Twierdzenie Liouville`a

1
Twierdzenie Liouville’a
Twierdzenie Liouville’a
1
Przypomnienie: potok lokalny
Rozważmy pole wektorowe F : U → Rn klasy C 1 , gdzie U ⊂ Rn jest obszarem
(zbiorem otwartym i spójnym).
Pole wektorowe F generuje potok lokalny ϕ: dla x0 ∈ U, ϕ(t, x0 ) oznacza
wartość, w chwili t, rozwiązania układu równań różniczkowych x′ = F(x)
spełniającego warunek początkowy x(0) = x0 .
Przypomnijmy definicję: potok lokalny ϕ : dom ϕ → U jest odwzorowaniem ciągłym spełniającym następujące warunki:
(PL0) dziedzina dom ϕ ⊂ R × U jest zbiorem otwartym zawierającym {0} ×
U; ponadto, dla każdego x ∈ U dziedzina odwzorowania [ t 7→ ϕ(t, x) ]
jest przedziałem otwartym (τmin (x), τmax (x)), gdzie τmin (x) < 0 < τmax (x),
(PL1) ϕ(0, x) = x, dla każdego x ∈ U,
(PL2) jeżeli ϕ(t, ϕ(s, x)) jest określone, to ϕ(t + s, x) też jest określone i
zachodzi równość ϕ(t, ϕ(s, x)) = ϕ(t + s, x),
(PL3) jeżeli ϕ(t, x) jest określone, to ϕ(−t, ϕ(t, x)) też jest określone i zachodzi równość ϕ(−t, ϕ(t, x)) = x.
Od tej pory, zamiast ϕ(t, x) będziemy pisali ϕt (x).
Z własności potoku lokalnego wynika, że funkcja
[ U ∋ x 7→ τmax (x) ∈ (0, ∞) ]
jest półciągła z dołu.
2
Sformułowanie twierdzenia Liouville’a
Niech D ⊂ U będzie obszarem domkniętym i ograniczonym, o brzegu kawałkami klasy C 1 . Jako że funkcja τmax (·), półciągła z dołu, osiąga kres
dolny na zbiorze zwartym D (jest to twierdzenie Weierstrassa), zachodzi
ϑ := inf{ τmax (x) : x ∈ D } > 0 (nie jest wykluczone, że ϑ = ∞).
Niech g : U → R będzie funkcją klasy C 1 .
Oznaczmy, dla t ∈ [0, ϑ),
V (t) :=
Z
ϕt (D)
g(x) dx.
2
Skompilował Janusz Mierczyński
Twierdzenie Liouville’a. Przy powyższych założeniach,
′
V (t) :=
Z
div(gF)(x) dx.
ϕt (D)
3
Dowód twierdzenia Liouville’a
Ustalmy t ∈ [0, ϑ). Niech h > 0 (na razie ustalone) będzie takie, że t + h < ϑ.
Fakt 1. ϕh obcięty do ϕt (D) jest homeomorfizmem między ϕt (D) i ϕt+h (D).
W przypadku, gdy pole wektorowe jest zupełne, to znaczy gdy ϕ jest potokiem globalnym, powyższy Fakt jest natychmiastową konsekwencją równości
ϕt+h = ϕh ◦ ϕt i aksjomatów potoku. W ogólnym przypadku jednak musimy
zatroszczyć się, czy rozpatrywane przez nas zbiory są zawarte w dziedzinach
odpowiednich odwzorowań.
Dowód Faktu 1. Zauważmy, że skoro dla każdego ξ ∈ D określone jest ϕt+h (ξ),
z (PL3) wynika, że dla każdego y ∈ ϕt+h (D) określone jest ϕ−t−h (y), czyli
τmin (y) < −t − h. Ale −t − h ¬ −h < 0, więc z (PL0) wynika, że dla każdego
y ∈ ϕt+h (D) określone jest ϕ−h (y).
Dalej, (PL2) daje nam, że ϕ−h (ϕt+h (ξ)) = ϕt (ξ), dla każdego ξ ∈ D.
Zatem ϕt+h (D) zawiera się w dziedzinie odwzorowania ϕ−h , i zachodzi
ϕ−h (ϕt+h (D)) = ϕt (D).
