mpwc_03.

3. Przewodzenie ciepła.
Dyskretna aproksymacja zagadnienia przewodzenia ciepła
ilustruje sposób postępowania właściwy dla wszystkich
procesów fizycznych, w których transport odbywa się na drodze
dyfuzji np.:
• Przepływy potencjalne
• Dyfuzja pędu poprzez naprężenia lepkie
• Przepływy filtracyjne
3.1. Jednowymiarowe ustalone przewodzenie ciepła
równanie różniczkowe:
d  dT 
k  + S = 0
dx  dx 
(3.1)
równanie dyskretne:
a P TP = a E TE + aW TW + b
(3.2)
gdzie:
ke
(δx ) e
k
aW = w
(δx ) w
a P = a E + aW
b = S ∆x
aE =
(3.3)
(3.4)
(3.5)
(3.6)
21
Rozkład punktów węzłowych
Nierównomierny rozkład punktów węzłowych w obszarze
obliczeniowym odzwierciedlający intensywność zmian
wielkości zależnej może bardzo poprawić dokładność
rozwiązania
Rozkład punktów
podstawie:
węzłowych
zaprojektować
można
na
• Znajomości analitycznego rozwiązania zagadnienia
uproszczonego
lub
wyników
eksperymentu
pozwalających określić jakościowo intensywność
zmienności poszukiwanej niewiadomej
• Wstępnych obliczeń przy użyciu rzadkiej, jednorodnej
siatki punktów węzłowych
Nie istnieją ścisłe reguły pozwalające określić rozkład punktów
węzłowych. Właściwy rozkład punktów węzłowych dobierany
musi być indywidualnie do każdego zagadnienia
22
Przewodność ciepła na powierzchni łączącej objętości
kontrolne
Współczynnik przewodzenia ciepła może się zmieniać w
przestrzeni na skutek niejednorodności materiału ( kompozyty )
lub na skutek zależności przewodności materiału od temperatury
Rys.3.1. Nierównomierny rozkład punktów węzłowych
Liniowa interpolacja:
k e = f e k P + (1 − f e ) k E
(3.7)
gdzie współczynnik interpolacji określony jest następująco:
fe ≡
( δx ) e +
( δx ) e
(3.8)
23
Dyfuzyjny strumień ciepła transportowany poprzez
powierzchnie e:
qe =
ke ( TP − TE )
( δx ) e
(3.9)
Zakładając, że objętość kontrolna P jest wypełniona materiałem
o współczynniku przewodzenia k P , a objętość kontrolna E
materiałem o współczynniku przewodzenia k E strumień ciepła
wynosi:
qe =
TP − TE
( δx ) e − ( δx ) e +
+
kP
kE
(3.10)
Wprowadzając (3.8) do (3.10) uzyskuje się :
 1 − fe fe 
+ 
ke = 
kE 
 kP
−1
(3.11)
Jeżeli powierzchnia e jest usytuowana w połowie dystansu
pomiędzy punktami węzłowymi P i E, to :
ke−1
k P−1 + k E−1
=
2
(3.12)
24
lub
ke =
2k P k E
k P + kE
(3.13)
współczynnik przewodzenia ciepła na powierzchni
rozdzielającej objętości kontrolne wyrazić można jako średnią
harmoniczną wartości w punktach węzłowych
Wprowadzenie (3.13) do (3.3) prowadzi do zależności:
 ( δx ) e − ( δx ) e + 
aE = 
+
k E 
 kP
−1
(3.14)
Przypadki graniczne:
1. k E → 0 - materiał otaczający objętość kontrolną E jest
doskonałym izolatorem
wprowadzając do (3.13)
ke → 0
więc strumień ciepła przekazywanego przez powierzchnie e
spada do zera, co nie wynika z zależności (3.11)
25
2. k P >> k E ⇒ ke →
kE
fe
wnioski:
• współczynnik przewodzenia na powierzchni nie
zależy od wartości współczynnika wokół punktu
węzłowego P
k ( T − TE )
- ponieważ materiał wokół punktu
• qe = E P
x
δ
( )e+
węzłowego
P
jest
materiałem
dobrze
przewodzącym, stąd spadek temperatury odbywa się
nie na dystansie ( δx ) e ale na dystansie ( δx ) e+
Zastosowanie zależności (3.13) do oszacowania współczynnika
przewodzenia ciepła na powierzchniach rozdzielających
objętości kontrolne pozwala uwzględnić w obliczeniach
gwałtowne zmiany przewodności cieplnej ( np.. w materiałach
kompozytowych ) unikając stosowania bardzo gęstych siatek
26
Problem nieliniowości równania różniczkowego – zależność
współczynników układu równań od niewiadomej zmiennej
zależnej
Źródła nieliniowości w zagadnieniu przewodzenia ciepła:
• zależność współczynnika przewodzenia ciepła od
temperatury
• obecność członu źródłowego zależnego od temperatury
Rozwiązanie – zastosowanie metod iteracyjnych
