Funkcja liniowa

Funkcja liniowa
Funkcja֒ liniowa֒ nazywamy funkcje֒ postaci y = ax + b , gdzie a i b sa֒ dowolnymi liczbami
rzeczywistymi.
Jeśli np. a = 0 , b = −3 , to otrzymujemy y = −3 , wie֒c funkcja w tym przypadku jest stala.
Oznacza to, że jej wartość nie zależy od wyboru punktu x .
Jeśli a = 2 , b = −1 , to otrzymujemy funkcje֒ y = 2x − 1 . Tym razem jej wartość zależy od
wyboru argumentu x . Jeśli x = 0 , to y = −1 , jeśli x = 1 , to y = 1 , jeśli x = −1 , to y = −3
itd.
Wykresem funkcji liniowej jest linia prosta. Jak wiadomo przez każde dwa różne punkty
przechodzi dokladnie jedna linia prosta. Wobec tego dla narysowania wykresu funkcji liniowej
wystarczy znaleźć dwa jego różne punkty. Zauważmy, że proste y = ax i y = ax + b nie maja֒
ani jednego punktu wspólnego, gdy b 6= 0 , albo, gdy b = 0 , pokrywaja֒ sie֒. Wobec tego, że leża֒
w jednej plaszczyźnie, sa֒ równolegle.
Jeśli a 6= A , to dwie proste o równaniach y = ax + b i y = Ax + B maja֒ dokladnie jeden
punkt wspólny. Jeśli punkt (x, y) ma leżeć na obu tych prostych, to musi być spelniony warunek
B−b
. Wtedy y = a a−A
+ b = aB−bA
, wie֒c jedynym punktem
a−A
B−b aB−bA
wspólnym tych dwu prostych jest punkt a−A
, a−A . Oczywiście nie ma żadnej potrzeby
ax + b = Ax + B , wie֒c x =
B−b
a−A
zapamie֒tywać tego wzoru Zawsze, gdy tylko be֒dzie zmuszeni do znalezienia punktu wspólnego
dwu prostych o znanych równaniach, be֒dziemy mogli rozwia֒zać uklad równań.
Bez trudu można zauważyć, że im wie֒ksza jest liczba a > 0 , tym bardziej stroma jest prosta
o równaniu y = ax + b . Wystarczy przyjrzeć sie֒ prostym przechodza֒cym przez punkt (0, 0) , bo
prosta y = ax + b jest równolegla do prostej y = ax , która przechodzi przez punkt (0, 0) .
Prosta y = ax przechodzi przez punkt (1, a) . Punkt ten znajduje sie֒ tym wyżej im wie֒ksza
jest liczba a .
Zauważmy, że trójka֒t o wierzcholkach (0, 0) , (1, 0) i (1, a) jest prostoka֒tny (ka֒t przy wierzcholku (1, 0) jest prosty). Oznaczmy ka֒t przy wierzcholku (0, 0) przez α . Przypomnijmy, że
tangens ka֒ta ostrego w trójka֒cie prostoka֒tnym to stosunek przyprostoka֒tnej leża֒cej naprzeciw
wierzcholka tego ka֒ta do drugiej przyprostoka֒tnej. Wobec tego tg α =
a
1
= a . Wykazaliśmy wie֒c,
że jeśli a > 0 , to tangens ka֒ta ostrego, którego jedno ramie֒ jest zawarte w osi OX , a drugie w
prostej y = ax jest równy a .
Jeśli a < 0 , to trójka֒t o wierzcholkach (0, 0) , (1, 0) i (1, a) jest prostoka֒tny. Dlugości
przyprostoka֒tnych równe sa֒ 1 i |a| = −a . Wobec tego w tym przypadku tangens ka֒ta ostrego,
którego jedno ramie֒ jest zawarte w osi OX , a drugie w prostej y = ax jest równy |a| = −a .
Tym razem zwie֒kszenie liczby x powoduje zmniejszenie liczby y = ax+b — prosta skierowana
jest „w dól”, a nie w góre֒, jak poprzednio. Znów możemy stwierdzić, że jest ona tym bardziej
stroma im wie֒ksza jest liczba |a| .
Definicja:
Liczbe֒ rzeczywista֒ a nazywamy wspólczynnikiem kierunkowym prostej o rów-
naniu y = ax + b .
1. Dane są punkty A = (x1 , y1 ) , B = (x2 , y2 ) . Wyznacz współrzędne środka odcinka AB .
2. Punkty A = (4, 1) , B = (3, 5) , C = (−1, 4) , D = (0, 0) są wierzchołkami kwadratu.
a) Wyznacz wspólrzędne środka symetrii kwadratu,
b) oblicz długość boku kwadratu.