Następnie, skoro ϕ−h (y) jest określone dla każdego y ∈ ϕt+h (D), z (PL3)
wynika, że ϕh (x) jest określone dla każdego x ∈ ϕ−h (ϕt+h (D)) = ϕt (D),
i zachodzi ϕh (ϕ−h (y)) = y dla każdego y ∈ ϕt+h (D). Zatem ϕh ◦ ϕ−h
jest równe odwzorowaniu identycznościowemu na ϕt+h (D). Wynika stąd, że
ϕh (ϕt (D)) = ϕt+h (D).
Oba odwzorowania, ϕh i ϕ−h , są określone na pewnych zbiorach otwartych. Z
twierdzenia o różniczkowalnej zależności rozwiązania od warunków początkowych
wynika, że ϕh i ϕ−h są klasy C 1 . Zatem ϕh przeprowadza dyfeomorficznie
zbiór ϕt (D) na zbiór ϕt+h (D).
ϕh można więc zinterpretować jako zamianę zmiennych:
Z
V (t + h) =
g(y) dy =
ϕt+h (D)
=
Z
ϕh (ϕt (D))
g(y) dy =
Z
ϕt (D)
g(ϕh (x))|Jh (x)| dx,
3
Twierdzenie Liouville’a
gdzie Jh (x) oznacza jakobian odwzorowania ϕh w punkcie x ∈ ϕt (D).
Otrzymujemy dalej
V (t + h) − V (t)
=
h
Z 1
=
g(ϕh (x))|Jh (x)| − g(x) dx =
h
(1)
ϕt (D)
1 Z
1 Z =
g(ϕh (x)) − g(x) |Jh (x)| dx +
h
h
ϕt (D)
g(x) |Jh (x)| − 1 dx.
ϕt (D)
Teraz sprawdzamy co się dzieje, gdy z h dążymy do zera.
Na początek zajmiemy się jakobianem. Zestawmy potrzebne informacje:
Fakt 2. (i) Jh (x) > 0, dla dowolnego h > 0 takiego, że t + h < ϑ i
dowolnego x ∈ ϕt (D).
(ii) Jh (x) → 1 gdy h → 0+ , jednostajnie względem x ∈ ϕt (D).
(iii) (Jh (x) − 1)/h → div F(x) gdy h → 0+ , jednostajnie względem x ∈
ϕt (D).
Dowód. Twierdzenie o różniczkowalnej zależności rozwiązania od warunków początkowych
stwierdza, między innymi, że dla każdego x ∈ ϕt (D) jakobian Jh (x) jest wyznacznikiem macierzy Cauchy’ego Φ(t + h; t) układu równań różniczkowych
liniowych
dη
= DF(ϕs−t (x))η, s ∈ [t, t + h].
ds
Ze wzoru Liouville’a (patrz, na przykład,
twierdzenie 7.7 z wykładu 7 ze Wstępu do Teorii Równań Różniczkowych) wynika, że
Jh (x) = exp
t+h
Z
t+h
Z
tr DF(ϕs−t (x)) ds ,
t
czyli
Jh (x) = exp
div F(ϕs−t (x)) ds .
t
Teza wynika z jednostajnej ciągłości odpowiednich funkcji na zbiorze zwartym oraz z własności funkcji wykładniczej.
4
Skompilował Janusz Mierczyński
Przechodzimy do analizy pierwszego składnika w ostatnim wierszu wzoru (1). Dla każdego x ∈ ϕt (D) można zapisać
g(ϕh (x)) − g(x) = h∇g(x), F(x)ih + rx (h),
gdzie
rx (h)
→ 0 gdy h → 0+ .
h
Co więcej, z ciągłości pochodnych funkcji g i zwartości zbioru ϕt (D) można
wywnioskować, że reszty rx (h) są o(h) jednostajnie względem x ∈ ϕt (D), to
znaczy
sup{|rx (h)| : x ∈ ϕt (D)}
→ 0 gdy h → 0+ .
h
Dalej, Jh (x) → 1 gdy h → 0+ , jednostajnie względem x ∈ ϕt1 (D). Wykorzystując Fakt 2(i),(ii), otrzymujemy, że
1
h
Z
ϕt (D)
g(ϕh(x)) − g(x) |Jh (x)| dx →
Z
h∇g(x), F(x)i dx
ϕt (D)
przy h → 0+ .
