instrukcja (*)

LABORATORIUM OPROGRAMOWANIA U
YTKOWEGO
ARKUSZ KALKULACYJNY
EXCEL
wiczenie nr 2.
ROZWI ZYWANIE PROBLEMÓW NUMERYCZNYCH
I ZAGADNIE IN YNIERSKICH
Cel wiczenia
Celem wiczenia jest zapoznanie si ze sposobami rozwi zywania zagadnie in ynierskich w
arkuszu kalkulacyjnym, w tym wymagaj cych stosowania oblicze iteracyjnych, z
uwzgl dnieniem optymalizacji. Zakres zagadnie in ynierskich obejmuje elektrotechnik ,
teori sterowania oraz analiz pól fizycznych.
Wymagany materiał: obsługa rodowiska Excel, metody kształtowania arkuszy i
skoroszytów, wprowadzanie i formatowanie danych i formuł, korzystanie z kreatora funkcji i
kreatora wykresów, tworzenie serii danych, metody adresowania komórek, kopiowanie
formuł, korzystanie z poł cze miedzy arkuszami, sposoby przeliczania arkusza, adresowanie
cykliczne, obliczenia iteracyjne, dodatek Solver, wykorzystanie scenariuszy.
Program wiczenia
Zadanie 1.
Utworzy arkusz kalkulacyjny obliczaj cy warto
czynników, z których pierwsze trzy maj posta :
wyra enia b d cego iloczynem 50-ciu
2
2
2
⋅
⋅
2 2+ 2 2+ 2+ 2
Zadanie 2.
Zbudowa arkusz kalkulacyjny pozwalaj cy oblicza warto n! bez stosowania odpowiedniej
funkcji standardowej, wykorzystuj c odwołania cykliczne. Funkcja powinna by liczona z
wykorzystaniem minimalnej liczby komórek arkusza Excel.
Zadanie 3
a) Utworzy arkusz kalkulacyjny umo liwiaj cy wyznaczenie pulsacji ωkr punktu
krytycznego charakterystyki cz stotliwo ciowej tj. dla ϕ(ωkr)=-180° członu o
transmitancji:
e − sL
1 + sN
wiedz c, e fazowa charakterystyka cz stotliwo ciowa takiego obiektu wyra a si
zale no ci :
G ( s) =
ϕ (ω ) = −arctg(ωN ) − ωL
Uwaga: parametrami arkusza powinny by opó nienie czasowe L i stała czasowa N. Nale y
wykorzysta mo liwo nadawania komórkom arkusza odpowiednich nazw.
b) Narysowa wykresy nast puj cych zale no ci:
ω kr = f (N )
ω kr = f (L)
przy L=const
przy N=const
Literatura pomocnicza:
Kaczorek, T. (1971) Teoria układów regulacji automatycznej, WPW Warszawa.
Zadanie 4.
Utworzy arkusz kalkulacyjny obliczaj cy warto ci pr dów I1-I6 oraz spadek napi cia na
opornikach R1 i R4 w obwodzie pr du stałego przedstawionego na rys.1.
R1
E1
E3
E2
I1
R5
R7
E5
R2
I2
I5 I4
E6
R3
R4
E4
I3
I6
R6
Rys. 1. Schemat obwodu elektrycznego pr du stałego.
Wykorzystuj c narz dzie scenariuszy przeanalizowa jak b dzie si zmieniało napi cie na
oporniku R4, gdy warto ci oporników R1 i R2 wzrosn 2, 3 i 4 – krotnie. Sporz dzi wykres
obrazuj cy t zale no . Warto ci poszczególnych oporników i sił elektromotorycznych
przedstawione s w tabeli 1.
E1=
45 V
E2=
E3=
E4=
E5=
E6=
R1=
R2=
10
26
34
5
20
5
6
V
V
V
V
V
R3=
R4=
R5=
R6=
8Ω
6Ω
5Ω
15 Ω
R7=
5Ω
Ω
Ω
Tabela 1 . Warto ci SEM oraz oporników w obwodzie pr du stałego.
Rozwi zanie problemu:
Przedstawiony na rys. 1 obwód pr du stałego mo na rozwi za metod macierzow ,
polegaj c na skonstruowaniu „n” równa z „n” niewiadomymi, tworz c równanie
macierzowe:
R*I=U,
(1)
gdzie R jest macierz oporów o wymiarze (n x n),
I – wektorem pr dów gał ziowych o wymiarze (n x 1),
U – wektorem ródeł wymuszaj cych o wymiarze (n x 1).
Mno c równanie (1) lewostronnie przez macierz odwrotn R-1 otrzymujemy warto ci
pr dów gał ziowych:
I=R-1*U
(2)
Przykładowo dla analizowanego obwodu pr du stałego mo emy napisa nast puj ce
równania:
E1-I1R1+E2-I2R2-I5R5-E5=0
E2-I2R2+E4-I4R4-I3R3+E3=0
E4-I4R4-I6R6+E6-I6R7+E5+I5R5=0
(3)
Po przekształceniach otrzymujemy
I4R2+I5(R1+R2+R5)+I6R1=E1+E2-E5
I4(R2+R3+R4)+I5R2-I6R3=E2+E3+E4
I4R4-I5R5+I6(R6+R7)=E4+E5+E6
I1=I5+I6
I2=I4+I5
I3=I4-I6
(4)
Przykładowy sposób rozwi zania takiego układu równa za pomoc arkusza kalkulacyjnego
jest przedstawiony na rys. 2.
