Przykładowe kolokwia

ALGEBRA
Kolokwia przyk÷
adowe 2014/15
K1 - Liczby zespolone, rachunek macierzowy
1. Rozwiazać
¾ równanie w dziedzinie zespolonej:
(a) z 2 + (2i
(b) z 3
1) z
i=0
i=0
2. Obliczyć:
p
1+i 3
(a) Obliczyć
35
(b) Naszkicować na p÷
aszczyźnie zespolonej zbiór punktów spe÷
niajacych
¾
warunek: Im
3. Obliczyć wyznacznik:
4. Niech A =
1
0
(a) Wyznaczyć A
2
3
1
3
1
1
2
1
0
3
1
; B=
1
1
1
2
1
i
z
< 1.
0
2
:
1
1
0
; C=
2
1
2
0
iA C
(b) Rozwiazać
¾ równanie macierzowe: A X = 2B T + X
5. (a) Pytanie teoretyczne (1)
(b) Pytanie teoretyczne (2)
Kolokwium 1: Musza¾ być zaliczone zadania: 1a, 2a, 3, 4a, 5-jeden podpunkt.
Przyk÷
ady pytań teoretycznych (1):
1. Podać de…nicje¾ postaci kartezjańskiej i trygonometrycznej liczby zespolonej.
2. Podać de…nicje¾ i interpretacje¾ geometryczna¾ modu÷
u liczby zespolonej.
3. Podać de…nicje¾ i interpretacje¾ geometryczna¾ argumentu liczby zespolonej.
4. Podać de…nicje¾ i interpretacje¾ geometryczna¾ sprze¾z·enia liczby zespolonej.
5. Podać de…nicje¾ i interpretacje¾ geometryczna¾ pierwiastków n-tego stopnia z liczby zesp. z.
6. Sformu÷
ować zasadnicze twierdzenie algebry.
Przyk÷
ady pytań teoretycznych (2):
1. Podać cztery wybrane w÷
asności wyznaczników.
2. Sformu÷
ować cztery wybrane w÷
asności mnoz·enia macierzy.
3. Sformu÷
ować cztery wybrane w÷
asności dodawania macierzy.
4. Sformu÷
ować de…nicje¾ i dwie w÷
asności macierzy transponowanej.
5. Sformu÷
ować de…nicje¾ i dwie w÷
asności macierzy odwrotnej.
K2 - Uk÷
ady równań, geometria analityczna w R3 ; przekszta÷
cenia liniowe
1. Rozwiazać
¾ uk÷
ad równań stosujac
¾ twierdzenie Cramera lub Kroneckera-Capellego:
8
< x + y + 2z = 1
x 2y + z + u = 0
x + 2y + 3z = 2
(a)
(b)
2x + 4y z + 4u = 2
:
2x y + z = 1
2. (a) Niech a = [ 2; 1; 1], b = [2; 0; 1]. Wyznaczyć kat
¾ miedzy
¾
wektorami a i b. Wskazać
dwa wektory równoleg÷
e do wektora a oraz wektor prostopad÷
y do a i b. Obliczyć pole trójkata
¾
rozpietego
¾
na wektorach a i b.
(b) Napisać równanie p÷
aszczyzny 1 zawierajacej
¾ punkt P = ( 3; 0; 2) i prostopad÷
ej do wektora n = [2; 0; 1]. Sprawdzić, czy p÷
aszczyzna ta jest równoleg÷
a/ prostopad÷
a do p÷
aszczyzny
:
2x
+
y
=
1?
2
(c) Napisać równania parametryczne, kierunkowe i kraw¾
edziowe prostej przechodzacej
¾ przez
punkty P = ( 1; 2; 1) i Q = (2; 0; 1).
3. Niech (x; y) = [x 2y; 3y]. Wyznaczyć macierz przekszta÷
cenia , wartości w÷
asne przekszta÷
cenia oraz wektory w÷
asne dla wybranej wartości w÷
asnej .
4. (a) Pytanie teoretyczne (1)
(b) Pytanie teoretyczne (2)
Kolokwium 2. Musza¾ być zaliczone zadania: 1-jeden podpunkt, 2-dwa podpunkty z trzech, 4jeden podpunkt.
Przyk÷
ady pytań teoretycznych (1):
1. Sformu÷
ować twierdzenie Cramera.
2. Sformu÷
ować twierdzenie Kroneckera-Capellego.
3. Podać cztery w÷
asności rzedu
¾ macierzy.
4. Podać de…nicje¾ uk÷
adu jednorodnego. Kiedy taki uk÷
ad posiada rozwiazanie
¾
niezerowe?
Przyk÷
ady pytań teoretycznych (2):
1. Podać de…nicje¾ i dwie w÷
asności iloczynu skalarnego.
2. Podać de…nicje¾ i dwie w÷
asności iloczynu wektorowego.
3. Podać de…nicje¾ i dwie w÷
asności iloczynu mieszanego.
4. Podać wzór na objetość
¾
równoleg÷
ościanu rozpietego
¾
na trzech róz·nych wektorach / pole
równoleg÷
oboku rozpietego
¾
na dwóch wektorach.
5. Kiedy dwa wektory/ proste/ p÷
aszczyzny sa¾ równoleg÷
e/prostopad÷
e?
6. Jak sprawdzić czy trzy punkty sa¾ wspó÷
liniowe?
7. Jak sprawdzić czy trzy wektory sa¾ wspó÷
p÷
aszczyznowe?