie model M-F stopy swapowej (tzw. model swap M-F). W obydwu przypadkach ograniczymy się do wyspecyfikowania modelu na kracie. Ustalmy strukturę czasową 0 < T0 < T1 . . . ¬ Tn i niech L(i) = (Lt (Ti−1 , Ti ))t∈[0,Ti−1 ] dla i = 1, . . . , n. Przyjmujemy obligację zerokuponową zapadalną w Tn jako numéraire: 6 Uwaga 4.2 jest spostrzeżeniem autora pracy. Dotyczy to np. rynku jena japońskiego (zob. [HKP] s. 10), na którym nie jest rozsądne modelowanie stóp procentowych za pomocą procesu lognormalnego (a więc w szczególności modele rynkowe nie mają tam zastosowania). 7 45 Nt = B(t, Tn ) i zakładamy, że istnieje równoważna miara martyngałowa PTn . Ponadto zakładamy, że proces L(n) jest martyngałem o rozkładzie lognormalnym w mierze PTn , tzn. (n) dLt (n) = σn (t)Lt dWtTn , t ∈ [0, Tn−1 ], (4.7) gdzie σn (t) jest funkcją ograniczoną na przedziale [0, Tn−1 ]. Oprócz tego zakładamy, że ceny (i) rynkowe capletów o poziomie wykonania K na stopy LIBOR LTi−1 = L(Ti−1 , Ti ), i = 1, . . . , n, są dane odpowiednimi wzorami Blacka ze zmiennością implikowaną σ̃i (K), tzn.8 (i) (i) (i) Vcpl (K, 0) = ∆i B(0, Ti ) L0 Φ d1 (i) − KΦ d2 , (4.8) gdzie Φ jest dystrybuantą standardowego rozkładu normalnego oraz (i) (i) d1,2 = (i) d1,2 (Ti−1 , K) = ln L0 K ± 12 σ̃i2 (K)Ti−1 √ , σ̃i (K) Ti−1 przy czym, na mocy (4.7), 1 σ̃n2 (K) = σ̃n2 = Z Tn−1 Tn−1 0 σn2 (t)dt. (4.9) Z równania (4.7) wynika, że (n) Lt (n) = L0 exp Z 0 t σn (u)dWuTn − 1 2 Z 0 t (n) σn2 (u)du = L0 exp Xt − 1 2 Z 0 t σn2 (u)du , gdzie proces Xt spełnia równanie stochastyczne dXt = σn (t)dWtTn , X0 = x0 := 0. (4.10) Funkcja σn – jako funkcja stała względem zmiennej przestrzennej – spełnia warunek Lipschitza, a ponieważ jest ograniczona, więc spełnia też warunek liniowego wzrostu. Zatem z twierdzenia 1.16 wynika, że X jest procesem Markowa. Przyjmujemy go jako proces kierujący modelu. Dla dowolnych 0 ¬ s < t, jeśli Xs = ξ, to Z Xt = ξ + s 2 = gdzie σ̄s,t Rt s t σn (u)dWuTn ∼ N (ξ, σ̄s,t ), σn2 (u)du. Zatem gęstość przejścia dla procesu X ma postać: ps,t (ξ, y) = gs,t (y − ξ), 2 . Stąd gdzie gs,t jest gęstością rozkładu normalnego w mierze PTn o średniej 0 i wariancji σ̄s,t dla dowolnej funkcji f mamy Z EPTn (f (Xt )|Xs = ξ) = ∞ −∞ f (y)gs,t (y − ξ)dy. Na mocy rozważań w poprzednim podrozdziale, do określenia modelu M-F na kracie wystarczy wyznaczyć funkcjonały ξ 7→ N (Ti , ξ) dla i = 0, . . . , n. W tym celu zastosujemy metodę z poprzedniego podrozdziału. Założenie (i) (s. 42) jest już spełnione. Ponadto mamy NTn = B(Tn , Tn ) = 1, 8 W odróżnieniu od [HKP] zaprezentowano metodę kalibracji modelu LIBOR M-F (jak również modelu swap M-F) dla zmienności implikowanej σ̃i zależącej od K (niekoniecznie stałej). 46 czyli N (Tn , ξ) ≡ 1. Dalej, B(Tn−1 , Tn ) = 1 1+ 1 = (n) ∆n LTn−1 1+ (n) ∆n L0 exp(XTn−1 − 1 R Tn−1 2 0 σn2 (u)du) , czyli N (Tn−1 , ξ) = 1 (n) ∆n L0 exp(ξ 1+ − 1 R Tn−1 2 0 σn2 (u)du) , a więc spełnione jest założenie (ii). Załóżmy, że mamy już wyznaczone funkcjonały ξ 7→ N (Tk , ξ) dla k = i, . . . , n. Wyznaczymy funkcjonał ξ 7→ N (Ti−1 , ξ). Ponieważ B̂(·, Ti ) jest martyngałem w mierze PTn , więc na mocy faktu 1.1 mamy B̂(Ti−1 , Ti , XTi−1 ) = EPTn (B̂(Ti , Ti , XTi ) | FTi−1 ) = ϕi (XTi−1 ), gdzie 1 XT ϕi (s) = EPTn =s = B(Ti , Tn , XTi ) i−1 Z ∞ Z ∞ 1 1 pTi−1 ,Ti (s, u)du = gTi−1 ,Ti (u − s)du. = −∞ B(Ti , Tn , u) −∞ B(Ti , Tn , u) Dla danego s potrafimy obliczyć ϕi (s) na mocy założenia indukcyjnego. Ustalmy ξ ∈ R. Zgodnie z oznaczeniami z poprzedniego podrozdziału mamy 1 Ti−1 − ξ) = J (i) (ξ) = B(0, Tn )EPTn ∆i B̂(Ti−1 , Ti , XTi−1 ) · 1(X 1 Ti−1 − ξ) = = ∆i B(0, Tn )EPTn ϕi (XTi−1 ) · 1(X Z = ∆i B(0, Tn ) ξ Z ∞ ϕi (s)g0,Ti−1 (s − x0 )ds = ∞ Z ∞ = ∆i B(0, Tn ) ξ −∞ 1 gT ,T (u − s) du g0,Ti−1 (s − x0 ) ds. B(Ti , Tn , u) i−1 i Ze wzoru (4.8) i lematu 4.1 wyznaczamy wzór na cenę rynkową binarnego capleta na stopę (i) LTi−1 o cenie wykonania K (zob. Dodatek): (i) (i) (i) (i) p Vbin (K, 0) = ∆i B(0, Ti ) Φ(d2 ) − L0 g(d1 ) Ti−1 ∂ σ̃i (K) , ∂K gdzie g jest gęstością standardowego rozkładu normalnego. Znajdujemy takie K ∗ , że (i) Vbin (K ∗ , 0) = J (i) (ξ) i przyjmujemy L(i) (ξ) = K ∗ . (4.11) Ostatecznie ze wzoru (4.5), sprowadzającego się do postaci NTi−1 = 1 (i) ∆i B̂(Ti−1 , Ti )LTi−1 47 , + B̂(Ti−1 , Ti ) otrzymujemy N (Ti−1 , ξ) = 1 1 = , (i) ϕi (ξ)(1 + ∆i L(i) (ξ)) B̂(Ti−1 , Ti , ξ)(1 + ∆i L (ξ)) co kończy krok indukcyjny. Otrzymujemy model LIBOR M-F skalibrowany do cen capletów. W przypadku, gdy zmienność σ̃i (K) = σ̃i nie zależy od K, otrzymujemy (i) (i) Vbin (K, 0) = ∆i B(0, Ti )Φ(d2 ) i można wyprowadzić jawny wzór na L(i) (ξ). Istotnie, z równości (i) J (i) (ξ) = ∆i B(0, Ti )Φ d2 (Ti−1 , K ∗ ) dostajemy Φ −1 J (i) (ξ) ∆i B(0, Ti ) (i) L ! = (i) d2 (Ti−1 , K ∗ ) ln( K0∗ ) − 12 σ̃i2 Ti−1 √ , = σ̃i Ti−1 czyli ∗ (i) L (ξ) = K = (i) L0 exp p 1 J (i) (ξ) − σ̃i2 Ti−1 − σ̃i Ti−1 Φ−1 2 ∆i B(0, Ti ) ! . Wówczas " N (Ti−1 , ξ) = ϕi (ξ) 1 + (i) ∆i L0 exp J (i) (ξ) p 1 − σ̃i2 Ti−1 − σ̃i Ti−1 Φ−1 2 ∆i B(0, Ti ) !#−1 . Teraz wyznaczymy model swap M-F. Niech 0 < T0 < . . . < Tn oraz, dla i = 1, . . . , n, = (Kt (Ti−1 , Tn ))t∈[0,Ti−1 ] . Jak w modelu LIBOR M-F, przyjmujemy obligację zerokuponową zapadalną w Tn jako numéraire: Nt = B(t, Tn ) i zakładamy, że istnieje równoważna miara martyngałowa PTn , proces K (n) = L(n) spełnia stochastyczne równanie różniczkowe (i) (4.7) oraz ceny rynkowe opcji na stopy swapowe KTi−1 są dane odpowiednimi wzorami Blacka ze zmiennością implikowaną σ̃i (K), tzn. K (i) (i) (i) (i) (i) Vsw (K, 0) = P0 · K0 Φ d1 (i) gdzie Pt = Pn k=i ∆k B(t, Tk ) (i) − KΦ d2 , (4.12) oraz (i) (i) d1,2 = (i) d1,2 (Ti−1 , K) = ln K0 K ± 21 σ̃i2 (K)Ti−1 √ . σ̃i (K) Ti−1 Warunki (i), (ii) spełniamy tak samo, jak dla modelu LIBOR M-F, tzn. przyjmujemy proces o dynamice (4.10) jako proces kierujący z rodziną gęstości przejścia (ps,t (·, ·)) oraz N (Tn , ξ) ≡ 1, N (Tn−1 , ξ) = 1 1+ (n) ∆n L0 exp ξ− 1 R Tn−1 2 0 . σn2 (u)du Pozostaje wyznaczyć funkcjonały ξ 7→ N (Ti , ξ) dla i = 1, . . . , n − 2. Załóżmy, że funkcjonały ξ 7→ N (Tk , ξ) są już wyznaczone dla k = i, . . . , n. Znajdziemy funkcjonał ξ 7→ N (Ti−1 , ξ). 48 Ponieważ dla k = i, . . . , n proces B̂(·, Tk ) jest martyngałem w mierze PTn , więc na mocy faktu 1.1 mamy dla k = i, . . . , n, B̂(Ti−1 , Tk , XTi−1 ) = EPTn B̂(Tk , Tk , XTk ) FTi−1 = ϕi,k (XTi−1 ), gdzie ! 