Kolokwium poprawkowe A Algebra z Geometrią Analityczną, I rok

Kolokwium poprawkowe A
Algebra z Geometrią Analityczną, I rok informatyki, WPPT
5 lutego 2008 r.
1A. • (3 pkt.) Rozwiąż w ciele liczb zespolonych równanie
z 2 − 4z + 4 + i = 0.
Wynik zapisz w postaci algebraicznej.
√
• (2pkt) Wiadomo, że liczba z1 = 12 + i 23 jest pierwiastkiem wielomianu
z 3 + 1. Wyznacz pozostałe dwa pierwiastki tego wielomianu.
2A. Wektor u = [2, 1, 2, 1] należy do podprzestrzeni S rozwiązań układu jednorodnego
x1 − 3x2 + x3 − x4 = 0,
2x1 − 5x2 − x3 + 3x4 = 0.
(2 pkt.) Wyznacz bazę podprzestrzeni S
(3 pkt.) oraz współrzędne wektora u w tej bazie.
3A. (3 pkt.) Sprawdź, że wektory
u1 = [2, 3, −1], u2 = [−1, 2, 4], u3 = [2, −1, 1]
tworzą bazę ortogonalną przestrzeni R3 , względem standardowego iloczynu
skalarnego, i wyznacz współrzędne wektora [0, −1, 1] w tej bazie.
(2 pkt.) Czy może istnieć niezerowy wektor prostopadały do wektorów u1 , u2 , u3 ?
Dlaczego?
4A. Niech przekształcenie liniowe T : R4 → R4 będzie dane wzorem
T ([x1 , x2 , x3 , x4 ]) = [x1 + x4 , x1 − x2 + 2x4 , −x4 , x4 ].
(3 pkt.) Wyznacz wymiar jądra przekształcenia T , bez wyznaczania jego bazy, korzystając z twierdzenia o wymiarze podprzestrzeni rozwiązań układu
równań liniowych jednorodnych albo z innego twierdzenia.
(2 pkt.) Czy stąd wynika, że macierz przekształcenia liniowego w bazie standardowej ma wartość własną równą 0? Dlaczego?
5A. ( 5 pkt.) Pokaż, że punkty
P1 (−1, −2, −3),
P2 (−2, 0, 1),
P3 (−4, −1, −1),
P4 (2, 0, 1)
leżą na wspólnej płaszczyźnie i wyznacz równanie ogólne tej płaszczyzny.
Oblicz pole trójkąta o wierzchołkach P1 , P2 , P3 .
6A. (5 pkt.) Udowodnij, że układ niezerowych wektorów ortogonalnych w przestrzeni euklidesowej jest liniowo niezależny.
Kolokwium poprawkowe B
Algebra z Geometrią Analityczną, I rok informatyki, WPPT
5 lutego 2008 r.
1B. • (3 pkt.) Rozwiąż w ciele liczb zespolonych równanie
z 2 − 2z + 1 − i = 0.
Wynik zapisz w postaci algebraicznej.
√
• (2 pkt) Wiadomo, że liczba z1 = 2 − 2 3i jest pierwiastkiem wielomianu
z 3 + 64. Wyznacz pozostałe pierwiastki.
2B. Wektor u = [5, 7, 2, 3] należy do podprzestrzeni S rozwiązań układu jednorodnego
x1 − 2x2 + 3x3 + x4 = 0,
3x1 − 5x2 + 4x3 + 4x4 = 0.
(2 pkt.) Wyznacz bazę podprzestrzeni S
(3 pkt.) i współrzędne wektora u w tej bazie.
3B. (3 pkt.) Sprawdź, że wektory u1 = [3, −1, 2], u2 = [2, 4, −1], u3 = [−1, 1, 2]
tworzą bazę ortogonalną przestrzeni R3 , względem standardowego iloczynu
skalarnego, i wyznacz współrzędne wektora [−1, 1, 0] w tej bazie.
(2 pkt.) Czy może istnieć niezerowy wektor prostopadały do wektorów u1 , u2 , u3 ?
Dlaczego?
4B. Niech przekształcenie liniowe T : R4 → R4 będzie dane wzorem
T ([x1 , x2 , x3 , x4 ]) = [x1 + x2 , x2 − x1 , x1 , x1 − x2 ].
(3 pkt.) Wyznacz wymiar jądra przekształcenia T , bez wyznaczania jego bazy, korzystając z twierdzenia o wymiarze podprzestrzeni rozwiązań układu
równań liniowych jednorodnych albo z innego twierdzenia.
(2 pkt.) Czy stąd wynika, że macierz przekształcenia liniowego w bazie standardowej ma wartość własną równą 0? Dlaczego?
5B. (5 pkt.) Pokaż, że punkty
P1 (1, −2, 0),
P2 (−1, 0, 2),
P3 (0, 2, −1),
P4 (1, 1, −2)
leżą na wspólnej płaszczyźnie i wyznacz jej równanie ogólne.
Oblicz pole trójkąta o wierzchołkach P1 , P2 , P3 .
6B. (5 pkt.) Udowodnij, że współrzędne wektora u w bazie w1 , . . . , wn są określone jednoznacznie oraz, że żaden z wektorów bazy nie może być liniową
kombinacją pozostałych wektorów z bazy.
