Ćwiczenie 9. Swobodne spadanie

Ćwiczenie 9. Swobodne spadanie
Andrzej Zięba
Cel ćwiczenia
Obserwacja swobodnego spadania przy użyciu elektronicznej rejestracji czasu przelotu kuli przez punkty pomiarowe. Wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego.
Wprowadzenie
Przez ruch swobodny rozumiemy ruch, w którym, oprócz grawitacji, nie działają
na ciało żadne inne siły. Nazwa „swobodne spadanie” zarezerwowana jest dla ruchu
swobodnego w dół wzdłuż prostej pionowej. Na odległościach małych w porównaniu
z rozmiarami Ziemi swobodne spadanie jest ruchem jednostajnie przyspieszonym, ze
stałym przyspieszeniem g niezależnym od rodzaju ciała.
Z codziennego doświadczenia wiemy, że swobodne spadanie jest zjawiskiem szybkim w ludzkiej skali czasu. W czasach Galileusza i Newtona ilościowy pomiar czasu
w zjawisku swobodnego spadania był niemożliwy. W naszym eksperymencie problem
ten rozwiązano dzięki zastosowaniu elektronicznego pomiaru czasu.
Rysunek 1 przedstawia układ pomiarowy. Spadające ciało jest kulą spadającą
wzdłuż pionowej łaty.
Rys. 1. Schemat mechaniczny układu pomiarowego: Z – źródło światła
(reflektorek), D – detektor światła (fotodioda), W – wyrzutnik kul
9-1
Na łacie w trzech miejscach o współrzędnych x1 , x2 i x3 znajdują się trzy fotokomórki umożliwiające pomiar trzech odpowiadających czasów t1 , t2 i t3 . Dla każdego z
trzech punktów pomiarowych możemy zapisać równanie ruchu jednostajnie przyspieszonego:
t2
x1 = x0 + v0 t1 + a 1 ,
2
x2 = x0 + v0 t2 + a
t22
,
2
(9.1)
t23
,
2
gdzie v0 oraz x0 oznaczają prędkość początkową oraz położenie początkowe. Formuły
(9.1) tworzą układ trzech równań liniowych z trzema niewiadomymi x0 , v0 i a. Rozwiązanie układu równań umożliwia wyznaczenie przyspieszenia, z jakim porusza się
kulka z wzoru
x3 − x2
x2 − x1
2
−
.
(9.2)
a=
t 3 − t1 t 3 − t2
t2 − t 1
x3 = x0 + v0 t3 + a
Eliminacja wpływu oporu powietrza
Ruch kulki jest spadaniem prawdziwie swobodnym, jeżeli eksperyment wykonamy w próżni. Wykonując eksperyment w powietrzu uzyskamy wartości przyspieszenia
kulki a nieco mniejsze od przyspieszenia ziemskiego g. Dlatego, że oprócz dominującej siły grawitacji, na kulę działają, przeciwnie skierowane siły wyporu Archimedesa
i oporu powietrza. Wypadkową siłę F działającą na kulę zapiszemy w postaci wzoru
F = ρV g − ρp V g − CA
ρp v 2
.
2
(9.3)
Pierwszy jego składnik ρV g oznacza siłę grawitacji mg, przy czym masa spadającego
ciała jest przedstawiona jako iloczyn objętości V i gęstości ρ.
Składnik ρp V g jest siłą wyporu Archimedesa, symbol ρp oznacza gęstość ośrodka
(dla powietrza 1, 2 · 10−3 g/cm3 ).
Trzeci składnik określa siłę oporu powietrza. W warunkach naszego eksperymentu
opływ powietrza wokół kuli ma charakter turbulentny, z siłą oporu w przybliżeniu
proporcjonalną do kwadratu prędkości ruchu v. Ponadto siła oporu jest proporcjonalna do gęstości ośrodka ρp , pola przekroju poprzecznego A i współczynnika oporu C
zależnego od kształtu ciała (dla kuli C ≈ 0, 5).
