Badanie funkcji

Badanie funkcji
Zad. 1:
Funkcja f jest określona wzorem f ( x) =
2 + x3
.
x
a) RozwiąŜ równanie f(x) = 5.
b) Znajdź przedziały monotoniczności funkcji f .
c) Oblicz największą i najmniejszą wartość funkcji f w przedziale
1
2
; 2 .
Odp.: a) x = 2, x = −1 − 2 lub x = −1 + 2 ; b) Funkcja jest rosnąca w przedziale (1;+∞),
funkcja jest malejąca w przedziałach (–∞;0) oraz (0;1). c) Dla x = 1 funkcja osiąga wartość
najmniejszą równą 3, dla x = 21 funkcja osiąga wartość największą równą 174 .
Zad. 2:
Znajdź najmniejszą i największą wartość funkcji f ( x) = 3 cos 2x + sin 2x − x2− 3 w przedziale
〈0;4π〉.
Odp.: Dla x = 83 π funkcja osiąga wartość najmniejszą równą 23 − 43 π − 3 , dla x = 0 funkcja
osiąga wartość największą równą
3
2
+ 3.
Zad. 3:
1
1
+
w przedziale π6 ; π3 .
2
sin x cos 2 x
funkcja osiąga wartość najmniejszą równą 4, dla x = π3 funkcja osiąga war-
Znajdź najmniejszą i największą wartość funkcji f ( x) =
Odp.: Dla x =
π
4
tość największą równą
16
3
.
Zad. 4:
Sporządź wykres i określ zbiór wartości funkcji:
x −1
a) y =
;
x−2
x2 − 1
b) f ( x) = 2
;
x +1
c) h(x) = 1 + sin 2x, gdzie x ∈ 〈–π;π〉.
Odp.: a) zbiorem wartości jest R \ {1}; b) zbiorem wartości jest przedział (–1;1); c) zbiorem
wartości jest przedział 〈0;2〉.
Zad. 5:
Zbadaj przebieg zmienności i naszkicuj wykres funkcji f(x) = x3 + x2 – 5x – 5. Określ liczbę
pierwiastków równania |f(x)| = m w zaleŜności od wartości parametru m, a następnie naszkicuj wykres funkcji, która kaŜdej wartości parametru m przyporządkowuje liczbę pierwiastków
tego równania.
Odp. Równanie nie ma pierwiastków dla m ∈ (–∞;0), ma dwa pierwiastki dla m ∈ (8;+∞),
40
ma trzy pierwiastki dla m = 0 i dla m = 8, ma cztery pierwiastki dla m ∈ ( 27
;8) ; ma pięć
40
).
pierwiastków dla m = 5, ma sześć pierwiastków dla m ∈ (0; 27
74
Zad. 6:
Zbadaj przebieg zmienności i naszkicuj wykres funkcji f ( x) =
Zad. 7:
Zbadaj przebieg zmienności i naszkicuj wykres funkcji f ( x) =
4 − x2
.
x2 − 1
( x − 1)( x − 3)
. Ile punktów
x 2 − 4x
wspólnych moŜe mieć wykres funkcji f z prostą przechodzącą przez punkt (0; 41 ) .
Odp.: Prosta y = mx + 41 moŜe mieć z wykresem funkcji f jeden punkt wspólny dla
m ∈ (0;+∞), trzy punkty wspólne dla m ∈ (– ∞;0). Prosta x = 0 nie przecina wykresu funkcji f .
Zad. 8:
a) Zbadaj przebieg zmienności i naszkicuj wykres funkcji f ( x) =
3x
. Ustal liczbę rozx − x +1
2
wiązań równania f(x) = k w zaleŜności od wartości parametru k.
*b) Naszkicuj wykres funkcji g(x) = |f(x)|, gdzie [p] oznacza największą liczbę całkowitą nie
większą od p.
