Nazwa przedmiotu:

Nazwa przedmiotu: Symbol bloku: Kod przedmiotu:
Algebra II
B
11.1-20-20-B/08
Typ zajęć:
Liczba
Stopień i rodzaj
wyk., ćw. aud.
godzin:
studiów:
30 w.,30 ćw.
IIo magisterskie
Semestr/rok:
2/I
Liczba
punktów
ECTS: 6
Autor: dr Michał Germaniuk
Jednostka organizacyjna realizująca przedmiot:
Katedra Algebry i Geometrii
Opis przedmiotu: Zapoznanie studentów z podstawową wiedzą dotyczącą, pierścieni, ciał
i ich rozszerzeń algebraicznych o elementy algebraiczne i wykształcenie umiejętności
dostrzegania związku z problemami konstrukcji platońskich ; wyrażanie zagadnień z
elementarnej teorii liczb w terminach metod algebraicznych. Przedmiot jest uwzględniany
w standardach (2007) kierunku matematyka. Jest realizowany na poziomie podstawowym.
Na studiach niestacjonarnych realizuje się te same zagadnienia w wymiarze 20 w. + 20 ćw.
Wymagania wstępne (przedmioty poprzedzające):
Podstawowa wiedza matematyczna z zakresu szkoły średniej i algebry stopnia pierwszego.
Treści programowe wykładu z liczbą godzin:
1. Definicja pierścienia, pierścienia przemiennego z jedynką ,ideału, pierścienia
ilorazowego,, ciała, ciało ułamków, homomorfizmy.8h
2. Pierścień wielomianów jednej zmiennej i wielu zmiennych i ich własności.5h
3. Teoria podzielności w pierścieniach całkowitych, pierścienie Gaussa i , Euklidesowe ,
algorytm euklidesa.5h
4. Elementy algebraiczne i przestępne nad ciałem.3h
5. Rozszerzenia skończone i rozszerzenia algebraiczne ciał, przeliczalność liczb
algebraicznych .4h
6. Ciała algebraicznie domknięte, algebraiczne domknięcie ciała. Zasadnicze twierdzenie
algebry.3h
7. Kwadratura koła i problem podwojenia sześcianu. 2h
Treści programowe ćwiczeń z liczbą godzin:
1. Sprawdzanie aksjomatów pierścienia i ciała w różnych systemach algebraicznych i
badanie struktur będących i nie będących pierścieniami i ciałami 3h
2. Wyznaczanie elementów odwracalnych, dzielników zera pierścienia, podpierścienie
(nie)będące ideałami, przykłady różnego typów ideałów, przykład pierścienia
ilorazowego z tabelkami dziełań.5h
3. Pierścień wielomianów . Sprawdzenie działań na elementach, dzielenie wielomianów z
resztą, miejsca zerowe, wartość wielomianu, ideały, pierścienie ilorazowe,
homomorfizmy 5h
4. Teoria podzielności, przykłady pierścieni z jednoznacznością rozkładu i bez
jednoznaczności rozkładu, elementy nierozkładalne nie będące pierwszymi ,
podstawowe własności podzielności , NWD i NWW w terminach ideałów.4h
5. Pierścienie euklidesa , algorytm euklidesa , przykłady pierścieni euklidesa.2h
6. Przykłady elementów algebraicznych i przestępnych, wyznaczane wielomianów
minimalnych i stopnia algebraiczności.2h
7. Rozszerzenia ciał o element algebraiczny i przestępny, różnego typu zależności.
Uzasadnianie algebraiczności pewnych elementów i wyznaczanie wielomianów
minimalnych.2h
8. Rozszerzenia skończone i wyznaczenie elementów rozszerzenia skończonego.2h
9. Przykłady ciał algebraicznie domkniętych , podstawowe własności algebraicznego
domknięcia ciała, własności wynikające z podstawowego twierdzenia z algebry3h
10. Problemy związane z konstrukcjami platońskimi i teorii liczb.2h
Metody nauczania i środki stosowane podczas realizacji przedmiotu: wykład z
problemami przedstawionymi do samodzielnego rozwiązania(w trakcie wykładu lub jako
zadanie domowe); ćwiczenia z podręcznikiem z doborem urozmaiconych zadań.
Sposoby zaliczania wykładów: egzamin pisemny. Na ocenę pozytywną należy uzyskać
minimum 50% maksymalnej liczby punktów.
Sposoby zaliczania ćwiczeń: pozytywne oceny dwóch kolokwiach . W ostatecznej ocenie
z ćwiczeń uwzględnia się również aktywność na zajęciach.
Literatura:
1. Z Opial Algebra wyższa
2. J Browkin Wybrane zagadnienia z algebry
3. J Rutkowski Algebra abstrakcyjna w zadaniach
4. A. Białynicki-Birula – Algebra
5. .S Lang Algebra
6. A. Mostowski, M. Stark –Algebra wyższa
7. B. Gleichgewicht – Algebra, podręcznik dla kierunków nauczycielskich studiów
matematycznych;
8. A I Kostrykin Wstęp do algebry
9. A I Kostrykin Zbiór zadań z algebry