3. Narysuj w układzie współrzędnych sześciokąt foremny ABCDEF , tak aby wierzchołek A
był początkiem układu współrzędnych, zaś przekątna AE zawierała się w osi y . Odczytaj
współrzędne pozostałych wierzchołków sześciokąta. Za jednostkę osi przyjmij długość boku
sześciokąta. Ile rozwiązań ma zadanie?
4. Punkty A = (0, 0) , B = (3, 1) , C = (a, b) , D = (1, 3) są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku. Nakreśl w układzie współrzędnych ten równoległobok i odczytaj współrzędne
wierzchołka C .
5. Zacieniuj zbiór tych wszystkich punktów płaszczyzny, których współrzędne spełniają warunki:
a) x ≥ 3 i y < 2 ,
c) x = 3 i y ≥ 3 ,
b) 1 < x < 3 i −2 < y < 2 ,
d) x = 2 i y = −2 .
6. Zacieniuj zbiory A ∪ B ; A ∩ B ; A \ B , jeśli:
a) A = {x, y):
x > 2 i y < 3} , B = {x, y):
x ≤ 4 i y > −2} ;
c) A = {x, y):
x = 4 i y ≥ 1} , B = {x, y):
x ≥ 4 i y = 1} .
b) A = {x, y):
x = 2 i y < 4} , B = {x, y):
x > −3 i y = −2} ;
7. Sprawdź, które z punktów A = ( 12 , 0) , B = (−3, 0) , C = (1, 1) , D = (2, 3) należą do
wykresu funkcji:
a) f (x) = x3 , x ∈ R ,
b) g(x) = x2 , x ∈ R+ ,
c) h(x) = 2x − 1, x ∈ Z .
8. Sprawdź, czy punkty P1 , P2 , P3 należą do wykresu funkcji:
a) f (x) = x3 + 3, x ∈ N , P1 = (2, −7), P2 = (−1, 4), P3 = ( 12 , 79 ) ;
√
√
b) g(x) = x2 + x, x ∈ R , P1 = ( 3, 3 + 3), P2 = (−1, 0), P3 = (2, 8) ;
√
√
1
c) h(x) = x−2
, x ∈ R \ {2} , P1 = (2, 0), P2 = (1, −1) , P3 = ( 5, 2 + 5) ;
√
d) i(x) = 1 − x2 , x ∈ W , P1 = ( 3, −2), P2 = (−1, 0), P3 = ( 31 , 89 ) .
9. Do wykresu funkcji liniowej należy początek układu współrzędnych oraz punkt M . Podaj
wzór określający funkcję, gdy:
a) M = (1, 1) ,
b) M = (3, 2) ,
c) M = (−1, 5) ,
d) M = (k, 2k), k 6= 0
e) M = (k, − 12 k) (k ∈ R i k 6= 0) .
10. W każdej z podanych niżej częściowych tabelek wartości funkcji liniowej dwie wartości funkcji
są błędnie dobrane. Znajdź je i popraw.
a)
x
y
1
3
2
−2
3
5
4
2
b)
x
y
−2
−3
−1
−2
0
−1
c)
x
y
−2
6
−1
4
0
5
5
7
,
1
3
1
0
2
4
2
1
,
.
11. Do wykresu funkcji y = ax + b należą punkty A i B . Sprawdź rachunkowo, czy punkt C
również należy do wykresu, jeśli:
a) A = (1, 2), B = (−1, 4), C = (2, 6) ,
b) A = (2, 1), B = (4, 0), C = (3, 12 ) ,
c) A = ( 13 , 3), B = (− 34 , 3), C = (1, 3) .
12. Naszkicuj wykres funkcji y = 2x . Następnie przesuń go o wektor równoległy do jednej z osi
tak, aby przechodził przez podany punkt M . Napisz wzór funkcji, której wykresem jest
otrzymana prosta.
a) M = (0, 3) ,
c) M = (−5, 0) ,
b) M = (0, −2) ,
d) M = (4, 0) .
13. Naszkicuj wykres funkcji y = 12 x . Przekształć go przez symetrię względem:
a) osi x ,
c) prostej y = 2 ,
b) osi y ,
d) początku układu.
Napisz wzór funkcji, której wykresem jest otrzymana prosta.
14. Naszkicuj wykres funkcji y = x − 4 . Następnie przesuń go o wektor równoległy do jednej
z osi tak, aby przechodził przez podany punkt M . Napisz wzór funkcji, której wykresem
jest otrzymana prosta.
a) M = (0, 3) ,
c) M = (−5, 0) ,
b) M = (0, −2) ,
d) M = (4, 0) .