Kolokwium poprawkowe C
Algebra z Geometrią Analityczną, I rok informatyki, WPPT
5 lutego 2008 r.
1C. • (3 pkt.) Rozwiąż w ciele liczb zespolonych równanie
z 2 + 4z + 4 + i = 0.
Wynik zapisz w postaci algebraicznej.
√
• (2 pkt) Wiadomo, że liczba z1 = 1 − 3i jest pierwiastkiem wielomianu
z 3 + 8. Wyznacz pozostałe pierwiastki tego wielomianu.
2C. Niech u = [2, 1, 0, −3] i niech S będzie podprzestrzenią rozwiązań układu
jednorodnego
x1 + x2 + x4 = 0, x3 = 0.
(2 pkt.) Wyznacz bazę podprzestrzeni S
(3 pkt.) i współrzędne wektora u w tej bazie.
3C. (3 pkt.) Sprawdź, że wektory u1 = [−1, 2, 3], u2 = [4, −1, 2], u3 = [1, 2, −1]
tworzą bazę ortogonalną przestrzeni R3 , względem standardowego iloczynu
skalarnego, i wyznacz współrzędne wektora [1, 0, −1] w tej bazie.
(2 pkt.) Czy może istnieć niezerowy wektor prostopadały do wektorów u1 , u2 , u3 ?
Dlaczego?
4C. Niech przekształcenie liniowe T : R4 → R4 będzie dane wzorem
T ([x1 , x2 , x3 , x4 ]) = [x1 , x1 + x2 , x2 , x1 − x2 ].
(3 pkt.) Wyznacz wymiar jądra przekształcenia T , bez wyznaczania jego bazy, korzystając z twierdzenia o wymiarze podprzestrzeni rozwiązań układu
równań liniowych jednorodnych albo z innego twierdzenia.
(2 pkt.) Czy stąd wynika, że macierz przekształcenia liniowego ma wartość
własną równą 0? Dlaczego?
5C. (5 pkt.) Pokaż, że punkty
P1 (1, 0, −1),
P2 (0, −1, 0),
P3 (1, 2, −2),
P4 (−2, −1, 1)
leżą na wspólnej płaszczyźnie i wyznacz jej równanie ogólne.
Oblicz pole trójkąta o wierzchołkach P1 , P2 , P3 .
6C. (5 pkt.) Udowodnij, że jeśli układ niezerowych wektorów v1 , . . . , vk jest liniowo
zależny, to wśród tych wektorów istnieje wektor będący liniową kombinacją
pozostałych wektorów. Dlaczego założenie, że to są wektory niezerowe jest
istotne?
Kolokwium poprawkowe D
Algebra z Geometrią Analityczną, I rok informatyki, WPPT
5 lutego 2008 r.
1D. • (3 pkt.) Rozwiąż w ciele liczb zespolonych równanie
z 2 + 2z + 1 − i = 0.
Wynik zapisz w postaci algebraicznej.
√
• (2 pkt) Wiadomo, że liczba z1 = 2 + 2 3i jest pierwiastkiem wielomianu
z 3 + 64. Wyznacz pozostałe pierwiastki.
2D. Niech u = [−6, 3, 0, 3] i niech S będzie podprzestrzenią rozwiązań układu
jednorodnego
x1 + x2 + x4 = 0, x2 − x4 = 0.
(2 pkt.) Wyznacz bazę podprzestrzeni S
(3 pkt.) i współrzędne wektora u w tej bazie.
3D. (3 pkt.) Sprawdź, że wektory u1 = [2, −1, 3], u2 = [−1, 4, 2], u3 = [2, 1, −1]
tworzą bazę ortogonalną przestrzeni R3 , względem standardowego iloczynu
skalarnego, i wyznacz współrzędne wektora [0, 1, −1] w tej bazie.
(2 pkt.) Czy może istnieć niezerowy wektor prostopadały do wektorów u1 , u2 , u3 ?
Dlaczego?
4D. Niech przekształcenie liniowe T : R4 → R4 będzie dane wzorem
T ([x1 , x2 , x3 , x4 ]) = [x3 + x2 , x2 , x2 − x3 , x3 ].
(3 pkt.) Wyznacz wymiar jądra przekształcenia T , bez wyznaczania jego bazy, korzystając z twierdzenia o wymiarze podprzestrzeni rozwiązań układu
równań liniowych jednorodnych albo z innego twierdzenia.
(2 pkt.) Czy stąd wynika, że macierz przekształcenia liniowego w bazie standardowej ma wartość własną równą 0? Dlaczego?
5D. (5 pkt.) Pokaż, że punkty
P1 (−2, −1, 0),
P2 (−2, 0, 1),
P3 (1, 0, 0),
P4 (1, 1, 1)
leżą na wspólnej płaszczyźnie i wyznacz jej równanie ogólne.
Oblicz pole trójkąta o wierzchołkach P1 , P2 , P3 .
6D. (5 pkt.) Udowodnij, że dopełnienie ortogonalne W⊥ podprzestrzeni liniowej
W przestrzeni euklidesowej V jest jej podprzestrzenią.