Tomasz Odrzygóźdź Zadanie 4* z serii 1 Wykaż, że dla

Tomasz Odrzygóźdź
Zadanie 4* z serii 1
Wykaż, że dla rzeczywistych zmiennych losowych Xn ⇒ X wtedy i tylko
wtedy, gdy istnieja zmienne losowe ˜X̃n o tym samym rozkładzie co Xn i
X̃ o tym samym rozkładzie co X takie, ze ˜Xn jest zbiezny do ˜X według
prawdopodobienstwa.
Udowodnię trochę mocniejszą tezę. Pokażę jak mając dany ciąg rzeczywistych zmiennych losowych Xn zbieżny według rozkładu do X skonstruować
zmienne losowe X̃n , oraz X̃ określone na odcinku [0, 1] (z miara Lebesque’a)
takie, że X̃n ∼ Xn , X̃ ∼ X̃ oraz X̃n zbiega prawie napewno do X̃.
1) Konstrukcja zmiennych X̃n :
Niech f będzie rzeczywistą zmienną losową. Zdefiniujemy zmienną losową
h : [0, 1] → R w następujący sposób:
h(t) = sup{β : P(f ¬ β) ¬ t}
Łatwo widać, że h jest dobrze określoną, niemalejąca funkcją. Teraz udowodnię, że f ∼ h. Aby to udowodnić wystarczy pokazać, że zmienne losowe
f i h mają tę samą dystrybuantę. Ponieważ, dziedziną h jest odcinek [0, 1] z
miarą Lebesque’a oraz h jest funkcją niemalejącą mamy, że:
Fh (t) = P(h ¬ t) = sup{α : h(α) ¬ t} = sup{α : (sup{β : P(f ¬ β) ¬ α} ¬ t)}
Wybierzmy dowolnie ε > 0. Wtedy zachodzi oczywiście:
sup{β : P(f ¬ β) ¬ P(f ¬ t) − ε} ¬ t.
Oznacza to, że Fh (t) ­ P(f ¬ t). Nierówność w druga stronę, tzn.:
Fh (t) ¬ P(f ¬ t) wynika z prawostronnej ciągłości dystrybuanty. Mianowicie, ustalmy znów dowolnie ε > 0. Wtedy istnieje takie δ > 0, że
∀t0 ∈[t,t+δ] P(f ¬ t0 ) ¬ P(f ¬ t) + ε.
Wobec tego:
sup{β : P(f ¬ β) ¬ P(f ¬ t) + ε} ­ t + δ
1
Wobec tego dystrybuanty zmiennych f i h są równe, czyli f ∼ h.
2) Dowód zbieżności prawie napewno .
Wykonujemy powyższą konstrukcję przyjmując za f odpowiednio Xn i X
po czym oznaczamy odpowiadające im h odpowiednio przez nazwy z tyldą.
Niech t będzie punktem ciągłości funkcji X̃. Niech c = X̃(t). Gdyby istniał
przedział o mierze µX równej zero i jednym z końców w c, wtedy w t funkcja
X̃ miałaby ”skok” - nie byłby to punkt ciągłości (funkcja X̃ nie przyjmowałaby by wartości z tego przedziału). Zatem jeśli t jest punktem ciągłości X̃
wtedy każdy przedział o jednym z końców w c ma miarę µX dodatnią.
Wybierzmy dowolnie ε > 0. Niech δ = min(µX [c − ε, c], µX [c, c + ε]). Z poprzedniego rozumowania wiemy, że δ > 0. Z definicji funkcji X̃ otrzymujemy,
że wtedy:
µX (−∞, c − ε) ¬ t − δ
µX (−∞, c + ε) ­ t + δ
Miara probabilistyczna może mieć tylko skończenie wiele atomów, więc
możemy wybrać ε tak aby punkty c + ε oraz c − ε miały miarę µX równą
zero. Wtedy:
lim µXn (−∞, c − ε) ¬ t − δ
n→∞
lim µXn (−∞, c + ε) ­ t + δ
n→∞
Oznacza to, że zachodzi:
lim sup{β : P(Xn ¬ β) ¬ t} ∈ [c − ε, c + ε]
lim X̃n (t) = n→∞
n→∞
.
Wobec faktu, że taki ε może być dowolnie mały otrzymujemy:
lim X̃n (t) → X̃(t)
n→∞
Zbiór punktów nieciągłości X̃ jest conajwyżej przeliczalny, czyli otrzymujemy zbieżność prawie napewno, która implikuje oczywiście zbieżnośc według
prawdopodobieństwa.
2