3–9 Ćwiczenie nr. 9 Swobodne spadanie

3–9
Ćwiczenie nr. 9
Swobodne spadanie
Andrzej Zięba
Cel ćwiczenia
Obserwacja swobodnego spadania przy użyciu elektronicznej rejestracji czasu przelotu kuli
przez punkty pomiarowe. Wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego.
Wprowadzenie
Przez ruch swobodny rozumiemy ruch, w którym, oprócz grawitacji, nie działają na ciało
żadne inne siły. Nazwa „swobodne spadanie” zarezerwowana jest dla ruchu swobodnego w dół
wzdłuż prostej pionowej. Na odległościach małych w porównaniu z rozmiarami Ziemi swobodne
spadanie jest ruchem jednostajnie przyspieszonym, ze stałym przyspieszeniem g niezależnym
od rodzaju ciała.
Z codziennego doświadczenia wiemy, że swobodne spadanie jest zjawiskiem szybkim w ludzkiej skali czasu. W czasach Galileusza i Newtona ilościowy pomiar czasu w zjawisku swobodnego
spadania był niemożliwy. W naszym eksperymencie problem ten rozwiązano dzięki zastosowaniu elektronicznego pomiaru czasu.
Rysunek 9.1 przedstawia układ pomiarowy. Spadające ciało jest kulą spadającą wzdłuż
pionowej łaty.
Rysunek 9.1: Schemat mechaniczny układu pomiarowego: Z – źródło światła (reflektorek), D – detektor
światła (fotodioda), W – wyrzutnik kul
1
Na łacie w trzech miejscach o współrzędnych x1 , x2 i x3 znajdują się trzy fotokomórki
umożliwiające pomiar trzech odpowiadających czasów t1 , t2 i t3 . Dla każdego z trzech punktów
pomiarowych możemy zapisać równanie ruchu jednostajnie przyspieszonego:
t2
x1 = x0 + v0 t1 + a 1 ,
2
t2
x2 = x0 + v0 t2 + a 2 ,
(9.1)
2
t2
x3 = x0 + v0 t3 + a 3 ,
2
gdzie v0 oraz x0 oznaczają prędkość początkową oraz położenie początkowe. Formuły (9.1)
tworzą układ trzech równań liniowych z trzema niewiadomymi x0 , v0 i a. Rozwiązanie układu
równań umożliwia wyznaczenie przyspieszenia, z jakim porusza się kulka z wzoru
2
a=
t3 − t1
x3 − x2 x2 − x1
−
.
t3 − t2
t2 − t1
(9.2)
Eliminacja wpływu oporu powietrza
Ruch kulki jest spadaniem prawdziwie swobodnym, jeżeli eksperyment wykonamy w próżni.
Wykonując eksperyment w powietrzu uzyskamy wartości przyspieszenia kulki a nieco mniejsze
od przyspieszenia ziemskiego g. Dlatego, że oprócz dominującej siły grawitacji, na kulę działają, przeciwnie skierowane siły wyporu Archimedesa i oporu powietrza. Wypadkową siłę F
działającą na kulę zapiszemy w postaci wzoru
F = ρV g − ρp V g − CA
ρp v 2
.
2
(9.3)
Pierwszy jego składnik ρV g oznacza siłę grawitacji mg, przy czym masa spadającego ciała jest
przedstawiona jako iloczyn objętości V i gęstości ρ.
Składnik ρp V g jest siłą wyporu Archimedesa, symbol ρp oznacza gęstość ośrodka (dla powietrza 1, 2 · 10−3 g/cm3 ).
Trzeci składnik określa siłę oporu powietrza. W warunkach naszego eksperymentu opływ
powietrza wokół kuli ma charakter turbulentny, z siłą oporu w przybliżeniu proporcjonalną do
kwadratu prędkości ruchu v. Ponadto siła oporu jest proporcjonalna do gęstości ośrodka ρp ,
pola przekroju poprzecznego A i współczynnika oporu C zależnego od kształtu ciała (dla kuli
C ≈ 0, 5).
Zgodnie z II zasadą dynamiki przyspieszenie działające na ciało wynosi
a=
F
=
m
ρV g − ρp V g − CA
ρV
ρp v 2
2 .
(9.4)
Po podstawieniu wzorów na objętość i pole przekroju poprzecznego kuli ( V = 4/3πr3 , A = πr2 )
i wykonaniu przekształceń algebraicznych otrzymujemy
1
a = g − const ,
ρ
const = gρp +
2
3 Cρp v 2
.
