Ciągi

5. Ciagi liczb rzeczywistych.
Ciąg {xn }∞
n=0 ⊂ R nazywamy ciągiem Cauchyego, jeśli spełnia on warunek
∀ > 0 ∃ M ∈ N ∀ m, n ­ M |xm − xn | < .
Ciąg {xn }∞
n=0 ⊂ R nazywamy ciągiem zbieżnym, jeśli istnieje x ∈ R taki, że spełniony jest warunek
∀ > 0 ∃ N ∈ N ∀ n ­ N |xn − x| < .
Każdy ciąg Cauchy’ego {xn }∞
n=0 ⊂ R jest ciągiem zbieżnym.
Ciąg {xn }∞
n=0 ⊂ R nazywamy ciągiem ograniczonym, jeśli istnieje M > 0 takie, że |xn | < M dla
wszystkich n ­ 0.
∞
∞
Dla ciągu {xn }∞
n=0 ⊂ R przez {xnk }k=0 oznaczamy podciąg ciągu {xn }n=0 .
Dla ciągu {xn }∞
n=0 ⊂ R określamy granicę górną limn→∞ xn oraz granicę dolną limn→∞ xn wzorami
limn→∞ xn = sup{y : ∃ {xnk }∞
k=0 taki, że lim xnk = y},
k→∞
limn→∞ xn = inf{y : ∃ {xnk }∞
k=0 taki, że lim xnk = y}.
k→∞
Zadania
Zadanie 1. Wykazać, że każdy ciąg Cauchy’ego jest ciągiem ograniczonym.
∞
Zadanie 2. Udowodnić, że jeśli x ∈ R oraz {xn }∞
n=0 ⊂ R jest takim ciągiem, że z każdego podciągu {xnk }k=0
∞
∞
ciągu {xn }n=0 można wybrać podciąg zbieżny do x, to ciąg {xn }n=0 jest zbieżny do x.
Zadanie 3. Korzystając z warunku Cauchy’ego uzasadnić istnienie granic ciągów {xn }∞
n=1 o wyrazach
n
,
n+1
sin 2
sin n
sin 1
(2) xn =
+ 2 + ... + n ,
2
2
2
cos(2!)
cos(n!)
cos(1!)
(3) xn =
+
+ ... +
,
1·2
2·3
n(n + 1)
1
1
1
(4) xn = 1 + 2 + 2 + . . . + 2 .
2
3
n
(1) xn =
Zadanie 4. Zbadać istnienie następujących granic
2n4 − 3n + 5
,
3 + 7n − 6n4
3
(2n − 1)
(2) xn =
,
(4n − 1)2 (1 − 5n)
√
(3) xn = 4n2 − 5n − 7 − 2n,
(1) xn =
(4) xn =
√
n+2−
√
n,
3
10
−√ ,
n
n
√
√
(6) xn = 3 n3 + 2n2 + 4 − 3 n3 + 1,
(5) xn =
1
2
(7) xn =
(8) xn =
(9) xn =
(10) xn =
(11) xn =
(12) xn =
√
3
n3 + 4n2 − n,
√
n2 − 1
√
,
3
n3 + 1
n−1
4
−5
,
2n
2 −7
− 8n−1
,
7n+1
√
n
2n + 5n + 7n ,
√
n
3n + 2n ,
1 + 2 + ... + n
,
n2
2 n
= 1+
,
n
1 n
= 1− 2 ,
n
4 −n+3
= 1−
,
n
n2 + 6n2
=
,
n2
2
4 2n +1
= 1− 2
,
n
p
p
√
√
= n + n − n − n,
(13) xn =
(14) xn
(15) xn
(16) xn
(17) xn
(18) xn
(19) xn
(20) xn = n(ln(n + 1) − ln n).
Zadanie 5. Załóżmy, że lim xn = 0 oraz że ciąg {yn }∞
n=0 jest ciągiem ograniczonym. Wykazać, że
n→∞
lim xn yn = 0.
n→∞
Zadanie 6. Załóżmy, że lim xn yn = 0. Czy stąd wynika, że lim xn = 0 lub lim yn = 0?
n→∞
n→∞
Zadanie 7. Udowodnić, że dla dowolnych ciągów
{xn }∞
n=0
oraz
{yn }∞
n=0
n→∞
prawdziwe są nierówności
limn→∞ xn + limn→∞ yn ¬ limn→∞ (xn + yn ) ¬ limn→∞ xn + limn→∞ yn
¬ limn→∞ (xn + yn ) ¬ limn→∞ xn + limn→∞ yn .