Odp.: a) Równanie f(x) = k nie ma rozwiązania dla k ∈ (–∞;–1) ∪ (3;+∞), ma jedno rozwiązanie dla k ∈ {–1, 0, 3}, ma dwa rozwiązania dla k ∈ (–1;0) ∪ (0;3).
Zad. 9:
Zbadaj przebieg zmienności i naszkicuj wykres funkcji f ( x) =
x 2 − 3x
.
x +1
Zad. 10:
2
2x
 2x 
Zbadaj przebieg zmienności i naszkicuj wykres funkcji f ( x) = 1 + 2
+ 2
 +K .
x − 3  x − 3
x2 − 3
.
Odp.: Ostateczna postać wzoru funkcji: f ( x) = 2
x − 2x − 3
Zad. 11:
Dla jakich wartości parametru m prosta y = 1 jest asymptotą poziomą wykresu funkcji
mx 2 − 1
f ( x) =
? Dla znalezionej wartości m zbadaj przebieg zmienności i naszkicuj wykres
( x + 2) 2
funkcji f .
Odp.: m = 1.
Zad. 12:
x 2 + ax + 1
Punkt P = (–1;1) naleŜy do wykresu funkcji f ( x) =
, gdzie b ≠ 1. Styczna do
x+b
wykresu tej funkcji, poprowadzona w punkcie P, jest prostopadła do prostej o równaniu 2x –
y + 3 = 0. Oblicz współczynniki a i b.
Odp.: a = 4, b = –1.
75
Zad. 13:
x2 − 3
ma ekstrema w punktach x1 i x2. Napisz równanie prostej przechodząx−2
cej przez środek odcinka o końcach (x1, f(x1)), (x2, f(x2)) i równoległej do stycznej do wykresu funkcji w punkcie o odciętej x0 = 4.
Odp.: y = 43 x + 25 (x1 = 1, x2 = 3, środek odcinka ma współrzędne (2,4)).
Funkcja f ( x) =
Zad. 14:
Funkcja f ( x) =
( x − 2) 2
ma ekstrema w punktach x1 i x2. Punkty (x1, f(x1)) i (x2, f(x2)) są
2x
wierzchołkami trójkąta prostokątnego. Znajdź współrzędne trzeciego wierzchołka tego trójkąta, wiedząc, Ŝe leŜy on na osi y.
(
)
(
Odp.: (0, 2) lub (0, – 6) lub 0, − 2 + 2 2 lub 0, − 2 − 2 2
)
(x1 = –2, x2 = 2).
Zad. 15:
2x 4
poprowadzono styczne w punktach, których rzędna jest
Do wykresu funkcji f ( x) = 2
x +1
równa 1. Oblicz obwód trójkąta, którego wierzchołkami są punkty styczności oraz punkt
wspólny tych stycznych.
Odp.: Obwód trójkąta jest równy 2 + 2 10 (styczne mają równania y = 3x – 2 oraz y = –3x
– 2, wierzchołki trójkąta mają współrzędne (–1,1), (1,1), (0,–2)).
Zad. 16:
a) Dla jakich dodatnich wartości parametru t wielomian W( x) = x 3 − 23 tx 2 + 23 t 3 − t ma trzy
pierwiastki?
*b) Udowodnij, Ŝe wykres dowolnego wielomianu stopnia trzeciego ma środek symetrii.
Znajdź współrzędne tego środka symetrii.
Odp.: a) t ∈
( ;1) .
6
3
Zad. 17:
Dla jakich wartości parametru m równanie x3 + (3 – m)x2 – 4 = 0 ma dokładnie jedno rozwiązanie?
Odp.: m ∈ (0; + ∞).
Zad. 18:
Ustal liczbę rozwiązań danego równania w zaleŜności od wartości parametru k:
a) x + k x = k ; *b) k ln x2 = |x| – k.