1 =s XT B(Tk , Tn , XTk ) i−1 ϕi,k (s) = EPTn Z ∞ = −∞ 1 pT ,T (s, u)du. B(Tk , Tn , u) i−1 k Stąd otrzymujemy (i) P̂Ti−1 (s) = n X Z ∆k B̂(Ti−1 , Tk , s) = k=i ∞ n X Z = −∞ k=i ∞ n X −∞ k=i ∆k 1 pT ,T (s, u)du = B(Tk , Tn , u) i−1 k 1 gT ,T (u − s)du. B(Tk , Tn , u) i−1 k ∆k Na mocy założenia indukcyjnego potrafimy wyznaczyć funkcjonały s 7→ B̂(Ti−1 , Tk , s) dla (i) k = i, . . . , n oraz s 7→ P̂Ti−1 (s). Ustalmy ξ ∈ R. Zgodnie z oznaczeniami z poprzedniego podrozdziału mamy (i) J (i) (ξ) = B(0, Tn )EPTn P̂Ti−1 (XTi−1 ) · 1(X 1 Ti−1 − ξ) = Z ∞ ξ Z (i) P̂Ti−1 (s)g0,Ti−1 (s − x0 )ds = = B(0, Tn ) ∞ = B(0, Tn ) ξ ∞ n X ! ∆k gTi−1 ,Tk (u − s) du g0,Ti−1 (s − x0 )ds. −∞ k=i B(Tk , Tn , u) Z Ze wzoru (4.12) i lematu 4.1 wyznaczamy wzór na cenę rynkową i-tej swapcji binarnej (tzn. (i) opcji binarnej na stopę KTi−1 ) o cenie wykonania K (zob. Dodatek): (i) (i) Vbin.sw. (K, 0) = P0 (i) (i) (i) ∂ σ̃i (K) , ∂K p Φ(d2 ) − K0 g(d1 ) Ti−1 gdzie g jest gęstością standardowego rozkładu normalnego. Znajdujemy takie K ∗ , że (i) Vbin.sw. (K ∗ , 0) = J (i) (ξ) i przyjmujemy K (i) (ξ) = K ∗ . Na podstawie wzoru (4.5), sprowadzającego się do postaci NTi−1 = 1 (i) (i) P̂Ti−1 KTi−1 = + B̂(Ti−1 , Tn ) 1 (i) (i) P̂Ti−1 KTi−1 , +1 wyznaczamy funkcjonał N (Ti−1 , ξ) = 1 (i) P̂Ti−1 (ξ)K (i) (ξ) . +1 To kończy krok indukcyjny. Otrzymujemy model swap M-F skalibrowany do cen swapcji. Jeśli zmienność σ̃i (K) = σ̃i nie zależy od K, to otrzymujemy prostszy wzór na cenę i-tej swapcji binarnej: (i) (i) (i) Vbin.sw. (K, 0) = P0 Φ(d2 ) 49 i analogicznie jak w przypadku modelu LIBOR M-F wyznaczamy jawny wzór na funkcjonał ξ 7→ K (i) (ξ): (i) K (ξ) = (i) K0 exp p 1 J (i) (ξ) − σ̃i2 Ti−1 − σ̃i Ti−1 Φ−1 (i) 2 P0 ! . Wówczas " N (Ti−1 , ξ) = p J (i) (ξ) 1 − σ̃i2 Ti−1 − σ̃i Ti−1 Φ−1 (i) 2 P0 (i) (i) P̂Ti−1 (ξ)K0 exp ! #−1 +1 . 4.3. Kalibracja modelu dla parametrycznej postaci funkcjonału N Zaletą techniki kalibracyjnej opisanej w podrozdziałach 4.1 i 4.2 jest to, że otrzymany model M-F jest dokładnie dopasowany do rynkowych cen capletów lub swapcji. Wadą jest możliwość pojawienia się błędów numerycznych podczas implementacji. Mianowicie, wyznaczając funkcjonał ξ 7→ N (Ti , ξ), korzystamy z wyprowadzonych wcześniej funkcjonałów ξ 7→ N (Tk , ξ), i < k ¬ n, co może prowadzić do kumulacji błędów numerycznych podczas implementacji algorytmu, zwłaszcza, gdy n jest duże (np. jeśli chcemy wycenić instrument egzotyczny o terminie zapadalności 50Y zależny od trzymiesięcznych stóp LIBOR, to mamy n = 200 iteracji algorytmu). Co więcej, algorytm wymaga znajomości rynkowych cen capletów lub swapcji o dowolnej cenie wykonania K ∗ ∈ [0, ∞) (wyznaczonych np. za pomocą wzoru Blacka z danym uśmiechem zmienności), natomiast w praktyce dysponujemy nie więcej niż kilkunastoma cenami wykonania, dla których znane są ceny rynkowe. Dlatego też postulat o dokładnym dopasowaniu modelu M-F do cen rynkowych z dowolną ceną wykonania może się okazać zbyt silny. Dlatego przedstawimy alternatywną metodę kalibracji modelu M-F do cen rynkowych. Mianowicie, na początku wybieramy pewną parametryczną postać funkcjonału N , a następnie dobieramy parametry tak, aby otrzymany model najlepiej dopasowywał się do cen rynkowych. Ustalmy strukturę czasową 0 ¬ T0 < . . . < Tn . Jak poprzednio przyjmujemy Nt = B(t, Tn ), zakładamy istnienie równoważnej miary martyngałowej PTn i za proces kierujący przyjmujemy proces X o dynamice dXt = σ(t)dWtTn , X0 = x0 . Pelsser (zob. [Pels] s. 118-120) proponuje następującą parametryzację funkcjonału N : 1 1 2 = 1 + a(t)eb(t)Xt + d(t)e− 2 c(t)(Xt −m(t)) , B(t, Tn ) (4.13) tzn. 1 h N (t, ξ) = B(t, Tn , ξ) = 1 + a(t)eb(t)ξ + d(t)e− 2 c(t)(ξ−m(t)) 2 i−1 , gdzie a, b, c : [0, Tn ] → [0, ∞), d, m : [0, Tn ] → R są funkcjami deterministycznymi. Biorąc d ≡ 0, otrzymujemy postać eksponencjalną 1 = 1 + a(t)eb(t)Xt , B(t, Tn ) (4.14) która jest mile widzianą postacią, gdyż wówczas prosta stopa zwrotu z inwestycji w chwili t w obligację zapadalną w Tn wyraża się wzorem R(t, Tn ) = 1 a(t) eb(t)Xt , Tn − t 50 czyli R(·, Tn ) jest procesem lognormalnym. Dokładniej, dla ustalonego t ∈ (0, Tn ) mamy a(t) a(t) + b(t)Xt ∼ N ln + b(t)x0 , b2 (t) Tn − t Tn − t ln R(t, Tn ) = ln t Z σ 2 (u)du . 0 (n) W szczególności, stopa LIBOR LTn−1 = L(Tn−1 , Tn ) ma rozkład lognormalny. Postać (4.13) obejmuje dodatkowo możliwość lokalnych odchyleń od postaci eksponencjalnej (4.14), zanikających wraz ze wzrostem parametru c(t). Wówczas prosta stopa zwrotu z obligacji zapadalnej w Tn wyraża się wzorem R(t, Tn ) = 1 1 2 a(t)eb(t)Xt + d(t)e− 2 c(t)(Xt −m(t)) . Tn − t Zauważmy jeszcze, że modele afiniczne struktury terminowej, w których krótkoterminowa stopa procentowa jest procesem Markowa, spełniają (4.13) dla d ≡ −1, c ≡ 0, Xt = rt . 2 = T σ 2 (u)du. Z martyngałowego wzoru wyceny, faktu 1.1 i lematu 5.1 Oznaczmy σ̄t,T t otrzymujemy dla dowolnych 0 ¬ t ¬ T ¬ Tn : R B(t, T ) = EPTn B(t, Tn ) 1 b(T )XT − 21 c(T )(XT −m(T ))2 Ft = EP 1 + a(T )e + d(T ) e Xt = Tn B(T, Tn ) 1 2 = 1 + a(T )EPTn eb(T )XT Xt + d(T )EPTn e− 2 c(T )(XT −m(T )) Xt = c(T ) 1 2 (Xt −m(T )) −2 d(T ) 1+c(T )σ̄ 2 t,T +q = ·e 2 1 + c(T )σ̄t,T 1 2 2 +b(T )X (T )σ̄t,T t = 1 + a(T )e 2 b 1 2 = 1 + a(t, T )eb(T )Xt + d(t, T )e− 2 c(t,T )(Xt −m(T )) , gdzie 1 2 2 (T )σ̄t,T a(t, T ) = a(T )e 2 b , c(t, T ) = c(T ) 2 , 1 + c(T )σ̄t,T d(T ) d(t, T ) = q 2 1 + c(T )σ̄t,T . Wobec tego cena w chwili t dowolnej obligacji zapadalnej w T dzielona przez wartość numéraire’a w t ma postać funkcyjną analogiczną do (4.13). Mając wzory analityczne na ceny obligacji, możemy wyprowadzić również wzory analityczne na ceny opcji europejskich na obligacje. Mianowicie, niech P0 (t, T, K) oznacza cenę w chwili 0 europejskiej opcji put wygasającej w chwili t, o cenie wykonania K, na obligację zapadalną w T ∈ [t, Tn ]. Wypłata z tej opcji następuje w chwili t i jest oczywiście równa max(K − B(t, T ), 0), zatem K B(t, T, Xt ) P0 (t, T, K) = EPTn max − ,0 B(0, Tn ) B(t, Tn , Xt ) B(t, Tn , Xt ) Z =K b(t)ξ 1 + a(t)e − 12 c(t)(ξ−m(t))2 + d(t)e {ξ: K>B(t,T,ξ)} − Z b(T )ξ 1 + a(t, T )e = − 1 √ e 2πσ̄0,t − 21 c(t,T )(ξ−m(T ))2 + d(t, T )e {ξ: K>B(t,T,ξ)} 