Zestaw Υ. Imię i nazwisko: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1) [1

Zestaw Υ. Imię i nazwisko: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1) [1

(1)
(2)
(3)
(4)
Zestaw Υ. Imię i nazwisko: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
[1 pkt.] Zdanie ∀x : f (x) > g(x) ⇒ ∀x, y : f (x) > g(y) jest
(a) zawsze prawdziwe
(b) zawsze fałszywe
(c) zależy od funkcji
f, g
0
a−1
[1 pkt.] Macierz
a+1
2
(a) zawsze ma macierz odwrotną
(b) nie ma macierzy odwrotnej
(c) dla pewnych wartości a nie ma macierzy odwrotnej (podaj te wartości: . . . . . . )
2
[1 pkt.] Funkcja ex w 0
(a) ma minimum
(b) ma maksimum
(c) nie ma ekstremum
[1 pkt.] Czy dla dowolnych zbiorów A, B, C prawdziwa jest równość
(A \ B) ∪ (B \ C) = (A ∪ B) \ C?
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
Uzasadnić, lub wskazać przykład, gdy nie ma równości.
∞
\
1
1
[1 pkt.] Podaj, czym jest
− ,2 − .
n
n
n=1
[2 pkt.] Niech f (x) = 2 − |x|. Czy f jest suriekcją? (Odpowiedź uzasadnij.)
Pokaż na przykładzie, że równość f −1 (f (A)) = A nie musi być prawdziwa.
[1 pkt.] Znajdź zespolone pierwiastki równania z 2 + (1 − 2i)z − i = 0.
[1 pkt.] Znajdź zbiór {z : Im z̄ 2 =
 0}.

x + y + z = 3
[2 pkt.] Rozwiąż układ równań 2x − y = z

z + 2y + 1 = 0


2 3
0 −1
1 0 −1 
[1 pkt.] Spośród macierzy
,
, 0 −1 wybierz dwie takie,
1 2
−1 2 −1
1 2
których iloczyn jest macierzą kwadratową i znajdź ten iloczyn. Policz wyznacznik
iloczynu.
[1 pkt.] Znajdź dowolną prostą prostą prostopadłą do prostej o równaniu
3.25x − 12y = 72 .
(12) [2 pkt.] Policz granice ciągów
2
3n2
n +1
,
(a) an =
n2 − 1
3n2 − n − cos n
.
(b) bn =
(n + sin n)2
√
√
(13) [2 pkt.] Znajdź dziedzinę funkcji f (x) = x2 − 4 − x2 + 4 i policz granice na
końcach przedziałów dziedziny. Czy ta funkcja jest monotoniczna? (Uzasadnienie.)
(14) [1 pkt.] Policz drugą pochodną funkcji sin(x3 ).
(15) [5 pkt.] Zbadaj funkcję i naszkicuj jej wykres
(
x3 − x dla x ≤ 0
f (x) =
x
dla x > 0
x+1
(16) [1 pkt.] Znajdź średnią liczbę punktów, jaką można otrzymać za zadanie z tego
egzaminu. Jakie jest odchylenie standardowe?
(1)
(2)
(3)
(4)
Zestaw Ξ. Imię i nazwisko: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
[1 pkt.] Zdanie ∃x, y : f (x) > g(y) ⇒ ∃x : f (x) > g(x) jest
(a) zawsze prawdziwe
(b) zawsze fałszywe
(c) zależy od funkcji
f, g
0
a+1
[1 pkt.] Macierz
a+1
1
(a) zawsze ma macierz odwrotną
(b) nie ma macierzy odwrotnej
(c) dla pewnych wartości a nie ma macierzy odwrotnej (podaj te wartości: . . . . . . )
3
[1 pkt.] Funkcja ex w 0
(a) ma minimum
(b) ma maksimum
(c) nie ma ekstremum
[1 pkt.] Czy dla dowolnych zbiorów A, B, C prawdziwa jest równość
(A \ B) ∩ (B \ C) = (A ∩ B) \ C?
Uzasadnić, lub wskazać przykład, gdy nie ma równości.
∞
[
1
1
(5) [1 pkt.] Podaj, czym jest
− ,2 − .
n
n
n=1
(6) [2 pkt.] Niech f (x) = 2 − |x|. Czy f jest iniekcją? (Odpowiedź uzasadnij.)
Pokaż na przykładzie, że równość f (f −1 (A)) = A nie musi być prawdziwa.
(7) [1 pkt.] Znajdź zespolone pierwiastki równania z 2 − (1 + 2i)z + i = 0.
(8) [1 pkt.] Znajdź zbiór {z : Im z̄(z+ i) = 0}.

x − y − z = −1
(9) [2 pkt.] Rozwiąż układ równań 2x = y + z

z + 2y + 1 = 0


2 3
0 1
0 1 −1 
(10) [1 pkt.] Spośród macierzy
,
, −1 0 wybierz dwie takie,
−2 2
−1 2 1
1 2
których iloczyn jest macierzą kwadratową i znajdź ten iloczyn. Policz wyznacznik
iloczynu.
(11) [1 pkt.] Znajdź dowolną prostą prostą prostopadłą do prostej o równaniu
√
3
2x + 1.2y = 13
.
(12) [2 pkt.] Policz granice ciągów
2
2n2
n −1
(a) an =
,
n2 + 1
(2n + cos n)2
.
(b) bn = 2
n − n − sin n
√
√
(13) [2 pkt.] Znajdź dziedzinę funkcji f (x) = x2 − 9 − x2 + 9 i policz granice na
końcach przedziałów dziedziny. Czy ta funkcja jest monotoniczna? (Uzasadnienie.)
(14) [1 pkt.] Policz drugą pochodną funkcji cos(x2 ).
(15) [5 pkt.] Zbadaj funkcję i naszkicuj jej wykres
(
x3 − x dla x ≥ 0
f (x) =
x
dla x < 0
x−2
(16) [1 pkt.] Znajdź średnią liczbę punktów, jaką można otrzymać za zadanie z tego
egzaminu. Jakie jest odchylenie standardowe?