Odp.: a) Równanie nie ma rozwiązania dla k ∈ (– 4;0), ma jedno rozwiązanie dla k ∈ 〈0;+
∞) oraz dla k = – 4, ma dwa rozwiązania dla k ∈ (– ∞;– 4). b) Równanie nie ma rozwiązania
dla k ∈ 0;
k∈
(
e
2
e
2
)
) , ma dwa rozwiązania dla k ∈ (– ∞;0) oraz k =
e
2
, ma cztery rozwiązania dla
;+∞ .
Zad. 19:
(
Zbadaj liczbę rozwiązań równania ( m + 2) 3 − 2 2
)
x
(
+ ( 2 m − 1) 3 + 2 2
)
x
= 3m + 2 w
76
zaleŜności od wartości parametru m.
Odp.: RozwaŜane równanie ma jedno rozwiązanie dla m ∈ − 2; 21 , ma dwa rozwiązania dla
m ∈ ( − ∞;−2) ∪ ( 21 ;+∞) .
Zad. 20:
Sporządź wykres i określ zbiór wartości funkcji:
x−2
a) h( x) =
;
x +1
b) g(x) = 1 + 2|1 – x|;
ln x
c) f ( x) =
, gdzie x ∈ (0;6).
x
Odp.: a) zbiorem wartości jest R \ {1}; b) zbiorem wartości jest przedział 〈2; + ∞); c) zbiorem wartości jest przedział ( − ∞; 1e .
Zad. 21:
x 2 + px + 1
Dana jest funkcja f ( x) = 2
.
x − px + 4
a) Dla jakich wartości parametru p funkcja f ma dwa miejsca zerowe i moŜe być określona
dla kaŜdego x ∈ R?
b) Znajdź ekstrema funkcji f dla p = 2.
Odp.: a) p ∈ (– 4; –2) ∪ (2; 4); b) Dla p = 2 funkcja osiąga minimum równe 0.
Zad. 22:
Rysunek przedstawia wykres funkcji f ( x) =
ax + b
.
cx + 2
a) Oblicz współczynniki a, b, c.
b) Napisz równanie stycznej do wykresu f w punkcie A = (0,d).
ax + b
c) Naszkicuj wykres funkcji g( x) =
.
cx +2
y
A = (0,d)
3
–4
–2
x
0
Odp.: a) a = 3, b = 12, c = 1; b) y = − 23 x + 6 (d = 6).
Zad. 23:
Funkcja f przyporządkowuje kaŜdej liczbie rzeczywistej x współczynnik kierunkowy stycznej do krzywej y = ln(x2 + 1) w punkcie o odciętej x. Wyznacz zbiór wartości funkcji f .
77
Odp.: f ( x) =
2x
, zbiorem wartości jest przedział 〈–1;1〉.
x +1
2
Zad. 24:
a) Zbadaj przebieg zmienności i naszkicuj wykres funkcji f ( x) =
*b) Określ liczbę rozwiązań równania
2x 2
(2 − x ) 2
2x 2
( 2 − x) 2
.
= m w zaleŜności od wartości parametru m.
Odp.: b) Równanie nie ma rozwiązania dla m ∈ (– ∞;0), ma jedno rozwiązanie dla m = 0,
ma dwa rozwiązania dla m ∈ (0;2〉, ma cztery rozwiązania dla m ∈ (2;+ ∞).
Zad. 25:
Zbadaj przebieg zmienności i naszkicuj wykres funkcji f ( x) =
Zad. 26:
Zbadaj przebieg zmienności i naszkicuj wykres funkcji f ( x) =
x ( x + 3)
.
x −1
x ( x − 3)
.
x +1
Zad. 27*:
a) Zbadaj przebieg zmienności i naszkicuj wykres funkcji f ( x) =
ln x
.
x2
b) Udowodnij, Ŝe x 2 e ≤ e x dla x > 0.