51 (ξ−x0 )2 2σ̄ 2 0,t − 1 √ e 2πσ̄0,t dξ + (ξ−x0 )2 2σ̄ 2 0,t dξ. Z lematu 5.1 zastosowanego do zmiennych losowych X ∼ N (µ, σ 2 ) oraz X − m wynika równość9 Z h 1 1 + aebx + de− 2 c(x−m) 2 ·√ l (x−µ)2 1 e− 2σ2 dx = 2πσ 1 2 2 x − µ h x − (µ + bσ 2 ) + aebµ+ 2 b σ Φ =Φ σ σ x=l ! + c(µ−m)2 x− d −1 +√ e 2 1+cσ2 Φ q 1 + cσ 2 µ+mcσ 2 1+cσ 2 σ2 1+cσ 2 h , (4.15) x=l na podstawie której można wyznaczyć cenę opcji P0 (t, T, K). Mając dane ceny opcji put na obligacje, można łatwo wyprowadzić wzory na ceny capletów. Istotnie, wypłata z capleta na stopę LIBOR L = L(T, S) o nominale N i cenie wykonania K jest równa ∆N (1 + ∆L) − (1 + ∆K) max(L − K, 0) = N max ,0 = 1 + ∆L 1 + ∆L 1 1 1 = N ·(1+∆K) max − , 0 = N ·(1+∆K) max − B(T, S), 0 , 1 + ∆K 1 + ∆L 1 + ∆K czyli jest równa wypłacie z opcji put o nominale N (1 + ∆K) i cenie wykonania obligację zapadalną w S. Stąd cena tego capleta jest równa Vcpl (K, 0) = N · (1 + ∆K) · P0 1 T, S, 1 + ∆K 1 1+∆K na . Mając dane wzory analityczne na ceny capletów, optymalizujemy parametry a, b, c, d, m tak, aby otrzymana cena była najbliższa cenie obserwowanej na rynku. Zwróćmy uwagę, że opisana powyżej metoda kalibracji modelu nie wymaga znajomości rynkowych cen opcji o dowolnej cenie wykonania K, co może stanowić przewagę nad metodą opisaną w podrozdziałach 4.1 i 4.2. 4.4. Modelowanie stopy LIBOR w mierze spot Niech 0 ¬ T0 < . . . < Tn ¬ T ∗ oraz ∆j = Tj − Tj−1 , L(j) = L(Tj−1 , Tj ) dla j = 1, . . . , n. Dla t ∈ [0, Tn ] określamy proces m(t) Nt = B (t, Tm (t)) m(t) Y 1 j=1 B(Tj−1 , Tj ) = B(t, Tm(t) ) Y (1 + ∆j L(j) ), (4.16) j=1 gdzie m(t) = min{k = 0, 1, . . . : Tk t}, przy czym przyjmujemy, że iloczyn po zbiorze pustym jest równy 1. N jest procesem bogactwa portfela skonstruowanego w następujący sposób: w chwili 0 inwestujemy kwotę B(0, T0 ) w obligację zapadalną w T0 , a następnie w chwili Tj−1 reinwestujemy całą aktualnie posiadaną kwotę w obligację zapadalną w Tj dla j = 1, . . . , n. Instrument N , zwany obligacją rolowaną (rolling bond) przyjmujemy za numéraire. 9 Analogiczny wzór w [Pels] zawiera literówkę – lewa strona równości (9.30) ze s. 119 powinna być podzielona przez σ. 52 Definicja 4.4. Równoważną miarę martyngałową stowarzyszoną z obligacją rolowaną zdefiniowaną wzorem (4.16) nazywamy miarą martyngałową spot lub krótko: miarą spot. Zajmiemy się teraz kalibracją modelu LIBOR M-F w mierze spot. Jak w podrozdziale 4.2 ograniczymy się do wyspecyfikowania modelu na kracie. Zakładamy, że proces kierujący X ma w tej mierze dynamikę dXt = σ(t)dWt , X0 = x0 (4.17) dla danej funkcji ograniczonej σ oraz dla każdego j = 1, . . . , n stopa L(j) jest funkcją zmiennej XTj−1 : L(Tj−1 , Tj ) = L(Tj−1 , Tj , XTj−1 ). Zauważmy, że dla i = 0, . . . , n mamy NTi = i Y (1 + ∆j L(j) ), j=1 zatem NTi jest funkcją zmiennych XT0 , XT1 , . . . , XTi−1 , a więc zależną od trajektorii procesu X, w przeciwieństwie do modeli M-F w mierze PTn , w których numéraire w chwili Ti jest funkcją samej tylko zmiennej XTi . W modelu M-F w mierze spot mamy więc spełniony warunek (M2’) definicji (zob. s. 40). Zauważmy jeszcze, że NTi jest zmienną losową FTi−1 mierzalną, podczas gdy w mierze PTn numéraire w chwili Ti jest zmienną losową FTi mierzalną, ale nie FTi−1 -mierzalną. W mierze PTn użyliśmy capleta binarnego do kalibracji modelu LIBOR M-F. Dogodnym instrumentem w mierze spot okazuje się być tzw. binarny caplet in arrears. Przyjmujemy za Friesem i Rottem ([FR], s. 20) następującą definicję. Definicja 4.5. Binarny caplet/floorlet in arrears (digital caplet/floorlet in arrears) jest to binarna opcja kupna/sprzedaży stopy LIBOR L = L(T, S), której wypłata następuje w chwili T i jest równa 11(ω(L − K)) , gdzie ω = 1 dla capleta, ω = −1 dla floorleta. 1 Wypłata ze zwykłego capleta binarnego (z nominałem S−T ) jest równoważna wypłacie 1(L 1 − K) na koniec okresu depozytowego stopy L, natomiast w przypadku binarnego capleta in arrears otrzymujemy tę wypłatę na początku okresu depozytowego. Mamy ∆(L − K)+ 1 ∆ 1(L 1 − K) = · + K+ · 1(L 1 − K), 1 + ∆L ∆ 1 + ∆L gdzie ∆ = S − T jest długością okresu depozytowego stopy L. Zatem caplet binarny in arrears o cenie wykonania K jest równoważny z portfelem złożonym z jednego capleta o cenie 1 wykonania K oraz K + ∆ capletów binarnych o cenie wykonania K. Podobnie 1 ∆(K − L)+ + K+ 1(K 1 − L) = − 1 + ∆L ∆ · ∆ · 1(K 1 − L), 1 + ∆L czyli floorlet binarny in arrears jest równoważny z portfelem złożonym z krótko sprzedanego 1 floorleta oraz długiej pozycji w K + ∆ floorletów binarnych. Skupimy się na kalibracji modelu do cen capletów. Na mocy lematu 4.1 kalibracja modelu do rynkowych cen capletów jest równoważna kalibracji do wyprowadzonych z nich cen 53 binarnych capletów in arrears. Zakładamy, że cena rynkowa capleta na stopę L(i) jest dana wzorem Blacka ze zmiennością implikowaną σ(Ti−1 , K) = σ̃i (K), tzn. (i) (i) (i) Vcpl (K, 0) = ∆i B(0, Ti ) L0 Φ d1 (i) − KΦ d2 . (4.18) Wówczas cena rynkowa i-tego capleta binarnego in arrears jest równa (zob. Dodatek): (i) (i) (i) (i) Vb.a. (K, 0) = ∆i B(0, Ti )L0 Φ(d1 ) + B(0, Ti )Φ(d2 ) + (i) (i) p − (∆i K + 1)B(0, Ti )L0 g(d1 ) Ti−1 ∂ σ̃i (K) . ∂K Tym razem w celu wyznaczenia funkcjonałów ξ 7→ N (Ti , ξ), i = 1, . . . , n, zastosujemy indukcję „w przód”. Zakładamy, że T0 = 0 oraz funkcjonał ξ 7→ L(i) (ξ) jest rosnący dla i = 2, . . . , n. Oczywiście N (T0 ) = 1, L(1) (ξ) ≡ L(0, T1 ) oraz N (T1 , ξ) ≡ 1 + ∆1 L(0, T1 ). Załóżmy, że mamy już wyznaczone funkcjonały ξ 7→ L(j) (ξ) dla j ¬ i − 1. Tym samym znamy funkcjonał (ξ1 , . . . , ξi−2 ) 7→ N (Ti−1 , x0 , ξ1 , . . . , ξi−2 ). Wyznaczymy funkcjonały (i) ξ 7→ L(i) (ξ) oraz (ξ1 , . . . , ξi−1 ) 7→ N (Ti , x0 , ξ1 , . . . , ξi−1 ). Oznaczmy przez Veb.a. (K, t) wartość w chwili t i-tego capleta binarnego in arrears o cenie wykonania K. Dla czytelności zapisu operator wartości oczekiwanej w mierze PN będziemy oznaczać przez E zamiast EPN . Mamy (i) Veb.a. (K, Ti−1 ) = 1(L 1 (i) − K) oraz dla j ¬ i − 2, (i) (i) Veb.a. (K, Tj ) ! Veb.a. (K, Tj+1 ) N (Tj ) (i) = N (Tj ) · E · E Veb.a. (K, Tj+1 ) FTj = FTj = N (Tj+1 ) N (Tj+1 ) 1 e (i) (K, Tj+1 ) FT , · E V = j b.a. 1 + ∆j+1 L(j+1) (Tj , Tj+1 , XTj ) gdyż zmienna losowa N (Tj+1 ) jest FTj -mierzalna. Stąd 1 e (i) (K, T1 ) = E V b.a. 1 + ∆1 L(1) ! 