9-2
Zgodnie z II zasadą dynamiki przyspieszenie działające na ciało wynosi
ρp v 2
ρV g − ρp V g − CA
F
2 .
a=
=
m
ρV
(9.4)
Po podstawieniu wzorów na objętość i pole przekroju poprzecznego kuli ( V = 4/3πr3 ,
A = πr2 ) i wykonaniu przekształceń algebraicznych otrzymujemy
1
a = g − const ,
ρ
const = gρp +
3 Cρp v 2
.
8 r
(9.5)
Uzyskany rezultat jest przybliżeniem dlatego, że prędkość v i w konsekwencji siła oporu nie jest stała w czasie, zatem ruch kulki w powietrzu tylko w przybliżeniu pozostaje
ruchem jednostajnie przyspieszonym∗ . Równanie (9.5) jest jednak wystarczająco dokładne do interpretacji naszego eksperymentu.
Różnica g − a jest proporcjonalna do 1/ρ , czyli coraz większa dla coraz lżejszych
kul. Sugeruje to metodę eliminacji czynników zakłócających na pomiar przyspieszenia
ziemskiego. Eksperyment wykonamy przy użyciu kul o tym samym promieniu r, ale
wykonanych z materiałów o różnej gęstości ρ (Pb, Fe, mosiądz, Al, plastik, drzewo).
Ze zmierzonych współrzędnych x1 , x2 , x3 i czasów t1 , t2 , t3 obliczamy – dla każdej kuli
z osobna – przyspieszenie a. Wykresem zależności a od odwrotności gęstości 1/r jest,
zgodnie z równaniem (9.5), prosta o ujemnym nachyleniu. Składnik stały równania
prostej (punkt przecięcia z osią pionową) określa wartość przyspieszenia ziemskiego g.
Z wartości współczynnika nachylenia można uzyskać współczynnik oporu C.
Realizacja pomiaru czasu
Rysunek 2 pokazuje schemat elektryczny układu pomiarowego. Każda z trzech
fotokomórek składa się ze źródła światła (reflektorka lub lasera) oraz fotodiody – elementu półprzewodnikowego spełniającego rolę detektora. Trzy fotodiody połączone
szeregowo są normalnie oświetlone, przepływa przez nie określony prąd tworzony przez
elektrony wyzwolone w objętości czynnej fotodiod przez fotony światła. Przerwanie
strumienia światła przez przelatującą kulę powoduje przerwanie generacji nośników
prądu w jednej z fotodiod i w konsekwencji zmniejszenie prądu płynącego przez obwód do wartości bliskiej zeru. Zgodnie z prawem Ohma powoduje to proporcjonalne
zmniejszenie napięcia na oporze R połączonym szeregowo z układem fotodiod.
∗ Dokładnym
rozwiązaniem równania ruchu
r (4), dla warunków początkowych x0 = 0 i v0 = 0,
8 ρr
t
0
2
jest funkcja: x(t) = g τ ln cosh , τ =
, g 0 = g(1 − ρp /ρ) . Stała τ jest charakteryτ
3 Cρp g 0
stycznym czasem określającym rodzaj ruchu: dla t < τ zbliżony do jednostajnie przyspieszonego,
dla t > τ przechodzący w ruch jednostajny.
9-3
Przebieg napięcia na oporze R rejestrowany jest przy użyciu komputera z kartą
oscyloskopową. Opis działania karty przedstawiono w podrozdziale 2.5. Krótko mówiąc, kartę uważać można za szybki woltomierz, który w zadanym krótkim czasie
wykonuje tysiące pojedynczych pomiarów napięcia, zapamiętuje rezultaty i wyświetla je w formie krzywej U (t) na monitorze komputera. Na sygnale napięciowym U (t)
(rys. 3) widzimy trzy skierowane w dół piki związane z przelotem kulki przez kolejne
fotokomórki. Szerokość kolejnych pików maleje gdyż prędkość kuli rośnie.