2
Zad. 28:
Dla jakiej wartości parametru m prosta y = 1 jest asymptotą poziomą wykresu funkcji
mx 2 − 1
? Dla znalezionej wartości m zbadaj przebieg zmienności i naszkicuj wykres
f ( x) =
( x − 2) 2
funkcji g(x) = f(|x|).
x2 − 1
Odp.: m = 1; g( x) =
dla x ∈ R \ {–2, 2}.
( x − 2) 2
Zad. 29:
x−a
wiadomo, Ŝe prosta x = 2 jest asymptotą pionową jej wykresu
x − 7x + b
oraz Ŝe dla x = 3 funkcja osiąga maksimum. Naszkicuj wykres funkcji f i uzasadnij, Ŝe
równanie f(|x|) = mx ma co najmniej dwa rozwiązania dla dowolnego m ≠ 0.
x −1
Odp.: a = 1, b = 10; f ( x) = 2
dla x ∈ R \ {2, 5}.
x − 7 x + 10
O funkcji f ( x) =
2
Zad. 30:
2x 2 − 1
Znajdź równania stycznych do wykresu funkcji f ( x) =
, z których kaŜda razem z
x
osiami układu współrzędnych ogranicza trójkąt o polu 1.
Odp.: y = 4 x − 2 2 i y = 4 x + 2 2 .
78
Zad. 31:
Dane są funkcje f ( x) = 1x , h( x) = 1 − 4 x 2 .
(
)
a) Dla jakich argumentów wartości funkcji g( x) = f ( x) 1 − h( x) są większe od
b) Oblicz pole figury ograniczonej wykresami funkcji f i h, prostymi x =
x.
1
Odp.: a) x ∈ ( 12
25 ; 2 ; b) P = ln 4 −
5
48
1
4
2
3
?
i x = 1 oraz osią
.
Zad. 32:
Oblicz miejsca zerowe i sporządź wykres funkcji:
a) y = 21 x 2 − x − 21 ;
x
;
b) f ( x) = 2
x +1
c) h(x) = 1 + sin 2x.
Odp.: a) x = 1 − 2 i x = 1 + 2 ; b) x = 0; c) x = − π4 + kπ , gdzie k ∈ C.
Zad. 33:
Sporządź wykres i określ zbiór wartości funkcji:
x
a) y =
;
x−2
x2 − 4
;
b) f ( x) = 2
x +1
c) h(x) = 1 + cos 2x, gdzie x ∈ 〈–π;π〉.
Odp.: a) zbiorem wartości jest R \ {1}; b) zbiorem wartości jest przedział 〈– 4;1); c) zbiorem
wartości jest przedział 〈0;2〉.
Zad. 34:
Zbadaj przebieg zmienności i naszkicuj wykres funkcji f(x) = 2x3 – 3x2 – 12x + 18.
Zad. 35:
Zbadaj przebieg zmienności i naszkicuj wykres funkcji f(x) = x(x2 – 4) + x + 2.
Zad. 36:
a) Zbadaj przebieg zmienności i naszkicuj wykres funkcji f(x) = (x – 1)(x2 + x – 2).
*b) Ustal liczbę pierwiastków równania f(|x|) = m w zaleŜności od wartości parametru m.
Odp.: b) Równanie nie ma rozwiązania dla m ∈ (– ∞;0), ma dwa rozwiązania dla
m ∈ (2;+ ∞) ∪ {0}, ma trzy rozwiązania dla m = 2, ma cztery rozwiązania dla m ∈ (0;2).
Zad. 37:
Funkcja f(x) = ax3 + bx + 2 ma dla x = –1 ekstremum równe 4. Oblicz współczynniki a i b,
a następnie zbadaj przebieg zmienności i naszkicuj wykres funkcji f .
Odp.: a = 1, b = –3; f(x) = x3 – 3x + 2 dla x ∈ R.
Zad. 38:
a) Dla jakich wartości parametru m funkcja f(x) = x3 – mx2 + 5x – 20 ma dla x = 1 maksimum? Dla znalezionej wartości m zbadaj przebieg zmienności i naszkicuj wykres funkcji f .