1. Proces iteracyjny rozpoczyna się przyjmując pewną dowolną
wartość początkową zmiennej zależnej we wszystkich
punktach węzłowych.
2. Na podstawie tych wartości wylicza się wstępne wartości
współczynników w równaniach różnicowych.
3. Traktując układ równań różnicowych jako układ równań
liniowych wyznacza się nowe oszacowanie niewiadomej.
4. Powrót do punktu 2 wykorzystując nową wartość
niewiadomej. Proces ten należy powtarzać aż do momentu,
gdy zmienna zależna przestanie się zmieniać:
Uzyskane zostanie zbieżne rozwiązanie
27
Linearyzacja członu źródłowego
S = SC + S P TP
(3.15)
Przykłady różnych sposobów linearyzacji członu źródłowego,
który zależy niewidomej:
Przykład 1:
S = 5 − 4T
(3.16)
możliwe sposoby linearyzacji:
1. SC = 5, S P = −4 - metoda bezpośrednia, najbardziej oczywista
2. SC = 5 − 4TP* , S P = 0 - „rozwiązanie dla leniwych”
stosowane , gdy formuła S = S (T ) jest bardzo złożona
–
3. SC = 5 + 7TP* , S P = −11 - gradient funkcji S = S (T ) jest
większy niż w funkcji oryginalnej; zabieg taki na ogół zwalnia
zbieżność, ale jeżeli w równaniu występują inne silne
nieliniowości, to takie „zwolnienie zbieżności”, może być
jedynym środkiem jej uzyskania
28
Przykład 2:
S = 3 + 7T
(3.17)
dopuszczalne
tylko
wówczas,
gdy
1. SC = 3, S P = 7 rozwiązanie nie wymaga iteracji, w przeciwnym razie wystąpi
rozbieżność
2. SC = 3 + 7TP* , S P = 0 - rozwiązanie zalecane
3. SC = 3 + 9TP* , S P = −2 - sztuczny sposób tworzenia funkcji
malejącej, najczęściej zwalnia zbieżność
Przykład 3
S = 4 − 5T 3
(3.18)
1. SC = 4 − 5TP*3 , S P = 0 - rozwiązanie dla leniwych, nie
wykorzystuje istniejącej informacji
2. SC = 4, S P = −5TP*2 - rzeczywista zależność jest „bardziej
stroma”
3. Rozwiązanie zalecane:
*
(
(
)
)
dS
S = S +   TP − TP* = 4 − 5TP*3 − 15TP*2 TP − TP* (3.19)
 dT 
*
stąd:
SC = 4 + 10TP*3 , S P = −15TP*2
29
inearyzacja odpowiada stycznej do krzywej S = S (T ) dla
T = TP*
4. SC = 4 + 20TP*3 , S P = −25TP*2 - linearyzacja bardziej stroma niż
zależność dokładna na ogół zwalnia zbieżność
Rys. 3.1. Linearyzacja zależności z przykładu 3
30
Warunki brzegowe
Rys.3.2. Objętości kontrolne dla wewnętrznych I brzegowych
punktów węzłowych
Rodzaje warunków brzegowych
• dana temperatura na brzegu
• dany strumień ciepła
• strumień ciepła określony poprzez współczynnik wnikania
ciepła oraz temperaturę czynnika otaczającego brzeg
31
Rys.3.3.Połówkowa objętość kontrolna
Całkując równanie (3.1) w połówkowej objętości wokół punktu
brzegowego uzyskuje się:
q B − qi + ( SC + S P TB ) ∆x = 0
(3.20)
lub
qB −
ki ( TB − TI )
+ ( SC + S P TB ) ∆x = 0
( δx ) i
(3.21)
32
Przypadek 1: dany strumień ciepła q B :
a B TB = a I TI + b
(3.22)
gdzie:
aI =
ki
( δx ) i
(3.23)
b = S C ∆x + q B
(3.24)
a B = a I − S P ∆x
(3.25)
Przypadek 2: Dany współczynnik wnikania ciepła oraz
temperatura płyny sąsiadującego z brzegiem płyty:
(
q B = α Tf − TB
)
(3.26)
Stąd równanie określające temperaturę w brzegowym punkcie
węzłowym przybiera postać:
a B TB = a I TI + b
(3.27)
33
gdzie:
aI =
ki
( δx ) i
(2.28)
b = SC ∆x + αTf
(3.29)
a B = a I − S P ∆x + α
(3.30)
34
3.2. Jednowymiarowe nieustalone przewodzenie ciepła
ρc
∂T ∂  ∂T 
= k 
∂t ∂x  ∂x 
(3.31)
gdzie:
ρ = const - gęstość
c = const = – ciepło właściwe
równanie (3.31) zostaje scałkowane w objętości kontrolnej oraz
w przedziale czasu od t do t + ∆t :
e t + ∆t
ρc
∫∫
w
t
∂T
dtdx =
∂t
t + ∆t e
∂  ∂T 
 k  dxdt
∂x  ∂x 
w
∫∫
t
(3.32)
dla składnika niestacjonarnego zakłada się stałą wartość
temperatury w objętości kontrolnej:
e t + ∆t
ρc
∫∫
w
t
∂T
dtdx = ρc∆x TP1 − TP0
∂t
(
)
(3.32)
gdzie:
TP0 - temperatura w węźle w chwili t
TP1 - temperatura w węźle w chwili t + ∆t
35
wprowadzając (3.32) oraz poprzednią całkę składnika
dyfuzyjnego (2.7) do (3.31) uzyskuje się:
ρc∆x
(
t + ∆t
TP1
−
TP0
) ∫
=
t
 k e ( TE − TP ) k w ( TP − TW ) 
−

