1. Oblicz pole obszaru ograniczonego krzywymi y = −x2, x =2i y = 0
Transkrypt
1. Oblicz pole obszaru ograniczonego krzywymi y = −x2, x =2i y = 0
Budownictwo, sem. 2 studia niestacjonarne Egzamin z Matematyki Nazwisko i imię Zestaw 168251 1 2 rok ak. 2008/2009 ........................................ 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P max: 2pkt 2pkt 2pkt 2pkt 2pkt 3pkt 3pkt 3pkt 3pkt 3pkt 2pkt 3pkt 30 pkt pkt. Rozwiąż podane zadania. Powodzenia! 1. Oblicz pole obszaru ograniczonego krzywymi y = −x2 , x = 2 i y = 0. 2. Podaj postać rozwiązania ogólnego równania xex 0 y =√ . y 3. Podaj postać rozwiązania ogólnego równania y 00 − 4y 0 + 5y = 0. 4. Podaj postać rozwiązania szczególnego równania y 00 − 2y 0 + y = xex + sin x. (bez wyznaczania współczynników) 5. Oblicz gradient funkcji f (x, y) = xy 2 + x3 + exy w punkcie (x, y) = (0, 1). 6. Korzystając z różniczki funkcji obliczyć przybliżoną √ wartość wyrażenia 8,94 · (1,001)3 Budownictwo, sem. 2 studia niestacjonarne Egzamin z Matematyki rok ak. 2008/2009 7. Oblicz moment bezwładności względem osi OX trójkąta o wierzchołkach (−1, 0), (1, 0), (0, 1) i gęstości ρ(x, y) = y. 8. Oblicz masę prostopadłościanu V = h0, 1i × h0, 2i × h−1, 1i o gęstości ρ(x, y, z) = x2 + y 2 . 9. Oblicz masę odcinka AB, gdy A(1, 2, 3) i B(3, 5, 4), o gęstości ρ(x, y, z) = x + y + z. 10. Wykorzystując twierdzenie Greena obliczyć całkę krzywoliniową skierowaną ‰ (x − y)2 dy − (x + y)2 dx, L gdzie L jest dodatnio zorientowaną krzywą zamkniętą będącą brzegiem prostokąta ograniczonego liniami x = 0, x = 2, y = 0 i y = 1. 11. Niech F~ = x3 y, 2yz 2 , xz . Oblicz rot F~ . Czy pole F~ jest potencjalne? h i 12. Obliczyć pole powierzchni części płaszczyzny 2x + 3y + z − 6 = 0 wyciętej przez walec x2 + y 2 = 4. Zestaw nr 168251 Budownictwo, sem. 2 studia niestacjonarne Egzamin z Matematyki Nazwisko i imię Zestaw 234651 1 2 rok ak. 2008/2009 ........................................ 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P max: 2pkt 2pkt 2pkt 2pkt 2pkt 3pkt 3pkt 3pkt 3pkt 3pkt 2pkt 3pkt 30 pkt pkt. Rozwiąż podane zadania. Powodzenia! 1. Oblicz pole obszaru ograniczonego krzywymi √ y = − x, x = 4 i y = 0. 2. Podaj postać rozwiązania ogólnego równania x sin x . y0 = y2 3. Podaj postać rozwiązania ogólnego równania y 00 + 6y 0 + 9y = 0. 4. Podaj postać rozwiązania szczególnego równania y 00 + y 0 = x3 + x sin x. (bez wyznaczania współczynników) 5. Oblicz gradient funkcji f (x, y) = x2 y + y 3 + ex+y w punkcie (x, y) = (1, −1). 6. Korzystając z różniczki funkcji obliczyć przybliżoną (2,02)4 wartość wyrażenia √ . 3 7,99 Budownictwo, sem. 2 studia niestacjonarne Egzamin z Matematyki rok ak. 2008/2009 7. Oblicz moment bezwładności względem osi OY trójkąta o wierzchołkach (0, −1), (1, 0), (0, 1) i gęstości ρ(x, y) = x. 8. Oblicz masę prostopadłościanu V = h−1, 1i×h1, 2i× h0, 3i o gęstości ρ(x, y, z) = x2 + y 2 . 9. Oblicz masę półłuku okręgu x2 + y 2 = 4, y > 0 o gęstości ρ(x, y) = y. 10. Wykorzystując twierdzenie Greena obliczyć całkę krzywoliniową skierowaną ‰ 2x(y + 1)dx + 2x2 dy, L gdzie L jest dodatnio zorientowaną krzywą zamkniętą będącą brzegiem prostokąta ograniczonego liniami x = 1, x = 2, y = 0 i y = 2. 11. Niech F~ = 2x + 4x3 y 2 z, 2x4 yz, x4 y 2 + z . Oblicz rot F~ . Czy pole F~ jest potencjalne? √ 12. Obliczyć pole powierzchni bocznej stożka z = x2 + y 2 , h i 1 6 z 6 2. Zestaw nr 234651