79
*b) Zbadaj znaki pierwiastków równania f ‘(x) = 0 w zaleŜności od wartości parametru m.
Odp.: a) m = 4, f(x) = x3 – 4x2 + 5x – 20 dla x ∈ R; b) Równanie nie ma pierwiastków dla
(
)
m ∈ − 15; 15 , ma jeden pierwiastek i jest on dodatni dla m = 15 , ma jeden pierwiastek
(
)
i jest on ujemny dla m = − 15 , ma dwa pierwiastki ujemne dla m ∈ − ∞;− 15 , ma dwa
pierwiastki dodatnie dla m ∈
(
)
15;+∞ .
Zad. 39:
Miejscami zerowymi funkcji f(x) = ax3 – x2 – 3x + b są liczby 3 oraz – 3. Oblicz współczynniki a i b, a następnie zbadaj monotoniczność i znajdź ekstrema funkcji f . Oblicz współrzędne tych punktów naleŜących do wykresu funkcji f , w których styczne są równoległe do
prostej o równaniu y = 5x + 1.
Odp.: a = 13 , b = 9; Funkcja f ( x) = 13 x 3 − x 2 − 3x + 9 jest rosnąca w przedziałach (– ∞; –1)
oraz (3; + ∞), funkcja jest malejąca w przedziale (–1;3); ymax = f(–1) =
Szukane punkty mają współrzędne ( − 2, 253 ) i (4, 73 ) .
32
3
, ymin = f(3) = 0.
Zad. 40*:
a) Do wykresu funkcji f(x) = ax3 + bx2 + cx + d naleŜą punkty A = (0, – 4) i B = (–1, 3).
Funkcja ta osiąga ekstrema dla x1 = 1 i x2 = − 43 . Oblicz współczynniki a, b, c, d, a następnie zbadaj przebieg zmienności i naszkicuj wykres funkcji f .
b) Naszkicuj wykres funkcji y = f(|x|) + k, gdzie k jest największym pierwiastkiem równania
2
2
3
x log x + log x +3 =
.
1
1
−
x +1 −1
x +1 +1
Odp.: a) a = 2, b = 1, c = – 8, d = – 4; f(x) = 2x3 + x2 – 8x – 4 dla x ∈ R; b) k = 101 .
Zad. 41:
a) Prosta o równaniu 4x + y + 1 = 0 jest styczna w punkcie (–1, 3) do wykresu funkcji
f(x) = 2x3 + a2x2 – 8ax – 4. Oblicz miejsca zerowe oraz znajdź przedziały monotoniczności i
ekstrema funkcji f .
*b) Pierwiastkami wielomianu W(x) = x3 + kx2 + mx + n są liczby x1, x2, x3. Wyraź współczynniki k, m, n w zaleŜności od x1, x2, x3.
Odp.: a) a = 1; f(x) = 2x3 + x2 – 8x – 4 dla x ∈ R; miejsca zerowe funkcji f : x1 = 0 i
x2 = –2 i x 3 = − 21 ; funkcja jest rosnąca w przedziałach ( − ∞;− 43 ) oraz (1; + ∞), funkcja jest
malejąca w przedziale ( − 43 ;1) ; y max = f ( −
m = x1x2 + x2x3 + x1x3, n = – x1x2x3.
4
3
) = 100
27 ,
ymin = f(1) = –9; b) k = – (x1 + x2 + x3),
Zad. 42:
Zbadaj przebieg zmienności i naszkicuj wykres funkcji f(x) = x4 – 8x2 + 7.
Zad. 43*:
a) Zbadaj przebieg zmienności i naszkicuj wykres funkcji f(x) = x4 – 5x2 + 6.
b) Określ liczbę rozwiązań równania |x4 – 5x2 + 6| = m w zaleŜności od wartości parametru
m.