1 1 (i) e = ·E E Vb.a. (K, T2 )FT1 = 1 + ∆1 L(1) 1 + ∆2 L(2) (XT1 ) (i) Veb.a. (K, 0) = 1 1 1 e (i) (K, T3 )FT FT = E E E V 2 1 b.a. 1 + ∆1 L(1) 1 + ∆2 L(2) (XT1 ) 1 + ∆3 L(3) (XT2 ) !! = = ... = 1 1 e (i) (K, Ti−2 )FT = E E . . . E V . . . F T1 i−3 b.a. 1 + ∆1 L(1) 1 + ∆2 L(2) (XT1 ) ! = ! 1 1 (i) = E E . . . E 1 1 L − K F F . . . . F T T T 1 i−2 i−3 1 + ∆1 L(1) 1 + ∆2 L(2) (XT1 ) (4.19) Weźmy dowolne ξ ∈ R i oznaczmy J (i) (ξ) = 1 1 = E E . . . E 1(X 1 − ξ) F F . . . FT1 Ti−1 Ti−2 Ti−3 1 + ∆1 L(1) 1 + ∆2 L(2) (XT1 ) 54 ! . Mając rozkłady zmiennych XT1 , . . . , XTi−1 , potrafimy wyznaczyć J (i) (ξ) na mocy założenia indukcyjnego. Mamy bowiem 1 1 ... (2) (3) R 1 + ∆2 L (x1 ) R 1 + ∆3 L (x2 ) Z Z 1 ... 1(x 1 i−1 − ξ)pTi−2 ,Ti−1 (xi−2 , xi−1 )dxi−1 · (i−1) (x R 1 + ∆i−1 L i−2 ) R · pTi−3 ,Ti−2 (xi−3 , xi−2 )dxi−2 . . . pT1 ,T2 (x1 , x2 )dx2 · p0,T1 (x0 , x1 )dx1 = Z Z ∞ 1 · gTi−2 ,Ti−1 (xi−1 − xi−2 )gTi−3 ,Ti−2 (xi−2 − xi−3 ) . . . = NTi−1 (x0 , . . . , xi−2 ) Ri−2 ξ J (i) (ξ) = 1 1 + ∆1 L(1) Z Z . . . gT1 ,T2 (x2 − x1 )g0,T1 (x1 − x0 )dxi−1 dxi−2 . . . dx2 dx1 . (4.20) Ponieważ funkcjonał ξ 7→ L(i) (ξ) jest rosnący, więc (i) Veb.a. L(i) (ξ), 0 = J (i) (ξ). Na podstawie cen rynkowych znajdujemy takie K ∗ , że (i) Vb.a. (K ∗ , 0) = J (i) (ξ) i przyjmujemy L(i) (ξ) = K ∗ . Następnie wyznaczamy funkcjonał N (Ti ): i Y N (Ti , ξ0 , ξ1 , . . . , ξi−1 ) = 1 + ∆j L(j) (ξj−1 ) . j=1 Funkcjonały czynników dyskontowych DF (Ti , Tj ) = B(Ti , Tj ), 1 ¬ i ¬ j ¬ n, wyznaczamy krok po kroku z zastosowaniem wstecznej indukcji. Weźmy dowolne j ∈ {1, . . . , n}. Przyjmujemy B(Tj , Tj , ξ) ≡ 1, 1 . 1 + ∆j L(j) (ξ) B(Tj−1 , Tj , ξ) = Zauważmy, że B(Tj−1 , Tj ) = 1 1+∆j L(j) (XTj−1 ) jest funkcją zmiennej XTj−1 . Teraz weźmy i ∈ {1, . . . , j − 2} i załóżmy, że B(Ti+1 , Tj ) = B(Ti+1 , Tj , XTi+1 ), gdzie funkcjonał ξ 7→ B(Ti+1 , Tj , ξ) jest dany. Wówczas ! B(Ti+1 , Tj ) NTi B(Ti , Tj ) = NTi E E B(Ti+1 , Tj , XTi+1 ) | FTi = FTi = NTi+1 NTi+1 1 = E(B(Ti+1 , Tj , XTi+1 ) | XTi ) 1 + ∆i+1 L(i+1) (XTi ) jest funkcją zmiennej XTi . Przyjmujemy B(Ti , Tj , ξ) = 1 E B(Ti+1 , Tj , XTi+1 ) | {XTi = ξ} , (i+1) 1 + ∆i+1 L (ξ) co zgodnie z faktem 1.1 i założeniem (4.17) sprowadza się do postaci B(Ti , Tj , ξ) = 1 1 + ∆i+1 L(i+1) (ξ) Z = R Z R B(Ti+1 , Tj , x)pTi ,Ti+1 (ξ, x)dx = B(Ti+1 , Tj , x)gTi ,Ti+1 (x − ξ)dx. 55 (4.21) To kończy krok indukcyjny. Zatem, aby wyznaczyć funkcjonał czynnika dyskontowego między chwilami Ti , Tj , i < j, musimy po kolei wyznaczyć wszystkie funkcjonały pośrednich czynników dyskontowych między chwilami Tk , Tj dla k = j − 1, j − 2, . . . , i + 1. Jeśli jednak z pewnych względów nie potrzebujemy znać wszystkich funkcjonałów, a znamy funkcjonał ξ 7→ B(Tk , Tj , ξ) dla pewnego i < k < j − 1, to do wyznaczenia funkcjonału ξ wystarczy wykonać k − i iteracji, począwszy od k. Zwróćmy uwagę, że dla dowolnych i, j, B(Ti , Tj ) jest funkcją samej tylko zmiennej XTi , czyli spełnione jest założenie (M3) na kracie {(Ti , Tj ) : 0 ¬ i ¬ j ¬ n}. Opisana w tym podrozdziale metoda kalibracji ma zastosowanie również w przypadku, gdy ceny rynkowe capletów nie są wyspecyfikowane za pomocą wzoru Blacka, a także w przypadku, gdy proces kierujący ma inną dynamikę niż (4.17) – wzory (4.20) i (4.21) pozostaną prawdziwe przy odpowiednio zmienionych gęstościach przejścia. Analogicznie do wzoru (4.19) można wyprowadzić wzór na cenę dowolnego instrumentu egzotycznego wypłacającego w chwili Ti wartość VTi (L(1) , . . . , L(i+1) ) zależną od stóp LIBOR L(1) , . . . , L(i+1) : " 1 1 1 V0 = E ... E (1) (2) 1 + ∆1 L 1 + ∆2 L (XT1 ) 1 + ∆3 L(3) (XT2 ) 1 ...E 1 + ∆i−1 · E VTi L(i−1) (X 1 Ti−2 ) E 1 + ∆i L(i) (X Ti−1 ) · (1) (i+1) L (X0 ), . . . , L (XTi ) FTi−1 FTi−2 FTi−3 . . . FT1 !# = (4.22) VTi L(1) (x0 ), . . . , L(i+1) (xi ) ... gTi−1 ,Ti (xi − xi−1 )dxi · = N (Ti , x0 , . . . , xi−1 ) R R · gTi−2 ,Ti−1 (xi−1 − xi−2 )dxi−1 · . . . · g0,T1 (x1 − x0 )dx1 . Z Z 4.5. Modelowanie ceny aktywa metodą Markov-Functional Modele Markov-Functional zostały wymyślone na potrzeby modelowania stóp rynkowych. Jednak ideę Markov-Functional można z powodzeniem zastosować do modelowania wielu innych obserwowanych na rynku procesów stochastycznych, np. cen akcji, towarów, czy kursów wymiany walut. To podejście zostało zaproponowane przez Friesa (2006) (zob. [F1], par. 27.2 i [F2]). Nowatorskim pomysłem był wybór samego modelowanego aktywa za numéraire, w odróżnieniu od standardowych modeli traktujących rachunek bankowy jako numéraire. Opiszemy teraz model M-F modelujący cenę aktywa. Niech Q oznacza równoważną miarę martyngałową stowarzyszoną z aktywem S. Jak poprzednio zakładamy, że proces kierujący X ma dynamikę dXt = σ(t)dWtQ , X0 = x0 , (4.23) gdzie σ jest funkcją deterministyczną. Ponadto, zgodnie z (M2) zakładamy, że istnieje funkcjonał (t, ξ) 7→ S(t, ξ) taki, że proces cen aktywa S spełnia St (ω) = S(t, Xt (ω)). Z martyngałowego wzoru wyceny mamy również B(t, T ) = B(t, T, Xt ), 56 gdzie B(t, T, ξ) = S(t, ξ) · EQ 1 {Xt = ξ} . S(T, XT ) (4.24) Przykładem modelu M-F aktywa jest klasyczny model Blacka-Scholesa. Twierdzenie 4.1. Klasyczny model Blacka-Scholesa, w którym spełnione są równania dSt = rSt dt + σBS St dWt∗ , Bt = ert , (4.25) jest modelem M-F. Jeśli za proces kierujący przyjmiemy proces (4.23) ze stałym współczynnikiem dyfuzji σ(t) = σ > 0 oraz x0 = 0, to funkcjonały aktywa i obligacji będą miały postać 1 2 σBS S(t, ξ) = S0 exp rt + σBS t+ ξ , 2 σ (4.26) B(t, T, ξ) = e−r(T −t) . (4.27) Dowód. Na mocy twierdzenia 2.2 pochodna Radona-Nikodýma wiążąca miary Q i P∗ jest dana wzorem St St e−rt dQ %t = = = dP∗ Ft S0 Bt S0 i ze wzoru na całkowanie przez części mamy d%t = 1 −rt 1 −rt e (dSt − rSt dt) = e σBS St dWt∗ = σBS %t dWt∗ . S0 S0 Z twierdzenia Girsanowa otrzymujemy dWtQ = dWt∗ − σBS dt. Równanie (4.25) przyjmuje w mierze Q postać 2 dSt = rSt dt + σBS St (dWtQ + σBS dt) = (r + σBS )St dt + σBS St dWtQ i ze stwierdzenia 1.4 dostajemy St = S0 exp σBS WtQ 1 2 σBS 1 2 t = S0 exp rt + σBS t+ · Xt , + r + σBS 2 2 σ gdyż, jak przyjęliśmy, Z Xt = x0 + 0 t σdWuQ = σWtQ . Zatem funkcjonał aktywa S jest określony wzorem (4.26). Dalej, ze wzoru martyngałowego wyceny i lematu 5.1 otrzymujemy, na mocy niezależności przyrostów procesu Wienera WTQ − WtQ od σ-ciała Ft , St 1 2 Ft = EQ exp −σBS (WTQ − WtQ ) + (r + σBS )(t − T ) = ST 2 1 2 1 2 = exp (r + σBS )(t − T ) + σBS (T − t) = e−r(T −t) 2 2 B(t, T ) = EQ i stąd mamy wzór (4.27). W prosty sposób można przeprowadzić rozumowanie odwrotne. 