Przenoszenie si¦ bŞŚdów - wst¦p Metody Rungego

Przenoszenie si¦ bª¦dów - wst¦p
Poni»szy tekst pochodzi z ksi¡»ki Metody numeryczne Björcka i Dahlquista.
Metody, które b¦dziemy rozpatrywa¢, tworz¡ krok po kroku przybli»enia
y1 , y2 , . . . warto±ci dokªadnych y(x1 ), y(x2 ), . . . z grubsza tak samo, jak
metoda Eulera. Przez metod¦ jednokrokow¡ rozumiemy tak¡ metod¦, w
której obliczaj¡c yn+1 (n = 0, 1, . . .) korzysta si¦ tylko z yn . W ka»dym
kroku wprowadza si¦ maªe zaburzenie - bª¦dy obci¦cia lub bª¦dy zaokr¡gle«
- powoduj¡c podobne przej±cia na inne elementy rodziny rozwi¡za«. (...)
Mo»na porówna¢ ten proces z narastaniem odsetek; w ka»dym kroku doª¡cza
si¦ odsetki, którymi s¡ popeªnione bª¦dy. W tym samym czasie powstaje
nowy kapitaª bª¦du. Stopa procentowa mo»e by¢ jednak ujemna, co tu
jest korzystne!
Je±li poszczególne rozwi¡zania oddalaj¡ si¦ szybko jedno od drugiego,
to zagadnienie pocz¡tkowe jest ¹le uwarunkowane; w przeciwnym razie jest
dobrze uwarunkowane.(...)
Nale»y rozró»ni¢ bª¦dy obci¦cia globalne i lokalne. Bª¦dem globalnym
w punkcie xn+1 jest ró»nica yn+1 − y(xn+1 ), gdzie y(x) jest dokªadnym rozwi¡zaniem zagadnienia pocz¡tkowego. Bª¦dem lokalnym w xn+1 jest ró»nica
mi¦dzy obliczon¡ warto±ci¡ yn+1 i warto±ci¡ w xn+1 tego rozwi¡zania równania ró»niczkowego, które przechodzi przez punkt (xn , yn ). Inaczej mówi¡c,
bª¦dy lokalne s¡ skokami na krzywej schodkowej. (...)
W równaniach ró»niczkowych zasady przenoszenia si¦ bª¦dów s¡ bardziej
zªo»one; jednak i tu w wyra»eniach asymptotycznych dla bª¦dów wykªadnik przy podstawie h jest dla bª¦du globalnego o 1 mniejszy ni» dla bª¦du
lokalnego.
Metody Rungego-Kutty
Przypu±¢my, »e znamy y(xn ) i chcemy wyznaczy¢ przybli»enie yn+1 warto±ci y(xn + h). Pomysª zastosowany w metodach Rungego-Kutty polega na
obliczeniu warto±ci f (x, y) w pewnych szczególnie dobranych punktach le»¡cych w pobli»u krzywej rozwi¡zania w przedziale (xn , xn + h) i na utworzeniu
takiej kombinacji tych warto±ci, która z dobr¡ dokªadno±ci¡ daje przyrost
yn+1 − yn .
Najprostszy wariant nazywa si¦ metod¡ Heuna. Oblicza si¦ tu warto±ci
k1 = hf (xn , yn ),
k2 = hf (xn + h, yn + k1 ),
1
yn+1 = yn + (k1 + k2 ).
2
1
Najbardziej znana metoda Rungego-Kutty jest okre±lona podanymi ni»ej
wzorami (funkcj¦ f oblicza si¦ czterokrotnie w ka»dym kroku):
k1 = hf (xn , yn ),
1
1
k2 = hf (xn + h, yn + k1 ),
2
2
1
1
k3 = hf (xn + h, yn + k2 ),
2
2
k4 = hf (xn + h, yn + k3 ),
1
yn+1 = yn + (k1 + 2k2 + 2k3 + k4 ).
6
(1)
Metody Rungego-Kutty s¡ oparte na przybli»aniu tej caªki za pomoc¡ dost¦pnych danych. W szczególnym przypadku, gdy f nie zale»y od y , metoda
Heuna jest identyczna z wzorem trapezów dla caªkowania numerycznego, z
bª¦dem globalnym obci¦cia rz¦du h2 .
Metoda Rungego-Kutty opisana wzorami (1) jest, gdy funkcja f nie zale»y
od y , identyczna z wzorem Simpsona z h zmienionym na 21 h:
Z xn +h
xn
1
1
f (x)dx = h(f (xn ) + 4f (xn + h) + f (xn + h)).
6
2
Istotnie:
k1 = hf (xn ),
1
k2 = k3 = hf (xn + h),
2
k4 = hf (xn + h).
W tym przypadku, jak i dla innych funkcji f , bª¡d globalny obci¦cia jest
rz¦du h4 .
Istnieje wiele metod Rungego-Kutty o ró»nych zaletach. Mo»na np. osi¡gn¡¢ dokªadno±¢ rz¦du pi¡tego, obliczaj¡c sze±ciokrotnie funkcj¦ f w jednym
kroku.
2