dt (3.33)
x
x
δ
δ
( )w 
 ( )e
w tym miejscu trzeba przyjąć założenie o zmienności
temperatury w punktach węzłowych w funkcji czasu, co można
zapisać ogólnie:
t + ∆t
∫ T dt = [ fT
1
P
P
]
+ (1 − f ) TP0 ∆t
(3.34)
t
gdzie:
waga f = 0,1
wprowadzenie podobnych zależności na temperaturę w
pozostałych punktach węzłowych pozwala zapisać zależność
(3.33) w postaci:
(
(
)
 k e TE1 − TP1 k w TP1 − TW1
∆x 1
TP − TP0 = f 
ρc
−
∆t
( δx ) w
 ( δx ) e
(
)
(
 k e TE0
+ (1 + f ) 

− TP0
( δx ) e
)− (
k w TP0
− TW0
( δx ) w
) 
) 

(3.35)

36
pomijając dla uproszczenia indeks 1 i pamiętając, że TP , TW , TE
oznaczają wartość w nowej chwili czasu zapisać można
następujące równanie różnicowe:
[
+ [a
]
[
a P TP = a E fTE + (1 − f ) TE0 + aW fTW + (1 − f ) TW0
0
P
− (1 − f ) a E − (1 − f )
]
aW TP0
]
(3.36)
gdzie:
aE =
ke
( δx ) e
(3.37)
aW =
kw
( δx ) w
(3.38)
a P0 =
ρc∆x
∆t
(3.39)
a P = fa E + faW + a P0
(3.40)
37
Schemat jawny, Cranka-Nicholsona oraz w pełni niejawny
Rys.3.2. Zmienność temperatury w funkcji czasu dla trzech
różnych schematów
Schemat jawny f = 0:
(
)
a P TP = a E TE0 + a w TW0 + a P0 − a E − aW TP0
(3.41)
Reguła nr 2 ! – dodatnie współczynniki
a 0P > a E + aW
(3.42)
38
zakładając:
∆x = ( δx) e = ( δx) w
(3.43)
oraz jednorodną przewodność cieplną :
k = const
(3.44)
warunek ten można wyrazić następująco:
ρc( ∆x )
∆t <
2k
2
(3.45)
Krok czasowy proporcjonalny do kwadratu rozdzielczości
przestrzennej !!
Schemat Cranka-Nicholsona f = 0.5
TE + TP0
TW + TW0
a P TP = a E
+ aW
2
2
a + aW  0