57 Twierdzenie 4.2. Rozpatrzmy model M-F aktywa S określony przez proces kierujący Xt = σWtQ i funkcjonał (4.26). Wówczas jest to model Blacka-Scholesa spełniający (4.25). Ponadto zachodzi (4.27). Uwaga. W powyżej rozpatrywanym modelu Blacka-Scholesa za proces kierujący można przyjąć dowolny proces postaci Xt = x0 + µt + σWtQ . Wówczas zmieni się tylko funkcjonał S. Mianowicie, będziemy mieli 1 2 σBS σBS r + σBS − µ t+ (ξ − x0 ) . 2 σ σ S(t, ξ) = S0 exp Model Markov-Functional aktywa można skalibrować do cen opcji europejskich o dowolnej cenie wykonania K i terminie wygaśnięcia T (a więc do całej płaszczyzny zmienności σ(T, K)). W tym celu załóżmy, jak zwykle, że funkcjonał (t, ξ) 7→ S(t, ξ) jest rosnący względem ξ i rozpatrzmy binarną opcję call typu Asset-or-Nothing, tj. opcję o wypłacie AoN VT,K (T ) = ST · 1(S 1 T − K) następującej w chwili T . Mamy AoN VT,K (T ) = (ST − K)+ + K · 1(S 1 T − K), czyli ta opcja jest w sensie wyceny równoważna z portfelem złożonym z waniliowej opcji call i K binarnych opcji call typu Cash-or-Nothing (o tej samej cenie wykonania K i terminie wygaśnięcia T ). call (·), V CoN (·), V AoN (·) procesy wartości waniliowej opcji Oznaczmy odpowiednio przez VT,K T,K T,K call, opcji Cash-or-Nothing (typu call) i opcji Asset-or-Nothing (typu call) o cenie wykonania K i terminie wygaśnięcia T . Analogicznie do dowodu lematu 4.1 pokazujemy, że ∂ call V (0). (4.28) ∂K T,K Zatem kalibracja modelu do rynkowych cen opcji waniliowych jest równoważna kalibracji do wyprowadzonych z nich cen opcji typu Asset-or-Nothing. Zakładamy, że ceny rynkowe opcji waniliowych są dane wzorem Blacka-Scholesa z płaszczyzną zmienności implikowanej σ̃BS (T, K), tzn. AoN call (0) = VT,K (0) − K VT,K call VT,K (0) = S0 Φ(d1 ) − e−rT KΦ(d2 ), gdzie d1,2 = d1,2 (T, K) = 2 (T, K)T ln SK0 + rT ± 21 σ̃BS √ . σ̃BS (T, K) T Analogicznie jak w przypadku capletów binarnych, z równości (4.28) wyprowadzamy wzór na cenę rynkową opcji Asset-or-Nothing:10 √ ∂ σ̃BS (T, K) AoN −rT −rT VT,K (0) = S0 Φ(d1 ) − e KΦ(d2 ) + K e Φ(d2 ) − S0 T g(d2 ) · = ∂K √ ∂ σ̃BS (T, K) . = S0 Φ(d1 ) − KS0 T g(d2 ) ∂K 10 Wzór w [F1] s. 382 i [F2] s. 5 jest niepoprawny. 58 Natomiast cena arbitrażowa tej opcji jest równa AoN VeT,K (0) = S0 EQ ST1(S 1 T − K) ST = S0 EQ [1 1(S(T, XT ) − K)] . Ustalmy T > 0, ξ ∈ R i niech J(T, ξ) = S0 EQ1(X 1 T − ξ) = S0 Q(XT > ξ) = S0 Φ qR x0 − ξ T 0 σ 2 (u)du . Mając dane ceny rynkowe, znajdujemy takie K ∗ , że AoN VT,K ∗ (0) = J(T, ξ) (4.29) i przyjmujemy S(T, ξ) = K ∗ . AoN (0) = V AoN (0) i Z założenia, że funkcjonał S jest rosnący względem ξ wynika, że VeT,K T,K otrzymujemy model Markov-Functional dla aktywa S skalibrowany do cen rynkowych. Uwaga. Jeśli zmienność implikowana σ̃BS nie zależy od K, σ̃BS (T, K) = σ̃BS (T ), to można wyprowadzić wzór jawny na funkcjonał ξ 7→ S(T, ξ). Mianowicie, z równości (4.29) otrzymujemy x0 − ξ d1 (T, K ∗ ) = qR , T 2 σ (u)du 0 a stąd 1 2 σ̃BS (T ) S(T, ξ) = K = S0 exp rT + σ̃BS (T ) · T + (ξ − x0 ) , 2 σ̃(T ) ∗ gdzie σ̃ 2 (t) = (4.30) 1 Rt 2 11 t 0 σ (u)du. Uwaga. Z rynkowych cen opcji europejskich danych dla wszystkich K > 0 wynikają w sposób jednoznaczny ceny obligacji. Istotnie, mamy K→0+ CoN VT,K (T ) = 1(S 1 T − K) −−−−→ 1 = B(T, T ), a z założenia o braku arbitrażu wynika, że dla t < T zachodzi CoN (t) = − lim B(t, T ) = lim VT,K K→0+ K→0+ ∂ call V (t). ∂K T,K Zatem w modelu M-F musi być CoN B(t, T, ξ) = lim VT,K (t, ξ), K→0+ (4.31) CoN (t, ξ) jest funkcjonałem wartości opcji Cash-or-Nothing w tym modelu. gdzie (t, ξ) 7→ VT,K Rozkład procesu kierującego trzeba tak dobrać, aby równości (4.24) i (4.31) były zgodne ze sobą. W przypadku, gdy ceny rynkowe opcji są dane wzorem Blacka-Scholesa ze strukturą terminową zmienności implikowanej σ̃BS (T ), tzn. call VT,K (t) = St Φ(d1 ) − Ke−r(T −t) Φ(d2 ), 11 Jest to spostrzeżenie autora pracy. 59 d1,2 2 (T ) (T − t) ln SKt + r ± 12 σ̃BS √ = , σ̃BS (T ) T − t otrzymujemy CoN VT,K (t) = e−r(T −t) Φ(d2 ) oraz B(t, T ) = e−r(T −t) Φ( lim d2 ) = e−r(T −t) . K→0+ Pokażemy, jak dopasować model M-F do powyższych cen obligacji. Załóżmy teraz, że x0 = 0 oraz σ̃BS (T, K) = σ̃BS (T ) dla T > 0. Ze wzoru (4.30) i lematu 5.1 dostajemy dla t < T, " St 1 2 2 Ft = EQ exp r(t − T ) + σ̃BS (t) · t − σ̃BS (T ) · T + ST 2 B(t, T ) = EQ σ̃BS (t) σ̃BS (T ) + Xt + Xt − σ̃(t) σ̃(T ) T Z t ! # σ(u)dWuQ Ft = " 1 σ̃ 2 (T ) 2 2 = exp − r(T − t) + σ̃BS (t) · t − σ̃BS (T ) · T + BS 2 σ̃ 2 (T ) − Xt " σ̃BS (T ) σ̃BS (t) − σ̃(T ) σ̃(t) Z ! T 2 σ (u)du + t # = σ̃ 2 (t) 1 2 2 σ̃BS (T ) · 2 t − σ̃BS (t)t − = exp −r(T − t) − 2 σ̃ (T ) # σ̃BS (T ) σ̃BS (t) − Xt . σ̃(T ) σ̃(t) Jeśli wybierzemy σ takie, że σ̃ ≡ σ̃BS , to B(t, T ) = e−r(T −t) i otrzymany model M-F jest wolny od arbitrażu. Z powyższych rozważań wynika Wniosek 4.1. Rozpatrzmy model M-F z procesem kierującym Xt = nałami Rt 0 σ(u)dWu i funkcjo- 1 S(t, ξ) = S0 exp rt + σ̃ 2 (t) · t + ξ , 2 −r(T −t) B(t, T, ξ) = e . Wówczas jest to model Blacka-Scholesa o dynamice dSt = rSt dt + σ(t)St dWt∗ , Bt = ert . Dowód wynika natychmiast z faktu, że zmienność implikowana w powyższym modelu Blacka-Scholesa spełnia 1 t Z σ̃BS (t) = t 2 σ (u)du 1/2 = σ̃(t). 0 Nie trzeba jednak poświęcać parametru σ, żeby dopasować model do cen obligacji. Zamiast 60 tego można wprowadzić dryf do procesu kierującego X.12 W tym celu rozważamy dyskretyzację czasu 0 = t0 < t1 < t2 < . . . < tn = T ∗ i zdyskretyzowany proces kierujący taki, że dla i = 1, . . . , n, Xti+1 = Xti + αi Xti (ti+1 − ti ) + σi (WtQi+1 − WtQi ), X0 = 0.13 Jest to dyskretna wersja procesu o dynamice dXt = α(t)Xt dt + σ(t)dWtQ , X0 = 0. Ponieważ dla i = 1, . . . , n zmienne losowe Xti , WtQi+1 − WtQi są niezależne oraz X0 = 0, więc z zasady indukcji wynika, że zmienna Xti ma rozkład normalny o średniej 0 i wariancji γi2 ti , gdzie 2 γi+1 ti+1 = (1 + αi (ti+1 − ti ))2 γi2 ti + σi2 (ti+1 − ti ). Stąd ξ Q(Xti > ξ) = Φ − √ γi ti i ze wzoru (4.29) wyprowadzamy postać funkcjonału ξ 7→ S(ti , ξ): 1 2 σ̃BS (ti ) (ti ) · ti + ξ . S(ti , ξ) = S0 exp rti + σ̃BS 2 γi Zatem B(ti , ti+1 , ξ) = EQ Sti Xt = ξ Sti+1 i ! 