15. Naszkicuj wykres funkcji y = 3 − x . Przekształć go przez symetrię względem:
a) osi x ,
c) prostej y = 2 ,
b) osi y ,
d) początku układu.
Napisz wzór funkcji, której wykresem jest otrzymana prosta.
16. Naszkicuj wykres danej funkcji i przekształć go przez symetrię względem prostej x = 1 .
Napisz wzór funkcji, której wykresem jest otrzymana prosta.
a) y = −2x + 1 ,
b) y = − 21 x + 4 ,
c) y = 2x − 3 ,
d) y = 2 .
17. Napisz wzór funkcji liniowej, której wykres:
a) jest równoległy do wykresu y = 2x + 1 i przechodzi przez punkt A = (1, 5) ;
b) jest równoległy do wykresu y = −x + 3 i przechodzi przez punkt B = (0, 5) ;
c) jest równoległy do wykresu funkcji y = − 12 x + 4 i przechodzi przez punkt C = (4, 0) .
18. Wykres funkcji liniowej przechodzi przez dany punkt A i jest nachylony do osi x pod danym
kątem α . Napisz wzór tej funkcji, jeżeli:
a) A = (1, 5), α = 120◦ ;
b) A = (−1, −1), α = 60◦ ;
c) A = (−2, 4), α = 0◦ .
19. Naszkicuj wykresy funkcji:
a) y = |x| ,
e) y = | − x| ,
c) y = |x − 1| + 1 ,
g) y = 2|x| − |x + 1| ,
b) y = |x| + 1 ,
d) y = |x| − |x + 1| ,
f) y = 2|x| ,
h) y = x − |x| .
Uwaga. Dwa punkty wyznaczają prostą. Można zacząć od punktów, w których wykres
rysowanej funkcji „załamuje” się.
20. Sprawdzić, które z prostych:
(a)
y = 13 x + 1 ,
(f)
− 13 x + 5 ,
1
2x − 5 ,
√
− 12 x + 17 ,
(b)
y=
(c)
y=
(d)
y=
(e)
y = x − 3,
y = −x ,
(g)
y = 2x ,
(h)
y = −2x ,
(i)
y = 3x + 7 ,
(j)
y = −3x + 2 .
21. Znaleźć równanie prostej prostopadlej do prostej y = 3x − 5 , która przechodzi przez
punkt (3, 4) .
22. Znaleźć równanie prostej prostopadlej do prostej x = 3y − 5 , która przechodzi przez
punkt (4, 3) .
23. Rozwiązać nierówności:
a) (x − 1)2 + 7 > (x + 4)2 ,
2
2
d)
2
b) (1 + x) + 3x < (2x − 1) + 7 ,
2
e)
3x−7
2
4x+1
2
+ x < 2(x − 1) ,
x+4
5
>
.
2
c) (x − 4) + 6 < x + 2x + 2 ,
24. Rozwiąż układ nierówności:
n
2x + 4 > 3 − x
a)
4 − 3x > 2 + 2x
n
x − 1 ≥ 1 − 3x
b)
3x + 2 ≤ 7
5(x − 1) > 2(x + 4)
c)
2x + 4 > 8
d)
3 − x ≤ 12 + 2x
2 + x > 7x + 23
e)
1−2x
3
< 1+3x
4
1 − 7x ≥ −6x
f)
(x + 1)2 + 7 > (x − 4)2
(1 + x)2 + 3x2 ≤ (2x − 1)2 + 7
25. Rozwiąż nierówność podwójną:
a) 2x + 5 < 3x + 4 < 4x + 2 ,
b) 2(x − 1) < 3(x − 1) < 4(x − 1) ,
26. Rozwiąż układy nierówności:
x + 4 > 2 − 3x
a)
4(x − 1) > 2 + 7x
3 + 5x < 7x + 4
b)
3(x − 2) < 4x − 9
( 3x 3
− 5 < 4x − 3
2
c)
x
1
3
5
5 − 33 > 14 − 2x
c) (x + 1)2 ≤ (x + 2)2 ≤ (x + 3)2 ,
d)
x+2
3
d)
( 37−2x
e)
f)
( 7−6x
<
x+1
4
3
3x
2
3−
2x+1
6
<
+9<
>
5
8
.
3x−8
4
−
−x
4x−3
6
(x + 1)2 + 7 > (x − 4)2
(1 + x)2 + 3x2 < (2x − 1)2 + 7
2
8+
+ 12 <
3x−4
5
>
8x+1
3
x−1
6
−
− 10x
5x−3
8