TP
+ a P0 − E

2


(3.46)
Reguła nr 2 !
a 0P >
a E + aW
2
(3.47)
39
Zakładając podobnie jak poprzednio jednorodną przewodność
cieplną oraz jednorodną siatkę warunek (3.47) zapisać można
następująco:
ρc( ∆x )
∆t <
k
2
(3.48)
W pełni niejawne równanie różnicowe
f =1
a P TP = a E TE + aW TW + b
(3.49)
gdzie:
aE =
ke
( δx ) e
(3.50)
aW =
kw
( δx ) w
(3.51)
a P0 =
ρc ∆x
∆t
(3.52)
b = SC ∆x + a P0 TP0
a P = a E + aW + a P0 − S P ∆x
(3.53)
(3.54)
Wszystkie współczynnik równania różnicowego są dodatnie –
schemat niejawny jest bezwarunkowo stabilny!
40
3.3. Dwu- i trójwymiarowe przewodzenie ciepła
Rys.3.3.Objętość kontrolna dal przypadku dwuwymiarowego
Równanie różniczkowe opisujące nieustalone dwuwymiarowe
przewodzenie ciepła
ρc
∂T ∂  ∂ T  ∂  ∂ T 
= k  + k  + S
∂t ∂x  ∂ x  ∂ y  ∂ y 
(3.55)
41
Całkując równanie (3.55) w
kontrolnej oraz w funkcji czasu:
e n t + ∆t
ρc
∫∫ ∫
∂T
dtdydx =
∂t
w s t
t + ∆t e n
+
∫ ∫∫
t
w s
dwuwymiarowej
objętości
t + ∆t n e
∂  ∂T 
 k  dxdydt
∂ x  ∂x 
s w
∫ ∫∫
t
 ∂ ∂T 
 k  dydxdt +
 ∂ y ∂y 
t + ∆t n e
(3.56)
∫ ∫ ∫ Sdtdxdy
t
s w
uzyskuje się następujące równanie różnicowe:
a P TP = a E TE + aW TW + a N TN + a S TS + b
(3.57)
aE =
k e ∆y
( δx ) e
(3.58)
aW =
k w ∆y
( δy ) w
(3.59)
aN =
k n ∆x
( δy ) n
(3.60)
aS =
k s ∆x
( δx ) s
(3.61)
ρc ∆x ∆ y
∆t
(3.62)
gdzie:
a 0P =
42
b = S C ∆x∆y + a P0 TP0
a P = a E + aW + a N + a S + a P0 − S P ∆x∆y
(3.63)
(3. 64)
Równanie różnicowe dla przypadku trójwymiarowego:
a P TP = a E TE + aW TW + a N TN + a S TS + a T TT + a B TB + b (3.65)
gdzie:
aE =
k e ∆y∆z
( δx ) e
(3.66)
aW =
k w ∆y∆z
( δx ) w
(3.67)
aN =
k n ∆z∆x
( δy ) n
(3.68)
aS =
k s ∆z∆x
( δy ) s
(3.69)
aT =
k t ∆ x∆ y
( δz ) s
(3.70)
aB =
kb ∆x∆y
( δz ) b
(3.71)
43
a 0P =
ρc ∆ x ∆ y ∆ z
∆t
(3.62)
b = SC ∆x∆y∆z + a 0P TP0
(3.63)
a P = a E + aW + a N + a S + a T + a B + a 0P − S P ∆x∆y∆z
Fizyczne
znaczenie
różnicowym:
współczynników
w
(3.64)
równaniu
a E , aW , a N ,K , a B - reprezentują przewodzenie ciepła pomiędzy
punktem P oraz odpowiednim punktem sąsiadującym
a P0 TP0 - oznacza energię wewnętrzną ( podzieloną przez ∆t )
zawartą w objętości kontrolnej w chwili czasu t
b - energia wewnętrzna plus szybkość generacji ciepła wyrażona
poprzez SC
44