Dane pocz tkowe:
Nazwa
Warto
Jednostka
E1=
E2=
E3=
E4=
E5=
E6=
R1=
R2=
R3=
R4=
R5=
45
10
26
34
5
20
5
6
8
6
5
V
V
V
V
V
V
OHM
OHM
OHM
OHM
OHM
R6=
R7=
15 OHM
5 OHM
Macierz Rezystancji R
6
20
6
16
6
-5
5
-8
20
-0,010858 0,046824 0,021444
0,0608035 -0,01221 -0,02009
0,0184582
-0,0171 0,038545
x
50
70
59
=
4 I4
1 I5
2 I6
3 I1
R
-1
U
spadek napi cia na R1
15 V
Komórka zawieraj ca formuł
obliczj c spadek napi cia
na oporniku R4
Napi cie na R4
30
Komórka zawieraj ca formuł
obliczj c spadek napi cia
na oporniku R4
5 I2
2 I3
Pr dy
gał ziowe
Rys. 2. Przykładowy sposób rozwi zania równania macierzowego I=R-1*U.
Przykładowa analiza przypadku UR4=f(R1,R2) za pomoc scenariusza arkusza kalkulacyjnego
została przedstawiona na rys. 3.
Podsumowanie scenariuszy
Bie ce warto ci:
r1=5,r2=6
r1=10,r2=12
r1=15,r2=18
Napi cie na R4
Kom. zmieniane:
5
5
10
15
re1
re2
6
6
12
18
Kom. wynikowe:
30
30
18,42203798
13,52237338
Nap_na_r4
Notatki: Kolumna bie cych warto ci reprezentuje warto ci zmienianych komórek w
momencie utworzenia raportu Podsumowanie scenariuszy. Zmieniane komórki dla ka dego
scenariusza s wyró nione kolorem szarym.
r1=20,r2=24
20
24
10,76612903
40
20
0
Serie1
1
2
30
3
4
18,422038 13,522373 10,766129
R1,R2 x n
Rys. 3. Przykład scenariusza analizuj cego zale no napi cia na oporniku R4 od warto ci
oporników R1 i R2.
Zadanie 5.
Utworzy arkusz umo liwiaj cy analiz rozkładu pola temperaturowego uwarstwionej ciany
izolacyjnej przedstawionej na rys.4. Za pomoc dodatku „Microsoft Excel Solver” wyznaczy
optymalne grubo ci ∆x1 i ∆x2 warstwy ogniotrwałej i izolacyjnej ciany, oraz współczynniki
przewodno ci cieplnej obydwu warstw wiedz c, e temperatura na powierzchni wewn trznej
ciany wynosi ϑw=850°C, a temperatura dopuszczalna warstwy ogniotrwałej ϑd=600°C.
Dopuszczalna temperatura powierzchni zewn trznej ciany wynosi ϑz=80°C.
z
P
w
x
d
y
Warstwa
ogniotrwała
z
Warstwa
izolacyjna
1
X1
X2
Rys. 4. Przekrój ciany uwarstwionej.
2
Rozwi zanie:
Równanie teoretyczne opisuj ce przewodzenie ciepła sformułował w roku 1807 Fourier.
Brzmi ono nast puj co:
G sto strumienia cieplnego jest wprost proporcjonalna do gradientu temperatury:
q = −λ grad ϑ
(5),
Współczynnik λ jest współczynnikiem proporcjonalno ci i nosi nazw przewodno ci cieplnej
wła ciwej [W/mK]. Dla danego ciała im wi kszy jest współczynnik λ tym lepiej przewodzi
ono ciepło. Przykładowo: dla metali współczynnik λ wynosi ok. kilkudziesi ciu W/mK
(nawet do 400 W/mK w przypadku srebra). Dobrej jako ci materiały termoizolacyjne
charakteryzuj si współczynnikiem λ wynosz cym dziesi te cz ci W/mK.
G sto strumienia cieplnego qn [W/m2K] wyra a stosunek mocy dostarczanej do ciany do
jej powierzchni:
P
q=
(6)
S
W przypadku płaskiej ciany, której wymiary w kierunku osi „y” i „z” s du o wi ksze od
wymiaru wzdłu osi „x” (grubo ci ciany) mamy do czynienia z jednowymiarowym
przepływem ciepła tylko wzdłu osi „x”. W takim przypadku równanie Fouriera przybierze
posta :
∆ϑ
dϑ
= −λ
(7)
q = −λ
dx
∆x
gdzie:
∆x – grubo elementu dyskretyzacji, na które została podzielona ciana,
∆ϑ – ró nica temperatur wzdłu grubo ci ∆x.
Przyrównuj c do siebie równania (6) i (7) otrzymujemy wzór na warto temperatury na styku
powierzchni analizowanych cian w stanie cieplnie ustalonym.
Dane do oblicze :
λ2=
∆x2=
λ1=
∆x1=
ϑp=
ϑd=
ϑz=
0,3
0
0,8
0
850
600
80
Przewodno cieplna warstwy izolacyjnej
Szukana grubo warstwy izolacyjnej
Przewodno cieplna warstwy ogniotrwałej
Szukana grubo warstwy ogniotrwałej
Temperatura na powierzchni wewn trznej ciany
Temperatura na styku warstwy ogniotrwałej i izolacyjnej
Temperatura na powierzchni zewn trznej ciany