5. Metoda Rungego

ANALIZA NUMERYCZNA
Grzegorz Szkibiel
Wiosna 2014/15
Spis tre±ci
1
Metoda Eulera
2
Metoda Taylora
3
Równania z opó¹nionym argumentem
10
4
Metoda Rungego-Kutty
12
5
Metoda Rungego-Kutty (2)
15
1.1
1.2
1.3
1.4
2.1
2.2
4.1
4.2
5.1
5.2
zagadnienia brzegowe . . . .
Zastosowanie ró»niczki . . .
Output do pliku oraz wykres
Bª¡d metody Eulera . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Istotny bª¡d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Metoda Taylora rz¦du 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3
4
5
6
7
7
8
Metoda Rungego-Kutty stopnia 2 . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Ogólna metoda Rungego-Kutty rz¦du 2 . . . . . . . . . . . . . 14
Metoda Rungego-Kutty rz¦dów 3 i 4 . . . . . . . . . . . . . . 15
Bª¡d lokalny metody . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2
Zaj¦cia 5
Metoda Rungego-Kutty (2)
W dalszym ci¡gu rozwa»amy zagadnienie pocz¡tkowe (1.1)
y 0 = f (y, x),
y(x0 ) = y0 .
B¦dziemy zast¦powa¢ kolejne pochodne funkcji y przez odpowiednio dobrane
kombinacje warto±ci funkcji f . Zamiast kolejnych pochodnych funkcji y b¦d¡
si¦ tu pojawia¢ kolejne wspóªczynniki Fn .
5.1
Metoda Rungego-Kutty rz¦dów 3 i 4
Metoda rzedu 3 ta opiera si¦ o wzór
1
y(x + h) = y + (2F1 + 3F2 + 4F3 ),
9
1
gdzie F1 = hf (y, x), F2 = hf (y + 2 F1 , x + 12 h) oraz F3 = hf (y + 34 F2 , x + 34 h).
Wzór ten wyprowadza si¦ podobnie jak wzór dla metody rzedu 2, tylko, »e
wykorzystujemy wzór Taylora do pochodnej rz¦du 3.
W metodzie rz¦du 4 mamy wzór
1
y(x + h) = y + (F1 + 2F2 + 2F3 + F4 ),
6
gdzie
1
1
F1 = hf (y, x)
F2 = hf y + F1 , x + h
2
2
1
1
F3 = hf y + F2 , x + h
F4 = hf (y + F3 , x + h) .
2
2
15
Metody nazywaja si¦ rz¦dów 3 i 4, poniewa» wzory tych metod maj¡
bª¦dy lokalne O(h4 ) oraz O(h5 ), odpowiednio.
5.2
Bª¡d lokalny metody
W metodzie Rungego-Kutty rz¦du 4 bª¡d lokalny wynosi Ch5 , przy czym
nie znamy warto±ci staªej C . Aby oszacowa¢ t¦ staª¡, zaªó»my, »e ona lokalnie si¦ nie zmienia. Oznaczmy przez y rozwi¡zanie dokªadne zagadnienia
pocz¡tkowego (1.1), a przez ȳ rozwi¡zanie przybli»one. Wówczas
y(x0 + h) − ȳ(x0 + h) = Ch5 .
Dojdziemy teraz, do innej warto±ci przybli»onej ŷ wykonuj¡c dwa kroki metody z h/2 zamiast h. Mamy wtedy
y(x0 + h) − ŷ(x0 + h) = C(h/2)5 + C(h/2)5 = 2C(h/2)5 .
Po odj¦ciu stronami powy»szych równa« otrzymujemy
ŷ(x0 + h) − ȳ(x0 + h) =
st¡d
15 5
Ch ,
16
16
(ŷ(x0 + h) − ȳ(x0 + h)) .
15
Powy»szy wzór daje nam mozliwo±¢ kontrolowania bª¦du: je±li warto±¢ po
prawej stronie jest zbyt maªa, mo»emy zwi¦kszy¢ h, je±li du»a zmniejszy¢.
Ch5 =
16