Z Faktu 2(i),(iii) wnioskujemy, że drugi składnik, to znaczy całka
1 Z
h
g(x) |Jh (x)| − 1 dx
ϕt (D)
dąży do
Z
g(x) div F(x) dx
ϕt (D)
przy h → 0+ .
Wykorzystując wzór
div(gF) = h∇g, Fi + g div F
otrzymujemy
V+′ (t) =
Z
div(gF)(x) dx.
ϕt (D)
Pochodną lewostronną obliczamy w analogiczny sposób.
5
Twierdzenie Liouville’a
4
Zastosowania twierdzenia Liouville’a
4.1
Kryterium Dulaca1
Twierdzenie 1. Niech F będzie polem wektorowym klasy C 1 określonym na
obszarze jednospójnym U ⊂ R2 , i niech g : U → R będzie funkcją klasy C 1
taką, że
div(gF)(x) < 0 dla każdego x ∈ U.
Wówczas potok lokalny generowany przez pole F nie ma orbit okresowych.
Dowód. Załóżmy nie wprost, że Γ ⊂ U jest orbitą okresową. Z twierdzenia
Jordana o rozcinaniu płaszczyzny (patrz, np.,
Tw. 2 z wykładu o twierdzeniu Poincaré–Bendixsona) wynika, że R2 \ Γ jest
rozłączną sumą dwóch zbiorów otwartych i spójnych, ograniczonego W1 i nieograniczonego W2 , takich że Γ jest ich wspólnym brzegiem. Z jednospójności
zbioru U wynika, że W1 ⊂ U.
Połóżmy D := Γ ∪ W1 . D ⊂ U jest ograniczonym obszarem domkniętym,
o brzegu klasy C 1 . Ponadto, D jest zbiorem niezmienniczym. Wynika stąd,
że funkcja
Z
g(x) dx, t ∈ [0, ∞),
V (t) :=
ϕt (D)
jest stała, co przeczy twierdzeniu Liouville’a.
4.2
Miary niezmiennicze
Załóżmy, że F : U → Rn , gdzie U ⊂ Rn jest obszarem ograniczonym, jest
zupełnym polem wektorowym klasy C 1 , generującym potok ϕ.
Niech µ będzie miarą borelowską na U, absolutnie ciągłą względem miary
Lebesgue’a. Załóżmy ponadto, że gęstość g, to znaczy pochodna Radona–
Nikodýma miary µ względem miary Lebesgue’a, jest funkcją (nieujemną)
klasy C 1 .
Będą nas interesowały miary µ o powyższych własnościach, które są ponadto niezmiennicze: dla każdego zbioru borelowskiego E ⊂ U i dowolnego
t ∈ R zachodzi µ(ϕt (E)) = µ(E).
Standardowe rozumowania z teorii miary przekonują nas, że równość
µ(ϕt (D)) = µ(D) wystarczy sprawdzić dla każdego obszaru domkniętego
D ⊂ U o brzegu kawałkami klasy C 1 . Ale, ponieważ
µ(D) =
Z
g(x) dx,
D
1
Henri Dulac (1870 – 1955), matematyk francuski
6
Skompilował Janusz Mierczyński
z twierdzenia Liouville’a łatwo wynika, że warunkiem koniecznym i dostatecznym istnienia miary niezmienniczej o powyższych własnościach jest, by
div(gF) ≡ 0 na U.
Uwagi:
1. W powyższych rozważaniach, założenia odnośnie ograniczoności obszaru U jak i zupełności pola wektorowego F były uczynione tylko w celu
ułatwienia prezentacji.
2. Warunkiem koniecznym i dostatecznym na to, by miara Lebesgue’a
była niezmiennicza, jest, aby
div F ≡ 0 na U.
W literaturze często ten wynik jest zwany twierdzeniem Liouville’a (w
szczególności, jeśli dotyczy on układów hamiltonowskich).