Odp.: b) Równanie nie ma rozwiązania dla m ∈ (– ∞;0), ma dwa rozwiązania dla m ∈ (6; +
∞), ma trzy rozwiązania dla m = 6, ma cztery rozwiązania dla m ∈ ( 41 ;6) i dla m = 0, ma
80
sześć rozwiązań dla m = 41 , ma osiem rozwiązań dla m ∈ (0; 41 ) .
Zad. 44:
a) Zbadaj przebieg zmienności i naszkicuj wykres funkcji f ( x) = 41 x 4 − 2 x 2 .
*b) Wyraź liczbę rozwiązań równania 41 x 4 − 2 x 2 = m jako funkcję parametru m i sporządź
jej wykres.
0 dla m ∈ ( − ∞;−4)

2 dla m ∈ (0;+∞) ∪ { − 4}
Odp.: b) g( m) = 
.
3 dla m = 0
4 dla m ∈ ( − 4;0)
Zad. 45:
Zbadaj przebieg zmienności i naszkicuj wykres funkcji f ( x) =
2x
.
x +1
2
Zad. 46:
Zbadaj przebieg zmienności i naszkicuj wykres funkcji f ( x) =
2 x 2 − 6x + 1
, a następnie
2x 2 + 4
odczytaj jej zbiór wartości.
Odp.: Zbiorem wartości funkcji f jest przedział − 21 ; 74 .
Zad. 47:
x 2 − 6x + 9
a) Zbadaj przebieg zmienności i naszkicuj wykres funkcji f ( x) =
.
x2 + 2
− x2 + 6 x − 9
*b) Ustal liczbę punktów wspólnych wykresu funkcji g( x) =
z prostymi postax2 + 2
ci
y = m w zaleŜności od wartości parametru m.
Odp.: b) Funkcja g i proste y = m nie mają punktów wspólnych dla m ∈ ( − ∞;− 92 ) ∪ ( 0;+∞) ,
mają jeden punkt wspólny dla m = − 92 , mają dwa punkty wspólne dla m ∈ ( − 92 ;−1 ∪ { 0} ,
mają cztery punkty wspólne dla m ∈ (–1;0).
Zad. 48:
a − x2
.
2 + x2
a) Zbadaj przebieg zmienności funkcji f i wyznacz jej zbiór wartości.
*b) Określ liczbę rozwiązań równania (f(x))2 – 1 = |m –2| w zaleŜności od wartości parametru m.
2 − x2
Odp.: a) a = 2, f ( x) =
dla x ∈ R; b) Równanie nie ma rozwiązań dla m ∈ R \ {2},
2 + x2
ma jedno rozwiązanie dla m = 2.
Zad. 49:
x 2 + ax + 1
, gdzie b ≠ 1. Styczna do
Punkt P = (–1,1) naleŜy do wykresu funkcji f ( x) =
x+b
Punkt A =
(
)
3 ,− 15 naleŜy do wykresu funkcji f ( x) =
81
wykresu funkcji f poprowadzona w punkcie P jest prostopadła do prostej o równaniu 2x – y
+ 3 = 0. Oblicz współczynniki a i b.
Odp.: a = 4, b = –1.
Zad. 50:
a
, gdzie a ≠ 0, poprowadzona w punkcie o odciętej x0 = 1 ogranix
cza wraz z osiami układu współrzędnych trójkąt o polu 6. Oblicz współczynnik a. RozwaŜ
wszystkie przypadki.
Odp.: a = –3 lub a = 3.
Styczna do hiperboli y =
Zad. 51*:
Wyraź pole obszaru ograniczonego wykresem funkcji y = – |x – 2| + 2 i prostą y = mx + b
przechodzącą przez punkt (1,0) jako funkcję parametru m. Dla jakich wartości parametru m
funkcja ta przyjmuje wartość najmniejszą?
( m − 2) 2
1
Odp.: f ( m) =
2 , gdzie m∈(–1;1). Dla m = 2 funkcja f ma wartość najmniejszą
1− m
równą 3.
