Referaty

Tematyka referatów na Seminarium
w roku akademickim 2014/2015
1. Elementy podstaw matematyki. Ciagi
˛ liczbowe. (Anna Głowacka, 19. X. 2014)
1.1 Podać definicj˛e funkcji f : X → Y. Co to jest dziedzina, przeciwdziedzina, zbiór
wartości? Co to jest funkcja różnowartościowa, „na” oraz bijekcja? Co to jest
funkcja odwrotna? Podać przykłady.
1.2 Podać definicj˛e ciagu.
˛
Podać definicj˛e granicy ciagu.
˛
Wskazać interpretacj˛e geometryczna.˛ Co nazywamy ciagiem
˛
zbieżnym, a co rozbieżnym? Podać przykłady.
Podać własności rachunkowe granicy dla ciagów
˛
zbieżnych i rozbieżnych.
1.3 Podać definicj˛e podciagu
˛ (liczbowego). Co to jest punkt skupienia ciagu?
˛
Podać
przykłady. Co to jest zbiór domkni˛ety, zwarty (określenie dla podzbiorów R za
pomoca˛ ciagów)?
˛
Podać przykłady i ilustracj˛e geometryczna.˛ Jaki jest zwiazek
˛
mi˛edzy ciagami
˛
ograniczonymi i zbieżnymi?
2. Szeregi liczbowe. (Monika Adamiak, 22. XI. 2014)
2.1 Podać definicj˛e szeregu liczbowego. Co to znaczy, że szereg jest zbieżny? Co to
znaczy, że szereg jest rozbieżny? Podać przykłady. Podać warunek konieczny
zbieżności szeregu.
2.2 Sformułować kryterium porównawcze zbieżności szeregu o wyrazach nieujemnych oraz kryteria d’Alemberta i Cauchy’ego zbieżności szeregu.
2.3 Co to znaczy, że szereg liczbowy jest zbieżny? Co to jest zbieżność bezwzgl˛edna
i warunkowa? Podać (również na przykładach) zależności pomi˛edzy tymi zbieżnościami i zbieżnościa˛ w zwykłym sensie. Sformułować i zilustrować na przykładach kryterium Dirichleta zbieżności szeregu.
3. Granica funkcji. (Beata St˛epień, 23. XI. 2014)
3.1 Sformułować definicj˛e w sensie Heinego i Cauchy’ego granicy funkcji w punkcie
(we wszystkich przypadkach). Podać ilustracj˛e graficzna˛ w różnych sytuacjach.
3.2 Sformułować definicj˛e Heinego i Cauchy’ego funkcji ciagłej
˛
w punkcie. Co to jest
funkcja ciagła?
˛
Sformułować i zilustrować graficznie własność Darboux.
4. Pochodna funkcji. (Monika Tworożyńska, 6. XII. 2014)
4.1 Co to jest iloraz różnicowy? Podać definicj˛e pochodnej funkcji f : ( a, b) → R. Co
to znaczy, że funkcja jest różniczkowalna w punkcie, w zbiorze? Zinterpretować
geometrycznie, poj˛ecia ilorazu różnicowego i pochodnej. Podać definicje stycznej
i siecznej.
4.2 Podać własności rachunkowe pochodnej. Podać zwiazek
˛
różniczkowalności i cia˛
głości funkcji. Podać odpowiedni przykład. Sformułować twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej i złożeniu funkcji.
4.3 Co to jest pochodna funkcji w punkcie? Co to jest funkcja różniczkowalna? Jakie
funkcje sa˛ różniczkowalne? Sformułować twierdzenie o zwiazku
˛
pochodnej z
monotonicznościa.˛
1
4.4 Sformułować twierdzenie o zwiazku
˛
pochodnej z monotonicznościa.˛ Sformułować twierdzenie Rolle’a i Lagrange’a oraz dokonać interpretacji geometrycznej
tych twierdzeń.
5. Ekstrema funkcji. Pochodne wielu zmiennych. (6. XII. 2014)
5.1. Podać definicj˛e pochodnej kierunkowej funkcji f : G → R, G ⊂ Rn . Dokonać
interpretacji geometrycznej. Co to sa˛ pochodne czastkowe?
˛
Co to jest gradient
n
funkcji f : G → R, G ⊂ R ? Co to jest jakobian funkcji?
5.2. Sformułować definicj˛e ekstremum (maksimum, minimum) funkcji jednej zmiennej i wielu zmiennych rzeczywistych. Co to jest ekstremum (maksimum, minimum) właściwe, globalne? Sformułować warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji jednej zmiennej i wielu zmiennych.
5.3. Sformułować definicj˛e ekstremum (maksimum, minimum) funkcji jednej zmiennej i wielu zmiennych rzeczywistych. Sformułować warunek wystarczajacy
˛ istnienia ekstremum funkcji różniczkowalnej jednej zmiennej i dwu zmiennych.
6. Całka nieoznaczona. Całka Riemanna. (10. I. 2014)
6.1. Co to jest funkcja pierwotna? Co to jest całka nieoznaczona.
6.2. Sformułować własności rachunkowe całki nieoznaczonej.
6.3. Podać podstawowe wzory całek z funkcji elementarnych. Zilustrować je na przykładach.
6.4. Całkowanie przez cz˛eści i przez podstawienie. Podać twierdzenia i przykłady
zastosowania.
6.5. Podać definicj˛e podziału, sumy górnej i sumy dolnej Darboux, całki dolnej i górnej Darboux oraz całki Riemanna. Jakie funkcje sa˛ całkowalne w sensie Riemanna? Podać przykład funkcji niecałkowalnej w sensie Riemanna.
6.6. Sformułować podstawowe twierdzenie rachunku całkowego oraz twierdzenie o
wartości średniej. Zilustrować geometrycznie to ostatnie twierdzenie. Jakie sa˛
geometryczne zastosowania całki Riemanna?
Marek Majewski,
Łódź, 3 listopada 2014.
2