Rys. 2. Schemat połączeń elektrycznych dla źródeł i detektorów światła
Rys. 3. Zarejestrowany przebieg U (t) oraz określenie czasów (t1 , t2 lub t3 ) na
wykresie z 16-krotnie rozciągniętą skalą czasu
9-4
Aparatura
Przyrząd do badania swobodnego składa się z łaty, wyrzutnika kul, układu trzech
fotokomórek i przymiaru milimetrowego. Źródłami światła w jednym zestawie ćwiczeniowym są reflektorki z żarówkami halogenowymi, w drugim – lasery. W skład
układu elektrycznego wchodzą ponadto: zasilacz 5 V, płytka z bateryjką 9 V i oporem R = 20 kΩ i komputer z kartą oscyloskopową.
Wykonanie ćwiczenia
1. Zestawić (lub sprawdzić) układ elektryczny detekcji światła wg schematu z rysunku 1.
2. Uruchomić komputer z kartą. Sprawdzić działanie układu pomiarowego wyzwalając kartę przy długim czasie pomiaru (8,192 s) i przerywając w tym czasie
ręką światło w kolejnych fotokomórkach.
3. Aby uzyskać jak największą dokładność pomiaru i uwidocznić wpływ oporu
powietrza, odległości między fotokomórkami winny być nie mniejsze niż 50 cm.
Współrzędne położenia x1 , x2 i x3 odczytujemy z dokładnością nie mniejszą
niż 1 mm i od razu obliczamy różnice x2 − x1 oraz x3 − x2 .
4. Właściwy eksperyment polega na jednoczesnym wyzwoleniu karty i przesunięciu
zasuwki powodującej spadanie kulki. Stosować czas pomiaru 819,2∗ ms. Jeżeli
nie uda się zarejestrować trzech pików za pierwszym razem, należy powtarzać
doświadczenie aż do skutku.
5. Dla zarejestrowanego sygnału wykonujemy odczyt czasów t1 , t2 i t3 . W tym
celu:
a) „najeżdżamy” kursorem na dany pik wykorzystując przyciski <, > (przesuw
co cztery punkty ekranu) oraz →, ← (przesuw co 1 punkt),
b) przy użyciu lupy czasowej (kilkakrotne naciśnięcie +) rozciągamy 16-krotnie
skalę czasu,
c) ustawiamy kursor na środek piku (rys.3),
d) czas spisujemy z odpowiedniego okienka na monitorze (z dokładnością 0,1 ms),
e) wykonujemy odczyt czasu dla dwu pozostałych pików (pierwotną skalę czasu
przywraca kilkakrotne naciśnięcie –).
6. Dla każdego pomiaru obliczamy różnice t2 − t1 , t3 − t2 , i t3 − t1 . Na bieżąco
obliczamy też wartość a. Jeżeli nie otrzymaliśmy około 9 ÷ 10 m/s2 , trzeba
sprawdzić, czy nie popełniamy błędu grubego przy pomiarze, zapisie lub obliczeniach.
∗ Taki
czas pomiaru wynika z faktu, że pracująca w układzie dwójkowych pamięć karty ma 213 =
8192 komórek pamięci, na każdą przypada czas dokładnie 0,1 ms.
9-5
7. Pomiar powtarzamy dla kolejnych kul. Można to zrobić na dwa sposoby: albo
przy tych samych położeniach x1 , x2 i x3 , albo zmieniając je nieznacznie za
każdym razem (w granicach kilku cm). Wybór metody pomiaru ma wpływ na
obliczanie niepewności pomiaru, vide pkt 4 opracowania wyników.
Uwaga. Jeżeli nie zdążymy dla wszystkich, wybierać kule o wyraźnie różnych
gęstościach. Gęstości kul są podane.
Opracowanie wyników
1. Zestawić rezultaty w tabeli zawierającej bezpośrednie wyniki pomiaru, wartości
różnic t3 – t2 , t2 – t1 , t3 – t1 i obliczone wartości przyspieszenia a.