Zad. 52:
− x 2 − 3x dla x < −1
.
Dana jest funkcja określona wzorem f ( x) =  2
2 x − x − 1 dla x ≥ −1
a) Oblicz miejsca zerowe funkcji f .
b) Znajdź najmniejszą i największą wartość funkcji f w przedziale 〈–2;2〉.
*c) Wyznacz zbiór wartości parametru m, dla których równanie |mx| = f(x) ma co najmniej
dwa rozwiązania.
Odp.: a) x = –3, x = − 21 i x = 1; b) Dla x = 41 funkcja f osiąga wartość najmniejszą równą
− 98 , dla x = 2 funkcja ta osiąga wartość największą równą 5. c) m ∈ 〈–2;2〉.
Zad. 53:
Dana jest funkcja f ( x) =
( x − 3) 2
.
x2 + 2
a) Znajdź przedziały monotoniczności funkcji f .
b) Oblicz najmniejszą i największą wartość funkcji f w przedziale − 1; 72 .
Odp.: a) Funkcja f jest rosnąca w przedziałach ( − ∞;− 23 ) oraz (3; + ∞), a malejąca w
przedziale ( − 23 ;3) . b) Dla x = 3 funkcja f osiąga wartość najmniejszą równą 0, dla x = − 23
funkcja ta osiąga wartość największą równą
11
2
.
Zad. 54:
x+ 3
w przedziale 〈– 4;1〉.
x2 + 1
*b) Znajdź zbiór wartości takiej funkcji określonej w przedziale (– ∞; + ∞), Ŝe dla dowolnej
wartości parametru m styczna do wykresu funkcji w punkcie o odciętej m ma równanie
(2m + 1)x – y – m2 = 0.
a) Znajdź najmniejszą i największą wartość funkcji f ( x) =
82
Odp.: a) Dla x = − 3 − 2 funkcja f osiąga wartość najmniejszą równą
−2+ 3
, dla
2
2+ 3
. b) RozwaŜaną funkcję
2
moŜna opisać wzorem y = x2 + x. Przedział − 41 ;+∞ jest zbiorem wartości tej funkcji.
x = − 3 + 2 funkcja ta osiąga wartość największą równą
)
Zad. 55:
Dana jest funkcja f ( x) =
ax 2 + 6a − 2
( x + 2) 2
, gdzie a jest najmniejszą liczbą całkowitą naleŜącą do
dziedziny funkcji g(x) = log3(log2(3x + 1)). Zbadaj przebieg zmienności i naszkicuj wykres
funkcji f .
x2 + 4
dla x ∈ R \ {–2}.
Odp.: a = 1; f ( x) =
( x + 2) 2
Zad. 56:
x2 − 4
Zbadaj przebieg zmienności i naszkicuj wykres funkcji f ( x) = 2
, gdzie x ∈ (–1;1).
x −1
Zad. 57:
x 2 − 4x
.
x2 + 2
x 2 − 4x
b) Korzystając z wykresu funkcji f , rozwiąŜ nierówność 2
≥ 1.
x +2
*c) Wiedząc, Ŝe [m] oznacza największą liczbę całkowitą nie większą od m, naszkicuj wykres
funkcji g(x) = f(x) + |f(x)|.
a) Zbadaj przebieg zmienności i naszkicuj wykres funkcji f ( x) =
Odp.: b) x ∈ ( − ∞;− 21 ∪ {1} .
Zad. 58:
−x
.
x +1
a) Znajdź równania stycznych do wykresu funkcji f równoległych do prostej x + 4y = 0.
Oblicz odległość między tymi stycznymi. Naszkicuj wykres funkcji f oraz styczne spełniające warunki zadania.
*b) W jakich punktach wykresu funkcji f naleŜy poprowadzić równoległe styczne, aby odległość między nimi była największa?