1 2 1 2 (ti )ti − σ̃BS (ti+1 )ti+1 + = exp r(ti − ti+1 ) + σ̃BS 2 2 σ̃BS (ti ) σ̃BS (ti+1 ) ξ · EQ − · Xti+1 Xti = ξ = γi γi+1 1 2 σ̃BS (ti ) 1 2 ξ · = exp r(ti − ti+1 ) + σ̃BS (ti )ti − σ̃BS (ti+1 )ti+1 + 2 2 γi + ! 2 (t σ̃BS (ti+1 ) 1 σ̃BS i+1 ) 2 · exp − σi (ti+1 − ti ) ξ(1 + αi (ti+1 − ti )) + 2 γi+1 2 γi+1 " = exp 1 2 σ 2 (ti+1 − ti ) − r(ti+1 − ti ) − σ̃BS (ti+1 ) ti+1 − i 2 2 γi+1 ! # − 2 σ̃BS (ti ) · ti + ! σ̃BS (ti+1 ) σ̃BS (ti ) ξ − (1 + αi (ti+1 − ti )) − γi+1 γi = " = exp = # 1 2 ti γ 2 2 − r(ti+1 − ti ) − (ti ) · ti + σ̃BS (ti+1 ) 2 i (1 + αi (ti+1 − ti ))2 − σ̃BS 2 γi+1 ! σ̃BS (ti ) σ̃BS (ti+1 ) − (1 + αi (ti+1 − ti )) − ξ . γi+1 γi Kładąc αi takie, że σ̃BS (ti+1 ) σ̃BS (ti ) (1 + αi (ti+1 − ti )) − = 0, γi+1 γi otrzymujemy B(ti , ti+1 , ξ) = e−r(ti+1 −ti ) . 12 Wówczas σ zostanie wolnym parametrem, którego można użyć do kalibracji tzw. zmienności forward - zob. [F1], s. 388-389. 13 Zaprezentowano poprawione obliczenia względem [F1], s. 387-388 i [F2], s. 9. 61 4.6. Wybór zmienności procesu kierującego W omówionym dotąd modelu M-F zmienność σ procesu kierującego X cały czas pozostaje wolnym parametrem, za pomocą którego można kontrolować autokorelację stóp procentowych. Rozpatrzmy najpierw uogólniony model Vasička ze stałym parametrem powrotu do średniej a i stałym współczynnikiem dyfuzji σv , tzn. drt = (θ(t) − art ) dt + σv dWt∗ . Na mocy wzoru (3.14) mamy (n) Lt (n) = Yt − ∆−1 n , gdzie (n) dYt = e−aTn−1 − e−aTn (n) σv eat Yt dWtTn . a (n) Zauważmy, że współczynnik dyfuzji w powyższym równaniu jest postaci σ̂ · eat · Yt , gdzie σ̂ jest stałą. Dlatego też w zastosowaniach często przyjmuje się, że zmienność σn stopy LIBOR w równaniu (4.7) definiująca proces kierujący X (por. (4.10)) ma postać σn (t) = σeat dla pewnego σ > 0 i a ∈ R. Okazuje się, że z tak określonym procesem kierującym model LIBOR M-F w mierze PTn jest zgodny z uogólnionym modelem Vasička na kracie, co precyzuje poniższe twierdzenie. Twierdzenie 4.3. Rozważmy model LIBOR M-F w mierze PTn , w którym proces kierujący X ma dynamikę (4.32) dXt = σeat dWtTn , X0 = 0, dla pewnego a ∈ R i σ > 0 oraz funkcjonały ξ → L(i) (ξ) są rosnące. Załóżmy, że ten model jest skalibrowany do cen capletów pochodzących z uogólnionego modelu Vasička zadanego przez równanie drt = (θ(t) − art ) dt + σdWt∗ . (4.33) Wówczas oba modele są ze sobą zgodne na kracie K = {(Ti , Tj ) : 0 ¬ i ¬ j ¬ n}, tzn. czynniki dyskontowe B(Ti , Tj ), 0 ¬ i ¬ j ¬ n, są takie same w obu modelach. Dowód. Na mocy lematu 4.1 kalibracja modelu M-F do cen capletów jest równoważna kalibracji do wyprowadzonych z nich cen capletów binarnych. Z martyngałowego wzoru wyceny wynika, że w uogólnionym modelu Vasička cena i-tego capleta binarnego, tj. capleta na stopę (i) LTi−1 = L(Ti−1 , Ti ), o cenie wykonania K jest równa (i) (i) Vbin (K, 0) = B(0, Ti )EPTi Vbin (K, Ti−1 ) B(Ti−1 , Ti ) ! (i) = B(0, Ti )EPTi ∆i 11 LTi−1 − K = (i) = ∆i B(0, Ti )PTi LTi−1 > K . (i) (i) Ze wzoru (3.14) wynika, że proces Yt := Lt + ∆−1 spełnia stochastyczne równanie i różniczkowe: (i) (i) dYt = σi (t)Yt dWtTi , gdzie σi (t) = σeat e−aTi−1 − e−aTi . a 62 Stąd (i) Yt = (i) Y0 exp t Z 0 σi (s)dWsTi 1 − 2 t Z 0 σi2 (s)ds , zatem (i) Z (i) ln YTi−1 = ln Y0 + Ti−1 0 σi (s)dWsTi − 1 2 Z Ti−1 0 1 (i) σi2 (s)ds ∼ N ln Y0 − Σ2i , Σ2i , 2 gdzie Σ2i = = Ti−1 Z 0 σi2 (s)ds = e−aTi−1 − e−aTi a e−aTi−1 − e−aTi a !2 Z Ti−1 · σ 2 e2as ds = 0 (4.34) !2 · Var(XTi−1 ). Zatem cena i-tego capleta binarnego w uogólnionym modelu Vasička jest równa (i) (i) Vbin (K, 0) = ∆i B(0, Ti )PTi ln YTi−1 > ln K + ∆−1 i = ∆i B(0, Ti )Φ(d2 ), gdzie (i) d2 = ln Y0 − 12 Σ2i − ln K + ∆−1 i ln = Σi (i) L0 +∆−1 i K+∆−1 i Σi 1 − Σi . 2 Aby określić model M-F w mierze PTn na kracie K, skalibrowany do podanych wyżej cen, wystarczy na mocy wzoru (4.1) zdefiniować funkcjonały od numéraire’a B(Ti , Tn , XTi ) dla i = 0, . . . , n. Zatem, aby wykazać, że rozpatrywane modele M-F i Vasička zgadzają się ze sobą na kracie K, wystarczy pokazać, że w obu modelach czynniki dyskontowe B(Ti , Tn ), i = 0, . . . , n, są takie same. W uogólnionym modelu Vasička zgodnie ze wzorem (3.12) i (4.32) zachodzi B(0, Tn ) 1 B(Ti , Tn ) = B(Ti , Tn , XTi ) = exp −ci XTi + c2i Var(XTi ) , B(0, Ti ) 2 (4.35) gdzie ci = e−aTi − e−aTn , a i = 0, . . . , n. Pozostaje wykazać, że czynniki dyskontowe B(Ti , Tn ), i = 1, . . . , n, w skalibrowanym modelu M-F również spełniają (4.35). W tym celu użyjemy techniki kalibracyjnej z podrozdziału 4.2. Mamy B(Tn , Tn , ξ) ≡ 1. Ponadto, skoro model LIBOR M-F jest skalibrowany do cen (i) capletów (tzn. opcji na stopy LTi−1 ) pochodzących z uogólnionego modelu Vasička, to stopy (i) LTi−1 , a więc i czynniki dyskontowe B(Ti−1 , Ti ), muszą się zgadzać w obu modelach (por. (4.11)). W szczególności, w modelu M-F mamy B(0, Tn ) 1 B(Tn−1 , Tn , ξ) = exp −cn−1 ξ + c2n−1 Var(XTn−1 ) . B(0, Tn−1 ) 2 Załóżmy, że funkcjonały ξ 7→ B(Tk , Tn , ξ) spełniają (4.35) dla k = i, . . . , n. Wyznaczymy funkcjonał ξ 7→ B(Ti−1 , Tn , ξ). 63 Na mocy martyngałowego wzoru wyceny, lematu 5.1, faktu 1.1 i założenia indukcyjnego mamy B(Ti−1 , Ti ) = EPTn B(Ti−1 , Tn ) = EPTn 1 FT B(Ti , Tn , XTi ) i−1 B(0, Ti ) exp ci XTi − B(0, Tn ) B(0, Ti ) 1 = exp ci XTi−1 + c2i B(0, Tn ) 2 = 1 2 ci Var(XTi ) XTi−1 2 Ti Z 2 2au σ e Ti−1 1 du − c2i 2 = Z Ti (4.36) ! 2 2au σ e du = 0 B(0, Ti ) 1 = exp ci XTi−1 − c2i Var(XTi−1 ) , B(0, Tn ) 2 gdyż zmienna XTi pod warunkiem zdarzenia {XTi−1 = ξ} ma rozkład N (ξ, Ustalmy ξ ∈ R i oznaczmy R Ti Ti−1 σ 2 e2au du). ! ∆i B(Ti−1 , Ti , XTi−1 ) 1(X 1 Ti−1 − ξ) = J (i) (ξ) : = B(0, Tn )EPTn B(Ti−1 , Tn , XTi−1 ) 1 = ∆i B(0, Ti ) exp − c2i Var(XTi−1 ) EPTn exp(ci XTi−1 ) · 11(ξ,∞) (XTi−1 ) = 2 ci Var(XTi−1 ) − ξ = ∆i B(0, Ti )Φ q Var(XTi−1 ) , gdzie ostatnia równość wynika z lematu 5.1. Zgodnie z założeniem, że funkcja ξ 7→ L(i) (ξ) jest rosnąca, mamy L(i) (ξ) = K ∗ , gdzie K ∗ jest rozwiązaniem równania (i) J (i) (ξ) = Vbin (K ∗ , 0), które jest równoważne równaniu ci Var(XTi−1 ) − ξ q ln = (i) L0 +∆−1 i K ∗ +∆−1 i Σi Var(XTi−1 ) 1 − Σi . 