STATYSTYKA B

STATYSTYKA B
LISTY ZADAŃ
opracowanie M. Bogdan
Literatura podstawowa
Hogg/McKean/Craig, Introduction to Mathematical Statistics, 6th Edition
LISTA 11, Testy ilorazu wiarogodności, reguły minimaksowe i klasyfikacyjne
1. Niech X1 , X2 , . . . , Xn bȩdzie próba̧ losowa̧ z rozkładu N (θ1 , θ2 ), gdzie oba parametry sa̧ nieznane. Wyznacz test ilorazu wiarogodności do testowania hipotezy H0 : θ2 = θ0 przeciwko alternatywie HA : θ2 6= θ0 . Ustal dokładne wartości krytyczne na poziomie istotności 0.05, θ0 ∈ {0.05, 30} i
n ∈ {10, 100} (rozważ wszystkie cztery kombinacje wartości tych parametrów) i porównaj z asymptotycznymi wartościami krytycznymi. Wyznacz p-stwa błȩdu pierwszego rodzaju dla odpowiednich
testów opartych na asymptotycznych wartościach krytycznych.
2. Niech X1 , . . . , Xn i Y1 , . . . , Ym bȩda̧ niezależnymi próbami losowymi z rozkładów normalnych
N (θ1 , θ3 ) i N (θ2 , θ4 ), odpowiednio.
a) Wyznacz postać statystyki testu ilorazu wiarogodności do testowania hipotezy H0 : θ1 =
θ2 , θ3 = θ4 przeciwko wszystkim alternatywom. Jaki rozkład asymptotyczny ma statystyka
−2 log Λ ?
b) Wyznacz postać statystyki testu ilorazu wiarogodności do testowania hipotezy H0 : θ3 = θ4
przeciwko alternatywie HA : θ3 6= θ4 . Wyznacz dokładne wartości krytyczne dla tego testu korzystaja̧c z kwantyli/dystrybuanty rozkładu Snedecora [qf()/pf() w R]. Obliczenia wykonaj dla
α = 0.05, n = m = 10, n = m = 100 i n = 10, m = 100. Dla tego zestawu parametrów wyznacz
p-stwa błȩdu pierwszego rodzaju testu opartego na asymptotycznej wartości krytycznej.
/d1
, gdzie U1 , U2 sa̧ nieInfo - Rozkład F Snedecora z parametrami (n, m) to rozkład ilorazu UU21 /d
2
zależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach chi-kwadrat z liczbami stopni swobody równymi
d1 i d2 , odpowiednio.
3. Niech X1 , . . . , Xn , Y1 , . . . , Ym bȩda̧ dwoma niezależnymi próbami z rozkładów wykładniczych z
parametrami skali θ1 i θ2 , odpowiednio. Skonstruuj test ilorazu wiarogodności do testowania hipotezy
H0 : θ1 = θ2 przeciwko alternatywie θ1 6= θ2 i korzystaja̧c z rozkładu F wyznacz dokładna̧ wartość
krytyczna̧ dla α = 0.05 i n = m = 10, n = m = 100 i n = 10, m = 100 . Dla tego zestawu parametrów
wyznacz p-stwa błȩdu pierwszego rodzaju testu opartego na asymptotycznej wartości krytycznej.
4. Niech X1 ¬ . . . ¬ Xn , Y1 ¬ . . . ¬ Ym bȩda̧ wektorami statystyk porza̧dkowych z dwóch niezależnych prób z rozkładów jednostajnych na odcinkach (−θ1 , θ1 ) i (−θ2 , θ2 ), odpowiednio. Skonstruuj
test ilorazu wiarogodności do testowania H0 : θ1 = θ2 przeciwko alternatywie θ1 6= θ2 . Wyznacz
dokładny rozkład statystyki −2 log Λ przy H0 i porównaj z rozkładem asymptotycznym testów w
rodzinach spełniaja̧cych warunki regularności. Który warunek regularności nie jest tu spełniony ?
5. Niech (X1 , Y1 ), . . . , (Xn , Yn ) bȩdzie losowa̧ próba̧ z dwuwymiarowego rozkładu normalnego o
parametrach µ1 , µ2 , σ12 = σ22 = σ 2 , ρ = 1/2, gdzie µ1 , µ2 i σ 2 sa̧ nieznane. Skonstruuj test ilorazu
wiarogodności do testowania hipotezy µ1 = µ2 = 0 przeciwko wszystkim alternatywom. Jaki rozkład
asymptotyczny ma statystyka −2 log Λ ?
6. Niech X1 , . . . , X20 bȩdzie próba̧ losowa̧ z rozkładu normalnego N (θ, 5). Skonstruuj procedurȩ
minimaksowa̧ do testowania
H0 : θ = 1 przeciwko alternatywie HA : θ = 0 ,
1
zakładaja̧c, że funkcja straty ma postać U (0, 1) = U (1, 0).
7. Niech X1 , . . . , X10 bȩdzie próba̧ losowa̧ z rozkładu Poissona P (θ). Skonstruuj procedurȩ minimaksowa̧ do testowania
H0 : θ = 1/2 przeciwko alternatywie HA : θ = 1 ,
zakładaja̧c, że funkcja straty ma postać U (1/2, 1) = 1, U (1, 1/2) = 2.
8. Obserwacja X = (X1 , X2 ) pochodzi z rozkładu dwuwymiarowego normalnego z parametrami (µ1 , µ2 , σ1 , σ2 , ρ). W oparciu o test ilorazu wiarogodności ze stała̧ k = 1 skonstruuj procedurȩ
klasyfikuja̧ca̧ ta̧ obserwacjȩ do jednego z dwóch rozkładów
H0 : µ1 = µ2 = 0, lub HA : µ1 = µ2 = 1 ,
jeżeli
a) σ12 = σ22 = 1, ρ = 0
b) σ12 = 1, σ22 = 4, ρ = 0
c) σ12 = σ22 = 1, ρ = 1/2
Wykreśl krzywe definiuja̧ce partycjȩ R2 dla każdego z tych klasyfikatorów i je porównaj.
9. Obserwacja X = (X1 , X2 ) pochodzi z rozkładu dwuwymiarowego normalnego z parametrami (µ1 , µ2 , σ1 , σ2 , ρ). W oparciu o test ilorazu wiarogodności ze stała̧ k = 1 skonstruuj procedurȩ
klasyfikuja̧ca̧ ta̧ obserwacjȩ do jednego z dwóch rozkładów
H0 : µ1 = µ2 = 0, σ12 = σ22 = 1, ρ = 1/2 lub HA : µ1 = µ2 = 1, σ12 = 4, σ22 = 9, ρ = 1/2 .
Wykreśl krzywa̧ definiuja̧ca̧ partycjȩ R2 dla tego klasyfikatora i porównaj ja̧ z krzywymi z poprzedniego zadania.
10. Obserwacja X = (X1 , X2 ) pochodzi z rozkładu dwuwymiarowego normalnego z parametrami (µ1 , µ2 , σ1 , σ2 , ρ). W oparciu o test ilorazu wiarogodności ze stała k = 1 skonstruuj procedurȩ
klasyfikuja̧ca̧ ta̧ obserwacjȩ do jednego z dwóch rozkładów
H0 : µ1 = µ2 = 0, σ12 = 3, σ22 = 12, ρ = 0 lub HA : µ1 = µ2 = 0, σ12 = 1, σ22 = 4, ρ = 0 .
Wykreśl krzywa̧ definiuja̧ca̧ partycjȩ R2 dla tego klasyfikatora i porównaj ja̧ z krzywymi z poprzednich zadań.
2