Algebra liniowa z geometrią Ćwiczenia nr 6

Algebra liniowa z geometrią
Ćwiczenia nr 6
Stefan Sokołowski
18 listopada 2008
Zadanie 1:
Obliczyć następujące iloczyny macierzy:
(a)
(b)
1 1 0
2 −1
0


× 0 1 0
3
4 −1
1 1 1
"
#


=

2
3
1 1
0 1
 3 −1



1 2

×
0 1
−1 −2
0 0 −1 3
0
3



?
=
?
Zadanie 2:
W pierwszej tabelce poniżej podane są zapotrzebowania kilku klientów na rozmaite
towary. W drugiej tabelce podane są ceny tych towarów w różnych sklepach:
Kowalski
Nowak
Wiśniewski
ziemniaki
makaron
ryż
manna
ziemniaki
5 kg
3 kg
4 kg
makaron ryż
2 kg
7 kg
0.5 kg
0 kg
2.5 kg
1 kg
manna
0 kg
0.5 kg
0 kg
ŻARŁO z o.o. Fressen GmbH
0.50 zł/kg
0.61 zł/kg
3.50 zł/kg
2.10 zł/kg
3.00 zł/kg
1.50 zł/kg
5.23 zł/kg
6.00 zł/kg
Devour Ltd.
0.70 zł/kg
2.20 zł/kg
1.00 zł/kg
6.00 zł/kg
Wymnożyć te dwie macierze. Jak z otrzymanego iloczynu można wywnioskować, do
którego sklepu powinien udać się po zakupy który z klientów? Zakładamy, że klient dokona
całości zakupów w jednym sklepie, bo nie opłaca mu się jeździć od sklepu do sklepu,
ponieważ są zbyt od siebie oddalone.
Zadanie 3:
Obliczyć macierz A odbicia symetrycznego f płaszczyzny względem osi x. Obliczyć
macierz B odbicia symetrycznego g płaszczyzny względem osi y. Obliczyć macierz przekształcenia g ◦ f polegającego na zastosowaniu najpierw f a potem g. Co to jest za przekształcenie?
Wskazówka: Macierz przekształcenia płaszczyzny w siebie jest wyznaczona przez jej obraz
na parze wektorów nieleżących na tej samej prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych. Najwygodniej wziąć jakiś wektor równoległy i jakiś wektor prostopadły do osi symetrii,
bo dla nich łatwo jest obliczyć obrazy.
Macierz złożenia przekształcenia o macierzy A z przekształceniem o macierzy B jest iloczynem B × A.
Zadanie 4:
Obliczyć macierz A odbicia symetrycznego f płaszczyzny względem prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych i przez punkt (2, 1);
oraz macierz B odbicia symetrycznego g płaszczyzny
względem prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych i przez punkt (−2, 1). Obliczyć macierz przekształcenia g ◦ f polegającego na zastosowaniu najpierw f a potem g. Wykazać, że złożenie tych
dwóch symetrii jest obrotem wokół początku układu
współrzędnych i znaleźć kąt tego obrotu.
6
g ...
....
...
..
.
..
...
..
....f
...
...
I
...
...
···············································
...
···
···
··
··
··
··
-
Wskazówka: Patrz: wskazówka do zad. 3. Przypominam, że macierz obrotu o kąt α ma postać
"
cos α − sin α
sin α cos α
#
2
Zadanie 5 (nieco trudniejsze):
def
Macierz A =
"
1
0.2
0.5 1.4
na rysunku poniżej:
#
przekształca koło w elipsę a kwadrat w równoległobok, jak
6
6
..................................
..........
......
.....
....
....
.....
..
...
...
...
.
...
....
...
..
.
...
.
...
....
....
....
.....
....
.
.......
.
.
.
.
.............. ................
............
-
−→
.........
........... ...........
...
.......
.
.
.
.
...
.
....
..
.
.
..
..
.....
..
.
...
.
.
.
..
...
..
...
....
.....
.
...
...
...
..
.
.
...
..
...
..
..
...
.
.
.
...
.
...
....
....
......
........ .................
.........
-
Wyznaczyć wektory na płaszczyźnie, dla których przekształcenie macierzy A jest wydłużeniem lub skróceniem bez zmiany kierunku. Takie wektory nazywają się wektorami
własnymi macierzy.
Wskazówka: Wszystkie takie wektory leżą na dwóch prostych (na prawym rysunku oznaczonych grubymi skośnymi prostymi). Wyznaczyć je można przez rozwiązanie równania
A×
"
x
y
#
=λ·
"
x
y
#
gdzie λ ma być liczbą rzeczywistą. To prowadzi do układu dwóch równań z trzema niewiadomymi, ale jedną ze zmiennych x lub y możemy sobie wyznaczyć dowolnie (np. przez dodanie
trzeciego równania x = 1), z czego wyniknie wartość drugiej zmiennej. Dwie proste biorą się
stąd, że otrzymany układ równań jest stopnia 2.
3