2 Stąd (i) c Var(XTi−1 ) − ξ B(0, Ti−1 ) 1 L0 + ∆−1 1 1 i Σ2 + i q Σi · = · = exp i −1 B(0, Ti ) 1 + ∆i L(i) (ξ) 2 1 + ∆i L(i) (ξ) ∆i Var(XTi−1 ) 64 i ostatecznie z (4.36) i (4.34) mamy B(Ti−1 , Tn , ξ) = B(Ti−1 , Tn , ξ) 1 · = B(Ti−1 , Ti , ξ) 1 + ∆i L(i) (ξ) ci Var(XTi−1 ) − ξ B(0, Tn ) B(0, Ti ) 1 1 = = · exp −ci ξ + c2i Var(XTi−1 ) + Σ2i + Σi q B(0, Ti ) B(0, Ti−1 ) 2 2 Var(XT ) i−1 = B(0, Tn ) · B(0, Ti−1 ) e−aTi−1 − e−aTi · exp − ci + a ! 1 2Σi ci Σ2i = ξ + Var(XTi−1 ) c2i + q + 2 Var(X ) T i−1 Var(XTi−1 ) B(0, Tn ) e−aTi−1 − e−aTn = exp − B(0, Ti−1 ) a ! 1 e−aTi−1 − e−aTi ξ + Var(XTi−1 ) ci + 2 a !2 = B(0, Tn ) 1 = exp −ci−1 ξ + c2i−1 Var(XTi−1 ) . B(0, Ti−1 ) 2 Zatem czynnik dyskontowy B(Ti−1 , Tn ) spełnia równanie (4.35). Zauważmy jeszcze, że autokorelacja procesu kierującego Xt = 0t σeas dWsTn jest taka sama, jak autokorelacja krótkoterminowej stopy procentowej w uogólnionym modelu Vasička (4.33), tzn. s e2at − 1 corr(Xt , Xs ) = dla 0 < t ¬ s e2as − 1 R (por. obliczenia przed (3.6)), czyli w szczególności dla ustalonych 0 < t < s jest ona malejącą funkcją parametru a > 0. Ponieważ stopy procentowe w modelu M-F są nieliniowymi funkcjami procesu X, ich autokorelacja nie musi mieć powyższej postaci. Jednak ważny jest sam fakt, że, dobierając odpowiednią postać procesu kierujacego, jesteśmy w stanie kontrolować autokorelację stóp procentowych, dzięki czemu możemy dopasować model do cen instrumentów egzotycznych. 65 Rozdział 5 Dodatek Lemat 5.1. Załóżmy, że X jest zmienną losową o rozkładzie normalnym ze średnią µ i wariancją σ 2 . Wówczas dla dowolnych l ∈ R ∪ {−∞}, h ∈ R ∪ {∞}, α ∈ R, c > 0 zachodzą równości: 1 (a) E eαX11(l,h) (X) = eαµ+ 2 α − 12 cX 2 (b) E e 11(l,h) (X) = 2 σ2 cµ 2 −1 e 2 1+cσ √ 1+cσ 2 Φ h−(µ+ασ 2 ) σ h− Φ q µ 1+cσ 2 σ2 1+cσ 2 −Φ l−(µ+ασ 2 ) σ l− − Φ q µ 1+cσ 2 σ2 1+cσ 2 , .1 Dowód. a) Mamy E eαX11(l,h) (X) = Z h l Z h = l Z = l (x−µ)2 1 eαx− 2σ2 dx = 2πσ 1 2 2 2 4 2 4 2 1 √ e− 2σ2 ((x−µ) −2σ α(x−µ)−2σ αµ+σ α −σ α ) dx = 2πσ 2 1 1 2 2 2 1 √ e− 2σ2 ((x−µ)−σ α) +αµ+ 2 α σ dx = 2πσ √ h αµ+ 12 α2 σ 2 h Z =e l αµ+ 12 α2 σ 2 =e αµ+ 12 α2 σ 2 =e Z −1 1 √ e 2 2πσ h−(µ+σ 2 α) σ l−(µ+σ 2 α) σ x−(µ+σ 2 α) σ 2 dx = 1 2 1 √ e− 2 y dy = 2π h − (µ + ασ 2 ) Φ σ ! l − (µ + ασ 2 ) −Φ σ !! . b) Mamy 1 Dowód punktu (b) jest wynikiem własnym autora; w dostępnej literaturze nie znaleziono rachunku uzasadniającego tę równość. 67 1 2 E e− 2 cX 11(l,h) (X) = h Z √ l h Z = l h Z = l 2 1 2 (x−µ) 1 e− 2 cx − 2σ2 = 2πσ − 12 2σ 1 √ e 2πσ − 1 √ e 2πσ cµ2 1+cσ 2 1 2σ 2 √ l x2 (1+cσ 2 )−2x h Z √ √ x 1+cσ 2 − √ h 1 2 2 2 1 e− 2σ2 (cx σ +(x−µ) ) dx = 2πσ 1+cσ 2 · √ 2 µ 1+cσ 2 √ 2 µ 1+cσ 2 2 cσ 2 1+cσ 2 +µ + 2 µ2 − µ 2 +µ2 1+cσ 2 1+cσ dx = dx = 2 − 1 x 1+cσ − √µ 1 σ σ 1+cσ 2 √ dx = =e e 2 2πσ l 2 ! h √ − 12 cµ 2 1+cσ e x 1 + cσ 2 µ =√ ·Φ − √ = 2 2 σ 1 + cσ σ 1 + cσ l − 12 − 21 e =√ Z cµ2 1+cσ 2 1 + cσ 2 Φ µ 1+cσ 2 q σ2 1+cσ 2 x− h . l Lemat 5.2. Rozważmy caplet na stopę LIBOR L(T1 , T2 ) z ceną wykonania K i załóżmy, że jego cena jest zadana wzorem Blacka ze zmiennością σ(T1 , K), tzn. Vcpl (K, 0) = ∆B(0, T2 )(L0 Φ(d1 ) − KΦ(d2 )), gdzie ∆ = T2 − T1 , L0 = L0 (T1 , T2 ), d1,2 = d1,2 (T1 , K) = ln LK0 ± 21 σ 2 (T1 , K)T1 √ . σ(T1 , K) T1 Wówczas cena odpowiadającego mu capleta binarnego jest dana wzorem:2 ∂σ Vbin (K, 0) = ∆B(0, T2 ) Φ(d2 ) − L0 g(d1 ) T1 (T1 , K) , ∂K p a cena odpowiedniego capleta binarnego in arrears jest równa p Vb.a. (K, 0) = ∆B(0, T2 )L0 Φ(d1 ) + B(0, T2 )Φ(d2 ) − (∆K + 1)B(0, T2 )L0 g(d1 ) T1 ∂σ (T1 , K). ∂K Dowód. Mamy p 2 1 1 = g(d2 ) = √ exp − d1 − σ(T1 , K) T1 2 2π p 1 L0 L0 1 1 = √ exp − d21 exp d1 σ(T1 , K) T1 − σ 2 (T1 , K)T1 = g(d1 ) exp ln = g(d1 ) 2 2 K K 2π 2 Formuły na ceny binarnych capletów oraz binarnych capletów in arrears zawarte w [FR] są błędne. 68 i z lematu 4.1 otrzymujemy wzór na cenę capleta binarnego:3 Vbin (K, 0) = − ∂ Vcpl (K, 0) = ∂K ∂ ∂ = ∆B(0, T2 ) Φ(d2 ) + K Φ(d2 ) − L0 Φ(d1 ) = ∂K ∂K ∂ ∂ (d2 ) − L0 · g(d1 ) (d1 ) = = ∆B(0, T2 ) Φ(d2 ) + Kg(d2 ) ∂K ∂K ∂ = ∆B(0, T2 ) Φ(d2 ) + L0 g(d1 ) (d2 − d1 ) = ∂K p ∂ = ∆B(0, T2 ) Φ(d2 ) + L0 g(d1 ) (−σ(T1 , K) T1 ) = ∂K p ∂σ = ∆B(0, T2 ) Φ(d2 ) − L0 g(d1 ) T1 (T1 , K) . ∂K Dalej, caplet binarny in arrears o cenie wykonania K jest równoważny w sensie wyceny z 1 portfelem złożonym z jednego capleta i K + ∆ capletów binarnych, również z ceną wykonania K (zob. podrozdz. 4.4). Stąd otrzymujemy wzór na cenę capleta binarnego in arrears: 1 Vbin (K, 0) = ∆B(0, T2 ) (L0 Φ(d1 ) − KΦ(d2 )) + ∆ p ∂σ 1 · ∆B(0, T2 ) Φ(d2 ) − L0 · g(d1 ) T1 (T1 , K) = + K+ ∆ ∂K p ∂σ = ∆B(0, T2 )L0 Φ(d1 ) + B(0, T2 )Φ(d2 ) − (∆K + 1)B(0, T2 )L0 g(d1 ) T1 (T1 , K). ∂K Vb.a. (K, 0) = Vcpl (K, 0) + K + W analogiczny sposób wyprowadza się wzór na cenę swapcji binarnej. Lemat 5.3. Niech 0 < T0 < . . . < Tn , ∆i = Ti − Ti−1 dla i = 1, . . . n. Rozważmy payer swapcję na stopę swapową K(T0 , Tn ) z ceną wykonania K i załóżmy, że jej cena jest zadana wzorem Blacka ze zmiennością σ(T0 , K), tzn. Vsw (K, 0) = n X ∆i B(0, Ti )(K0 Φ(d1 ) − KΦ(d2 )), i=1 gdzie K0 = K0 (T0 , Tn ), d1,2 = d1,2 (T0 , K) = ln( KK0 ) ± 12 σ 2 (T0 , K)T0 √ . σ(T0 , K) T0 Wówczas cena odpowiedniej swapcji binarnej z ceną wykonania K jest dana wzorem: Vbin.sw (K, 0) = n X p ∆i B(0, Ti ) Φ(d2 ) − K0 g(d1 ) T0 i=1 ∂σ (T0 , K) . ∂K Twierdzenie 5.1. (i) Niech T < S, ∆ = S − T oraz (Lt )t∈[0,T ] oznacza proces terminowej stopy LIBOR na okres [T, S]. Załóżmy, że cena capleta na stopę LT o poziomie wykonania K jest dana wzorem Blacka ze stałą zmiennością σ̃, tzn. Vcpl (K, 0) = ∆B(0, S) (L0 Φ(d1 ) − KΦ(d2 )) , 3 W odróżnieniu od [FR] zaprezentowano rachunek prowadzący do tego wzoru. 