8 r
(9.5)
Uzyskany rezultat jest przybliżeniem dlatego, że prędkość v i w konsekwencji siła oporu nie
jest stała w czasie, zatem ruch kulki w powietrzu tylko w przybliżeniu pozostaje ruchem jednostajnie przyspieszonym 1 . Równanie (9.5) jest jednak wystarczająco dokładne do interpretacji
naszego eksperymentu.
Różnica g − a jest proporcjonalna do 1/ρ , czyli coraz większa dla coraz lżejszych kul.
Sugeruje to metodę eliminacji czynników zakłócających na pomiar przyspieszenia ziemskiego.
Eksperyment wykonamy przy użyciu kul o tym samym promieniu r, ale wykonanych z materiałów o różnej gęstości ρ (Pb, Fe, mosiądz, Al, plastik, drzewo). Ze zmierzonych współrzędnych
x1 , x2 , x3 i czasów t1 , t2 , t3 obliczamy – dla każdej kuli z osobna – przyspieszenie a. Wykresem
zależności a od odwrotności gęstości 1/r jest, zgodnie z równaniem (9.5), prosta o ujemnym
nachyleniu. Składnik stały równania prostej (punkt przecięcia z osią pionową) określa wartość
przyspieszenia ziemskiego g. Z wartości współczynnika nachylenia można uzyskać współczynnik
oporu C.
Realizacja pomiaru czasu
Rysunek 9.2 pokazuje schemat elektryczny układu pomiarowego. Każda z trzech fotokomórek składa się ze źródła światła (reflektorka lub lasera) oraz fotodiody – elementu półprzewodnikowego spełniającego rolę detektora. Trzy fotodiody połączone szeregowo są normalnie
oświetlone, przepływa przez nie określony prąd tworzony przez elektrony wyzwolone w objętości
czynnej fotodiod przez fotony światła. Przerwanie strumienia światła przez przelatującą kulę
powoduje przerwanie generacji nośników prądu w jednej z fotodiod i w konsekwencji zmniejszenie prądu płynącego przez obwód do wartości bliskiej zeru. Zgodnie z prawem Ohma powoduje
to proporcjonalne zmniejszenie napięcia na oporze R połączonym szeregowo z układem fotodiod.
Przebieg napięcia na oporze R rejestrowany jest przy użyciu komputera z kartą oscyloskopową.
Opis działania karty przedstawiono w podrozdziale 2.5. Krótko mówiąc, kartę uważać można za
szybki woltomierz, który w zadanym krótkim czasie wykonuje tysiące pojedynczych pomiarów
napięcia, zapamiętuje rezultaty i wyświetla je w formie krzywej U (t) na monitorze komputera.
Na sygnale napięciowym U (t) (rys. 9.3) widzimy trzy skierowane w dół piki związane z przelotem kulki przez kolejne fotokomórki. Szerokość kolejnych pików maleje gdyż prędkość kuli
rośnie.
Aparatura
Przyrząd do badania swobodnego składa się z łaty, wyrzutnika kul, układu trzech fotokomórek i przymiaru milimetrowego. Źródłami światła w jednym zestawie ćwiczeniowym są
reflektorki z żarówkami halogenowymi, w drugim – lasery. W skład układu elektrycznego wchodzą ponadto: zasilacz 5 V, płytka z bateryjką 9 V i oporem R = 20 kW i komputer z kartą
oscyloskopową.
Wykonanie ćwiczenia
1. Zestawić (lub sprawdzić) układ elektryczny detekcji światła wg schematu z rysunku 9.1.
2. Uruchomić komputer z kartą. Sprawdzić działanie układu pomiarowego wyzwalając kartę
1
Dokładnym rozwiązaniemrrównania ruchu (9.4), dla warunków początkowych x0 = 0 i v0 = 0, jest funkcja:
t
8 ρr
x(t) = g 0 τ 2 ln cosh , τ =
, g 0 = g(1 − ρp /ρ) . Stała τ jest charakterystycznym czasem określającym
τ
3 Cρp g 0
rodzaj ruchu: dla t < τ zbliżony do jednostajnie przyspieszonego, dla t > τ przechodzący w ruch jednostajny.