∞
Zadanie 8. Udowodnić, że dla dowolnych ciągów {xn }∞
n=0 oraz {yn }n=0 o wyrazach dodatnich, prawdziwe
są nierówności
limn→∞ xn · limn→∞ yn ¬ limn→∞ (xn yn ) ¬ limn→∞ xn · limn→∞ yn
¬ limn→∞ (xn yn ) ¬ limn→∞ xn · limn→∞ yn .
∞
Zadanie 9. Udowodnić, że jeśli istnieje granica ciągu {xn }∞
n=0 , to dla dowolnego ciągu {yn }n=0 zachodzi
limn→∞ (xn + yn ) = lim xn + limn→∞ yn ,
n→∞
limn→∞ (xn yn ) = lim xn limn→∞ yn .
n→∞
3
Zadanie 10. Udowodnić, że jeśli {xn }∞
n=0 jest takim ciągiem, że prawdziwy jest co najmniej jeden z poniższych warunków
(1) dla każdego ciągu {yn }∞
n=0 zachodzi limn→∞ (xn + yn ) = limn→∞ xn + limn→∞ yn ,
(2) dla każdego ciągu {yn }∞
n=0 zachodzi limn→∞ (xn yn ) = limn→∞ xn limn→∞ yn , oraz xn ­ 0 dla n ­ 0,
to ciąg {xn }∞
n=0 jest ciągiem zbieżnym.
Zadanie 11. Udowodnić, że ciągi określone rekurencyjnie wzorami
1 1
(1) x1 = , xn+1 = 1 − n+1 xn dla n ­ 2,
2
2
√
√
(2) x1 = 2, xn+1 = 2 + xn dla n ­ 2,
są zbieżne.
Zadanie 12. Określmy rekurencyjnie ciąg
a0 = 0, a1 = 1,
an−1 + an−2
,
an =
2
n ­ 2.
Obliczyć lim an .
n→∞
Zadanie 13. Niech a, b ­ 0. Określmy rekurencyjnie ciągi
√
x0 = a, y0 = b, oraz xn+1 = xn yn ,
∞
Zbadać zbieżność ciągów {xn }∞
n=0 oraz {yn }n=0
Zadanie 14. Niech x0 = 1 oraz xn+1 =
xn + yn
,
2
oraz porównać ich granice.
yn+1 =
dla n ­ 0.
1
dla n ­ 0. Ile wynosi granica ciągu {xn }∞
n=0 ?
1 + xn
Zadanie 15. Wykazać, że jeśli ciąg {xn }∞
n=1 jest ciągiem zbieżnym do x (x ∈ [−∞, ∞]), to ciąg o wyrazach
yn , gdzie
yn =
x1 + x2 + . . . + xn
,
n
n ­ 1,
jest również ciągiem zbieżnym do x.
Zadanie 16. Wykazać, że jeśli ciąg {xn }∞
n=1 o wyrazach dodatnich jest ciągiem zbieżnym do x (x ∈ [−∞, ∞]),
to ciąg o wyrazach yn , gdzie
yn =
√
n
x1 · x2 · · · xn ,
n ­ 1,
jest również ciągiem zbieżnym do x.
Zadanie 17. Wykazać, że jeśli lim (xn+1 − xn ) = x (x ∈ [−∞, ∞]), to lim
n→∞
n→∞
Zadanie 18. Wykazać, że jeśli xn > 0 dla n ­ 0 oraz lim
n→∞
xn
= x.
n
xn+1
√
= x (x ∈ [−∞, ∞]), to lim n xn = x.
n→∞
xn
Zadanie 19. Czy istnieje ciąg {xn }∞
n=0 dla którego lim xn = ∞ mający własność, że dla każdego k ∈ N
n→∞
zachodzi lim (an+k − an ) = 0.
n→∞
Zadanie 20. Udowodnić, że jeśli dla ciągu {xn }∞
n=0 o wyrazach dodatnich zachodzi
1
limn→∞ xn · limn→∞
= 1,
xn
to ciąg {xn }∞
n=0 jest zbieżny.
4
Zadanie 21. Obliczyć granice ciągu {xn }∞
n=0 o wyrazie
(1) xn =
√
n
n,
√
n
n!,
√
n
n!
(3) xn =
.
n
(2) xn =
Zadanie 22. Obliczyć granicę ciągu {xn }∞
n=1 , gdzie
1
xn = 2 (bec + b2ec + . . . + bnec).
n
Zadanie 23. Obliczyć granicę
h xn+1
xn+2
x2n i
+
+ ... +
,
n→∞ (n + 1)!
(n + 2)!
(2n)!
(1) lim
n
(2) lim (1 + x)(1 + x2 )(1 + x4 ) · · · (1 + x2 ) dla |x| < 1,
n→∞
(3) lim cos
n→∞
x
x
x
cos · · · cos n .
2
4
2