2. Wykonać wykres a w funkcji 1/ρ.
3. Dopasować prostą metodą najmniejszych kwadratów. Przyspieszenie ziemskie g
jest składnikiem stałym równania prostej
4. Uwaga na temat oceny niepewności g:
a) Jeżeli każdy pomiar wykonano dla innych wartości x1 , x2 i x3 , uzyskaną z
wzorów metody najmniejszych kwadratów niepewność u(b) utożsamiamy wprost
z u(g).
b) Gdy pomiary dla kolejnych kul wykonano nie zmieniając położeń x1 , x2 i
x3 , obliczona wartość u(b) jest składnikiem niepewności g pochodzącym tylko
od błędu przypadkowego pomiaru czasów t1 , t2 i t3 . Składnik pochodzący od
niepewności pomiaru długości obliczyć trzeba z wzoru (9.2) za pomocą prawa
przenoszenia niepewności, przyjmując określoną wartość u(x). Obydwa składniki zsumować geometrycznie.
5. Czy uzyskana wartość g jest zgodna, w granicach niepewności rozszerzonej,
z wartością tabelaryczną (por. tab. 1)?
Tabela 1:
Zależność przyspieszenia ziemskiego od szerokości geograficznej Φ
Φ[◦ ]
0
40
50
60
90
g[m/s2 ]
9,780
9.802
9.811
9.819
9.832
9-6
Dodatek. Wpływ oporu powietrza
W warunkach naszego eksperymentu opływ powietrza wokół kuli ma charakter
turbulentny. Siłę oporu powietrza dla przepływu turbulentnego, proporcjonalną do
kwadratu prędkości chwilowej v(t), wyraża przybliżony wzór
FD = cD A
ρp v 2 (x)
.
2
(9.6)
w której ρf oznacza gęstość ośrodka (dla powietrza 1, 2 · 10−3 g/cm3 ), A jest polem
przekroju poprzecznego (A = πr2 ) i cD bezwymiarowym współczynnikiem oporu (dla
kuli cD ≈ 0, 5). Równanie ruchu Newtona ma = F dla kuli spadającej z prędkością
chwilową v(t) zapisujemy w postaci
m
ρp v 2 (x)
dv(t)
= ρV g − cD A
.
dt
2
(9.7)
Składnik ρV g wyraża siłę grawitacji dla ciała o gęstości ρ oraz objętości V (dla
kuli V = (4/3)πr3 ). Równanie różniczkowe (9.7) można rozwiązać metodą rozdzielenia zmiennych. Uwzględniając warunki początkowe v(t = 0) = x(t = 0) = 0
otrzymujemy funkcję
t
v(t) = gτ tgh ,
(9.8)
τ
której scałkowanie daje wzór na położenie kuli w funkcji czasu,
t
x(t) = gτ 2 ln cosh .
τ
(9.9)
We wzorach (9.8), (9.9) występują funkcje tangensa oraz kosinusa hiperbolicznego:
tgh x = (ex − e−x )/(ex + e−x ), cosh x = (ex + e−x )/2. Stała czasowa
s
8 ρr
τ=
,
(9.10)
3 Cρp g
jest miarą czasu, w którym ruch kuli, początkowo zbliżony do jednostajnie przyspieszonego, przechodzi w ruch jednostajny z prędkością gτ . Dla kuli o promieniu 1 cm i
gęstości 1 g/cm3 stała czasowa τ = 2,1 s. Zatem w naszym eksperymencie t/τ < 1,
co wskazuje, że pożyteczne będzie rozwinięcie funkcji (9.9) w szereg Taylora
x(t) =
1 2
1 gt4
9 gt6
gt −
+
− ...
2
12 τ 2
45 τ 4
9-7
.
(9.11)
W pierwszym składniku szeregu rozpoznajemy wzór dla spadania w próżni, pozostałe składniki stanowią poprawkę na wpływ oporu powietrza. Podstawienie dwu
pierwszych wyrazów rozwinięcia (9.11) do wzoru (9.2) prowadzi do wyrażenia na uzyskaną w naszym eksperymencie pozorną wartość przyspieszenia ziemskiego
√
√
√
cD ρp g 2
(x1 + x2 + x3 + x1 x2 + x2 x3 + x1 x3 ) .
8r
(9.12)
Formuła (9.12) jest dowodem słuszności zastosowanej ekstrapolacji liniowej, jeżeli argumentem jest zmienna 1/ρ. Z wartości nachylenia a prostej wzór (9.12) pozwala
obliczyć współczynnik oporu cD .
1
g0 = g + a ,
ρ
gdzie
a=−
9-8