Zestaw I Zadanie 1 Oblicz wartość podanych wyrażeń: a) (2 + i)(5 + i

Zadanie 12 Udowodnić wzór
|z − w|2 = |z|2 − 2<e (z̄w) + |w|2 .
Zestaw I
Zadanie 1 Oblicz wartość podanych wyrażeń:
Zadanie 13 Przedstawić następujące liczby zespolone
a) (2 + 14 i)(5 + i), b) (3 − i)(−4 + 2i), c) ( 14 + i)2 ,
w postaci a + bi, a, b ∈ R:
√
√
(1+i)(2−i)
3 4
2
1+i 5
d) (1 + i)4 , e) (−2 + 3i)3 , f) 2+3i
a) 1−3i
, b) (1 + i 3)6 , c) ( 1−i
) , d) ( 1+i
1−i , g)
(1−i)2 .
1−i ) .
Zadanie 2 Niech z = x + yi, x, y ∈ R. Znaleźć
Zadanie 14 Znaleźć wszystkie liczby zespolone
podane wyrażenia:
z, dla których z̄ = z 2 .
a) <e (z 2 ), b) =m ( zz̄ ), c) e|z| , d) |z 2 |, e) |z n |,
1
1
f) =m (z 3 ), g) <e (z̄z 2 ), h) <e ( 1+z
2 ), i) <e z ,
2
Zadanie 15 Wykazać, że dla |z| = r > 0
z̄
2z
j) =m z+1
, k) <e z−i
, l) =m izz̄ .
2
2
1
a) <e z = 12 (z + rz ), b) =m z = 2i
(z − rz ).
Zadanie 3 Przedstawić na płaszczyźnie zespolonej
Zadanie 16 Wyznaczyć wszystkie liczby zespolone
liczbę eiϕ , gdzie ϕ ∈ R:
3
π
i
πi
2kπi
πi
z,
dla
których wyrażenie (1 + z)(1 − z)−1 jest liczbą
2
2
, dla k ∈ Z.
a) e , b) e , c) e , d) e
a) rzeczywistą, b) czysto urojoną.
Zadanie 4 Obliczyć podane pierwiastki. Wynik
przedstawić w postaci wykładniczej i algebraicznej
(jeśli jest w miarę prosta). Podać interpretację
geometryczną:
√
√
√
√
4
9
i, b) √
−8i, c) √3 −27, d) 3 −1 + i
a) √
e) 4 1, f) 6 −1, g)p 3 −8,
√
√
√
12
h) 5 −2 − 2i, i)
−3 + 3 3i, j) 4 16.
Zadanie 5 Narysować na płaszczyźnie zespolonej
zbiory określone podanymi warunkami:
a) |z − 1| < 1, b) 2 < |z + 2i| < 3, c) |z − 1 + i| > 3,
d) 0 < |1−i−z| ≤ 4, e) |2iz+1| ≥ 2, f) |z−i| = <e z,
g) π4 < arg(z − 3 + i) ≤ 23 π, h) |z − i| = |z − 1|,
i) 0 ≤ <e (iz) < 1, j) arg(−z) = π6 , k) <e z ≤ 1,
l) − π2 ≤ arg z̄ ≤ π4 , ł) |(1 + i)z − 2| < 2,
5π
m) |z − 2i| = =m z, n) −π
4 ≤ arg(z − 2 + 3i) < 6 .
Zadanie 17 Wykazać, że
|z + w|2 + |z − w|2 = 2(|z|2 + |w|2 ).
Podać interpretację geometryczną.
Zadanie 18 Podać geometryczną interpretację
zbiorów liczb zespolonych:
a) {z : |z − a| = |z − b|}, a 6= b,
b) {z : |z + c| + |z − c| ≤ 2a}, a > 0, |c| < a,
z+i
< π4 }, d) {z : 0 ≤ <e (iz) < 1},
c) {z : 0 < arg z−i
z+1
2
e) {z : <e z > α}, α > 0}, f) {z : | z−1
| < 1},
g) {z : |z| + <e z ≤ 1},
h) {z : <e (z(z + i)(z − i)−1 ) > 0}, i) {z ∈ C :
A|z|2 − B̄z − B z̄ + C = 0}, gdzie A 6= 0, A, C ∈ R,
|B|2 > AC.
Zadanie 19 Niech |z1 | = |z2 | = |z3 | = 1. Wykazać,
Zadanie 6 Rozwiązać podane równania:
że
na to, aby liczby z1 , z2 , z3 były wierzchołkami
a) z 2 + 4z + 5 = 0, b) z 2 + (2 − 4i)z − 11 + 2i = 0, c)
trójkąta
równobocznego potrzeba i wystarcza, by
z 3 −4z 2 +6z −4 = 0, d) z 3 −8 = 0, e) z 2 +iz +2 = 0,
z
+
z
+
z3 = 0.
1
2
f) z 3 + 3z 2 + 4z − 8 = 0, g) z 3 − 2i = 0.
Zadanie 20 Podane liczby zapisać w postaci
trygonometryczn
√
√
√ √
5 3
5
Zadanie 7 Kiedy kwadrat liczby a + bi, a, b ∈ R, a) i, b) 2− 2i, c) 3 + 3 3i, d) − 2 + 2 i, e) −10.
jest liczbą
a) rzeczywistą, b) ujemną, c) urojoną?
Zadanie 21 Podane liczby zapisać
√ w postaci wykładniczej:
a) −2i, b) 1 + i, c) −4, d) 3 − 3 3i.
Zadanie 8 Jakie muszą być argumenty liczb z i
Zadanie 22 Korzystając ze wzoru de Moivre’a
w, różnych od zera, aby
obliczyć podane wyrażenia:
a) iloczyn zw, b) iloraz wz
√
√
√
7
√1−i 6
a)(1 − 3i)4 , b) ( 22 + 22 i)10 , c) (1−i)
był liczbą rzeczywistą?
(1+i)5 , d) ( 3+i ) .
Zadanie 9 Wykazać, że
a) z + w = z̄ + w̄, b) zw = z̄ w̄, c) ( wz ) =
z̄
w̄ .
Zadanie 10 Wykazać, że 21 |z+w| ≤ max{|z|, |w|}.
Zadanie 11 Znaleźć warunek konieczny i dostateczny
na to, aby iloraz z−1
z+1 był liczbą
a) urojoną, b) rzeczywistą.
1