Wstęp do statystyki matematycznej Lista 5 1. Niech X = (X1, ..., Xn

Wstęp do statystyki matematycznej
Lista 5
1. Niech X = (X1 , ..., Xn ) będzie próbą z rozkładu wykładniczego E(λ), λ > 0.
Pokazać, że statystyka
Tn (X) = nX1:n
jest nieobcia̧żonym estymatorem wartości średniej rozkładu E(λ), jednakże
ciąg estymatorów (Tn ) nie jest zgodny.
2. Niech X = (X1 , ..., Xn ) będzie próbą z rozkładu gamma G(α, λ), gdzia α jest
znane, a λ nie jest znane. Udowodnić, że jeżeli nα > 2, to statystyka
Tn (X) =
nα − 1
nX̄
jest nieobciążonym i zgodnym estymatorem funkcji g(λ) = 1/λ.
3. Niech X = (X1 , ..., Xn ) będzie próbą z rozkładu typu ciągłego o gęstości
1
f (x; ϑ) = (1 + ϑx)1(−1,1) (x),
2
gdzie ϑ ∈ (−1, 1) nie jest znane. Wyznaczyć zgodny estymator parametru ϑ.
4. Rozważmy populację z trzema rodzajami jednostek (np. 1, 2, 3). Niech P (Xi =
1) = ϑ2 , P (Xi = 2) = 2ϑ(1−ϑ), P (Xi = 3) = (1−ϑ)2 , i = 1, ..., n. W oparciu o
próbę X = (X1 , ..., Xn ), wyznaczyć estymator parametru ϑ metodą momentów
i metodą podstawienia częstości.
5. Niech X = (X1 , ..., Xn ) będzie próbą z rozkładu Pareto Pa(1, α). Wyznaczyć
estymatory parametru α metodą momentów i metodą największej wiarogodności.
6. Niech X = (X1 , ..., Xn ) będzie próbą z rozkładu
(a) wykładniczego E(λ), λ > 0;
(b) geometrycznego Ge(p), p ∈ (0, 1);
(c) jednostajnego U(0, ϑ), ϑ ∈ R+ ;
(d) jednostajnego U(ϑ, ϑ + 1), ϑ ∈ R.
Wyznaczyć estymatory nieznanych parametrów metodą największej wiarogodności. Czy otrzymane estymatory są nieobciążone? Czy są zgodne?
7. W jeziorze jest nieznana liczba N ryb. W celu oszacowania N złowiono m ryb,
oznakowano je i wpuszczono do jeziora. Po pewnym czasie złowiono ponownie
m ryb i okazało się, że k z nich jest oznakowanych. Podać oszacowanie N
uzyskane metodą największej wiarogodności.
8. Przeprowadza się testy laboratoryjne wody z rzeki. W szczególności, bada się
koncentracje pewnego typu bakterii. W tym celu pobiera się n jednostkowych
próbek wody i notuje się liczby xi , i = 1, ..., n, bakterii w każdej jednostkowej
próbce. Metodą największej wiarogodności oszacować µ - oczekiwaną liczbę
bakterii w jednostce wody rzecznej.
9. Niech X1 , X2 będą niezależnymi zmiennymi losowymi takimi, że Xi ∼ N (ϑi , 1),
i = 1, 2, (ϑ1 , ϑ2 ) ∈ {(ϑ1 , ϑ2 ) : ϑi ∈ R, i = 1, 2, ϑ1 ¬ ϑ2 }. Wyznaczyć estymator
NW parametru ϑ = (ϑ1 , ϑ2 ).
10. Niech X = (X1 , ..., Xn ) będzie próbą z rozkładu Weibulla W(2, β). Wyznaczyć
estymator NW parametru β 2 oraz sprawdzić, czy jest on nieobciążony.
11. Rozpatrzmy model regresji liniowej
Yi = ϑ1 + ϑ2 xi + ei , i = 1, ..., n,
przy czym zakładamy, że istnieją i, j ∈ {1, ..., n} takie, że xi 6= xj , e1 , ..., en są
niezależne oraz E(ei ) = 0, V ar(ei ) = σ 2 , i = 1, ..., n.
(a) Jakie rozwiązanie mają układy równań normalnych,
( P
n
i=1 (yi
Pn
− ϑ1 − ϑ2 xi ) = 0,
i=1 xi (yi − ϑ1 − ϑ2 xi ) = 0,
które otrzymujemy przy wyznaczaniu parametrów ϑ1 i ϑ2 metodą najmniejszych kwadratów.
(b) Przy dodatkowym założeniu, że e1 , ..., en mają rozkłady normalne, wyznaczyć estymatory nieznanych parametrów ϑ1 , ϑ2 oraz σ 2 metodą największej
wiarogodności.
12. Rozpatrzmy model jak w zadaniu poprzednim, ale załóżmy, że V ar(ei ) = wi σ 2 ,
gdzie σ 2 jest nieznane, w1 , ..., wn są znane. Mówimy, że ϑ̂1 i ϑ̂2 są estymatorami
parametrów odpowiednio ϑ1 i ϑ2 uzyskanymi metodą ważonych najmniejszych
kwadratów, jeśli
n
X
1
1
(yi − ϑ̂1 − ϑ̂2 xi )2 = min
(yi − ϑ1 − ϑ2 xi )2 .
ϑ
,ϑ
w
w
1
2
i=1 i
i=1 i
n
X
Napisać odpowiednik układu równań normalnych dla tej sytuacji i wyprowadzić estymatory parametrów ϑ1 i ϑ2 metodą ważonych najmniejszych kwadratów. Następnie przy założeniu, że e1 , ..., en mają rozkłady normalne, wyznaczyć
estymatory parametrów ϑ1 , ϑ2 oraz σ 2 metodą największej wiarogodności.
13. Rozpatrzmy model regresji wykładniczej
Yi = γ + α exp(βxi ) + ei , i = 1, ..., n,
gdzie α, β i γ są nieznanymi parametrami, a e1 , ..., en są niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie z wartością oczekiwaną zero i nieznaną
wariancją σ 2 . Wyznaczyć oszacowania nieznanych parametrów α, β i γ w przypadku, gdy dla następujących wartości zmiennej niezależnej:
0.1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20
zaobserwowano odpowiednio następujące wartości zmiennej zależnej:
3.04, 3.46, 3.55, 3.90, 4.00, 4.36, 4.39, 4.69, 4.83, 4.71, 4.87, 4.99, 4.90, 4.99.
Jak w tym modelu należałoby oszacować wariancję?