69 gdzie ln LK0 ± 21 σ̃ 2 T √ . σ̃ T Wówczas, jeśli są spełnione założenia fundamentalnego twierdzenia wyceny 2.2, to spotowa stopa LIBOR LT ma rozkład lognormalny w mierze forward PS . d1,2 = (ii) Niech (Ω, F, P) będzie przestrzenią probabilistyczną i rozważmy model, w którym terminowa stopa LIBOR (Lt )t∈[0,T ] spełnia stochastyczne równanie różniczkowe w mierze P: dLt = µLt dt + σ(t)Lt dWt , gdzie µ jest stałą, a σ – ograniczoną funkcją deterministyczną. Wówczas ten model jest zgodny z powyższym wzorem Blacka, jeśli 1 σ̃ = T 2 T Z σ 2 (s)ds. 0 Dowód. (i) Rozpatrzmy caplet binarny na stopę LT . Z martyngałowego wzoru wyceny mamy Vbin (K, 0) = B(0, S) · EPS ∆B(T, S) · 1(L 1 T − K) B(T, S) = ∆B(0, S)PS (LT > K), a z lematu 5.2 otrzymujemy Vbin (K, 0) = ∆B(0, S)Φ(d2 ). Stąd √ 1 PS (LT ¬ K) = Φ(−d2 ) = PS X · σ̃ T + ln L0 − σ̃ 2 T ¬ ln K , 2 gdzie X ∼ N (0, 1). Zatem ln LT ∼ N (ln L0 − 12 σ̃ 2 T, σ̃ 2 T ). (ii) Ze stwierdzenia 3.1 wiemy, że proces L musi być martyngałem w mierze PS . Zatem miarę PS definiujemy za pomocą pochodnej Radona-Nikodýma: dPS %t = = exp dP Ft Z 0 t −µ 1 dWs − σ(s) 2 Z 0 t ! µ2 ds , σ 2 (s) która jest martyngałem w mierze P na mocy kryterium Nowikowa (bo σ jest ograniczona), czyli PS jest równoważna P i z twierdzenia Girsanowa proces Z WtS t = Wt + 0 µ ds σ(s) jest procesem Wienera w mierze PS . Ponadto mamy dLt = µLt dt + σ(t)Lt dWtS − µ dt = σ(t)Lt dWtS σ(t) i ze wzoru (1.8) otrzymujemy Z Lt = L0 exp 0 t σ(s)dWsS − 1 2 Z t σ 2 (s)ds . 0 Zatem w mierze PS mamy 1 ln LT ∼ N ln L0 − σ̃ 2 T, σ̃ 2 T , 2 gdzie σ̃ 2 = 1 T RT 0 σ 2 (s)ds. 70 Analogicznie dowodzi się twierdzenie dotyczące swapcji. Twierdzenie 5.2. Rozważmy payer swapcję na kontrakt IRS rozpoczynający się w T0 i wymieniający odsetki w chwilach T1 < . . . < Tn . Niech ∆i = Ti − Ti−1 , i = 1, . . . , n oraz (Kt )t∈[0,T0 ] oznacza proces terminowej stopy swapowej związanej z tym kontraktem IRS. (i) Załóżmy, że cena swapcji o poziomie wykonania K jest dana wzorem Blacka ze stałą zmiennością σ̃, tzn. Vsw (K, 0) = n X ∆i B(0, Ti ) (K0 Φ(d1 ) − KΦ(d2 )) , i=1 gdzie d1,2 = ln KK0 ± 12 σ̃ 2 T0 √ . σ̃ T0 Wówczas, jeśli są spełnione założenia fundamentalnego twierdzenia wyceny 2.2, to spoeT . towa stopa swapowa LT ma rozkład lognormalny w mierze swapowej P 1 (ii) Niech (Ω, F, P) będzie przestrzenią probabilistyczną i rozważmy model, w którym terminowa stopa swapowa (Kt )t∈[0,T0 ] spełnia stochastyczne równanie różniczkowe w mierze P: dKt = µKt dt + σ(t)Kt dWt , gdzie µ jest stałą, a σ – ograniczoną funkcją deterministyczną. Wówczas ten model jest zgodny z powyższym wzorem Blacka, jeśli 1 σ̃ = T 2 Z 71 0 T σ 2 (s)ds. Podsumowanie W pracy – poza omówieniem znanych modeli stopy procentowej, stanowiącym punkt wyjścia do dalszych rozważań – przedstawiono opis modeli Markov-Functional wraz z metodami kalibracji do cen rynkowych. Zaprezentowano także sposób modelowania stopy LIBOR w mierze spot oraz metodę M-F modelowania ceny aktywa, w której samo aktywo przyjmuje się za numéraire. Poruszono również kwestię wyboru procesu Markowa definiującego model M-F. Opisane w pracy modele Markov-Functional, ze względu na dużą swobodę wyboru procesu kierującego, numéraire’a oraz funkcjonałów numéraire’a i czynników dyskontowych, można z powodzeniem zastosować do prawidłowej i skutecznej wyceny rozmaitych instrumentów egzotycznych. Przykładami instrumentów wycenianych za pomocą modeli M-F są (zob. [Pels], s. 121-129): • barrier cap – jest to seria capletów barierowych na stopę LIBOR, tzn. capletów, których wypłata następuje tylko w przypadku, gdy stopa LIBOR nie wykroczy poza ustalony w kontrakcie przedział; • auto cap (limit cap) – jest to seria n capletów z ustaloną maksymalną liczbą m ¬ n realizowanych wypłat; posiadacz auto capa otrzymuje (automatycznie) wypłaty z co najwyżej m pierwszych capletów in-the-money; • chooser cap (flexible cap) – jest to również seria n capletów z ustaloną maksymalną liczbą m ¬ n realizowanych wypłat, jednak w tym wypadku posiadacz chooser capa może w terminie wygaśnięcia każdego capleta zdecydować, czy realizuje wypłatę z tego capleta czy nie (przy czym może zrealizować łącznie co najwyżej m capletów); • swapcja bermudzka (Bermudan swaption) – jest to opcja dająca posiadaczowi prawo do zrealizowania kontraktu IRS w jednym z ustalonych uprzednio terminów. Modele Markov-Functional rozwiązują wiele problemów związanych z niedoskonałościami innych modeli stopy procentowej (m.in. niemożność dokładnej kalibracji modeli stopy krótkoterminowej do danych rynkowych czy trudności implementacyjne i teoretyczna niezgodność modeli rynkowych). Pewną ich wadą może być fakt, że dynamika stóp procentowych nie zapisuje się w formie prostego i przejrzystego równania stochastycznego, natomiast funkcjonały numéraire, czynników dyskontowych i stóp rynkowych mają dość złożoną i uwikłaną postać. Mimo to modele te mogą być bez większych problemów zastosowane w praktyce i zaimplementowane przy użyciu metody Monte Carlo. 73 Bibliografia [BH] P. Balland, L. Hughston, Markov Market Model Consistent with Cap Smile. International Journal of Theoretical and Applied Finance 3(2), 161-181, 2000 [BK] M. Bennett, J. Kennedy, A Comparison of Markov-Functional and Market Models: The One-Dimensional Case, http://www2.warwick.ac.uk/fac/sci/statistics/ crism/research/2005/paper05-11/05-11w.pdf, 2005 [BM] D. Brigo, F. Mercurio, Interest Rate Models: Theory and Practice, 2nd Ed., Springer, Berlin Heidelberg 2006 [F1] C. Fries, Mathematical Finance: Theory, Modeling, Implementation, Wiley, New Jersey 2007 [F2] C. Fries, Markov Functional Modeling of Equity, Commodity and other Assets, http: //www.christian-fries.de/finmath/markovfunctionaleqmodel/, 2006 [FR] C. Fries, M. Rott, Cross-Currency and Hybrid Markov-Functional Models, http://www. christian-fries.de/finmath/markovfunctionalhybrid/, 2004 [HK] P. J. Hunt, J. E. Kennedy, Financial Derivatives in Theory and Practice, Revised Edition, Wiley, Chichester 2004 [HKP] P. Hunt, J. Kennedy, A. Pelsser, Markov-Functional Interest Rate Models. Finance and Stochastics 4(4), 391-408, 2000 [JPRS] J. Jakubowski, A. Palczewski, M. Rutkowski, Ł. Stettner, Matematyka finansowa, WNT, Warszawa 2003 [JSZ] J. Jakubowski, R. Sztencel, Wstęp do teorii prawdopodobieństwa, wyd. III, SCRIPT, Warszawa 2004 [KS] I. Karatzas, S. E. Shreve, Brownian Motion and Stochastic Calculus, 2nd Edition, Springer, Berlin New York 1998 [L] R. Latała, Wstęp do Analizy Stochastycznej, skrypt, http://www.mimuw.edu.pl/ ~rlatala/testy/proc/was.pdf, 2010 [MR] M. Musiela, M. Rutkowski, Martingale Methods in Financial Modelling, 2nd Ed., Springer, Berlin Heidelberg 2005 [Pels] A. Pelsser, Efficient Methods for Valuing Interest Rate Derivatives, Springer, London 2000 [RY] D. Revuz, M. Yor, Continuous Martingales and Brownian Motion, Springer, Berlin Heidelberg 1991 75