3
Rysunek 9.2: Schemat połączeń elektrycznych dla źródeł i detektorów światła
Rysunek 9.3: Zarejestrowany przebieg U (t) oraz określenie czasów (t1 , t2 lub t3 ) na wykresie z 16krotnie rozciągniętą skalą czasu
przy długim czasie pomiaru (8,192 s) i przerywając w tym czasie ręką światło w kolejnych
fotokomórkach.
3. Aby uzyskać jak największą dokładność pomiaru i uwidocznić wpływ oporu powietrza,
odległości między fotokomórkami winny być nie mniejsze niż 50 cm. Współrzędne położenia x1 , x2 i x3 odczytujemy z dokładnością nie mniejszą niż 1 mm i od razu obliczamy
różnice x2 − x1 oraz x3 − x2 .
4. Właściwy eksperyment polega na jednoczesnym wyzwoleniu karty i przesunięciu zasuwki
powodującej spadanie kulki. Stosować czas pomiaru 819,2 2 ms. Jeżeli nie uda się zarejestrować trzech pików za pierwszym razem, należy powtarzać doświadczenie aż do skutku.
2
Taki czas pomiaru wynika z faktu, że pracująca w układzie dwójkowych pamięć karty ma 213 = 8192 komórek
pamięci, na każdą przypada czas dokładnie 0,1 ms.
4
5. Dla zarejestrowanego sygnału wykonujemy odczyt czasów t1 , t2 i t3 . W tym celu:
a) „najeżdżamy” kursorem na dany pik wykorzystując przyciski <, > (przesuw co cztery
punkty ekranu) oraz →, ← (przesuw co 1 punkt),
b) przy użyciu lupy czasowej (kilkakrotne naciśnięcie +) rozciągamy 16-krotnie skalę czasu,
c) ustawiamy kursor na środek piku (rys. ??),
d) czas spisujemy z odpowiedniego okienka na monitorze (z dokładnością 0,1 ms),
e) wykonujemy odczyt czasu dla dwu pozostałych pików (pierwotną skalę czasu przywraca
kilkakrotne naciśnięcie -).
6. Dla każdego pomiaru obliczamy różnice t2 − t1 , t3 − t2 , i t3 − t1 . Na bieżąco obliczamy też
wartość a. Jeżeli nie otrzymaliśmy około 9÷10 m/s2 , trzeba sprawdzić, czy nie popełniamy
błędu grubego przy pomiarze, zapisie lub obliczeniach.
7. Pomiar powtarzamy dla kolejnych kul. Można to zrobić na dwa sposoby: albo przy tych
samych położeniach x1 , x2 i x3 , albo zmieniając je nieznacznie za każdym razem (w granicach kilku cm). Wybór metody pomiaru ma wpływ na obliczanie niepewności pomiaru,
vide pkt 4 opracowania wyników.
Uwaga. Jeżeli nie zdążymy dla wszystkich, wybierać kule o wyraźnie różnych gęstościach.
Gęstości kul są podane.
Opracowanie wyników
1. Zestawić rezultaty w tabeli zawierającej bezpośrednie wyniki pomiaru, wartości różnic
t3 – t2 , t2 – t1 , t3 – t1 i obliczone wartości przyspieszenia a.
2. Wykonać wykres a w funkcji 1/ρ.
3. Dopasować prostą metodą najmniejszych kwadratów. Przyspieszenie ziemskie g jest składnikiem stałym równania prostej
4. Uwaga na temat oceny niepewności g:
a) Jeżeli każdy pomiar wykonano dla innych wartości x1 , x2 i x3 , uzyskaną z wzorów
metody najmniejszych kwadratów niepewność u(b) utożsamiamy wprost z u(g).
b) Gdy pomiary dla kolejnych kul wykonano nie zmieniając położeń x1 , x2 i x3 , obliczona
wartość u(b) jest składnikiem niepewności g pochodzącym tylko od błędu przypadkowego
pomiaru czasów t1 , t2 i t3 . Składnik pochodzący od niepewności pomiaru długości obliczyć
trzeba z wzoru (9.2) za pomocą prawa przenoszenia niepewności, przyjmując określoną
wartość u(x). Obydwa składniki zsumować geometrycznie.
5. Czy uzyskana wartość g jest zgodna, w granicach niepewności rozszerzonej, z wartością
tabelaryczną (por. tab. 9.1)?
Tabela 9.1: Zależność przyspieszenia ziemskiego od szerokości geograficznej Φ
Φ[◦ ]
0
40
50
60
90
g[m/s2 ]
9,780
9.802
9.811
9.819
9.832
5