8 17
Odp.: a) x + 4y + 1 = 0, x + 4y + 9 = 0, odległość między tymi stycznymi wynosi
;
17
b) (0, 0) i (–2, –2).
Dana jest funkcja f ( x) =
Zad. 59:
Do krzywej |xy – x – y + 1| = 1 poprowadzono styczne o współczynnikach kierunkowych m,
spełniających warunek |m| = 1.
a) Znajdź współrzędne punktu styczności.
b) Znajdź równania stycznych.
83
c) Oblicz pole figury ograniczonej tymi stycznymi.
Odp.: a) (0, 0), (2, 0), (2, 2), (0, 2); b) y = – x, y = – x + 4, y = x – 2, y = x + 2;
c) P = 8.
Zad. 60:
Określ liczbę ekstremów funkcji f(x) = – mx3 + x2 + x + n – 2 w zaleŜności od wartości parametrów m i n.
(
Odp.: Funkcja f nie ma ekstremum dla m ∈ − ∞;− 13 , ma jedno ekstremum dla m = 0 oraz
dwa ekstrema dla m ∈ ( − 13 ;0) ∪ (0;+∞) .
Zad. 61:
Zbadaj przebieg zmienności i naszkicuj wykres funkcji f ( x) =
x3
.
8 − 2x 2
Zad. 62:
Zbadaj przebieg zmienności i naszkicuj wykres funkcji f ( x) =
x2
, gdzie a > 0.
x −a
Zad. 63:
x2
Zbadaj przebieg zmienności i naszkicuj wykres funkcji f ( x) = x , gdzie x ∈ 〈–5;5〉.
e
Zad. 64:
−x
.
x +1
a) Znajdź równania takich dwóch równoległych stycznych do wykresu tej funkcji, aby odległość między nimi była największa. Naszkicuj wykres funkcji f oraz styczne spełniające warunki zadania.
*b) Zbadaj, czy suma pól trójkątów ograniczonych asymptotami wykresu funkcji f i dwiema
dowolnymi równoległymi stycznymi do jej wykresu zaleŜy od kierunku tych stycznych.
Odp.: a) y = – x, y = – x – 4; b) RozwaŜana suma pól nie zaleŜy od kierunku stycznych.
Dana jest funkcja f ( x) =
Zad. 65:
x3 + 1
1
i g( x) = 5x + .
x
x
a) RozwiąŜ nierówność f ’(x) < g’(x).
b) Znajdź najmniejszą i największą wartość funkcji g w przedziale − 1;− 15 .
Dane są funkcje f ( x) =
Odp.: a) x ∈ ( − ∞;0) ∪ (0; 25 ) ; b) Dla x = –1 i x = − 15 funkcja g przyjmuje wartość najmniejszą równą – 6, dla x = −
Zad. 66:
a) Funkcja f ( x) =
5
5
funkcja ta przyjmuje wartość największą równą − 2 5 .
ax + b
osiąga dla x = 0 ekstremum równe 1. Znajdź zbiór wartości tej
1 − x2
funkcji.
*b) W układzie współrzędnych zaznacz (na oddzielnych rysunkach) zbiory wszystkich punktów
84
(a, b), dla których funkcja f ( x) =
ax + b
: 1) ma 2 ekstrema, 2) ma 1 ekstremum, 3) nie ma
1 − x2
ekstremum.
1
jest zbiór (– ∞; 0) ∪ 〈1; + ∞). b) 1) Funkcja
1 − x2
a ≠ 0
a ≠ 0


f ma dwa ekstrema, gdy współczynniki a, b spełniają warunki: b > a lub b < a ; 2)
b > −a
b < −a


Funkcja f ma jedno ekstremum, gdy współczynniki a, b spełniają warunki a = 0 i b ≠ 0; 3)
a ≠ 0

Funkcja f nie ma ekstremów, gdy współczynniki a, b spełniają warunki: b ≤ a lub
b ≥ −a

Odp.: a) Zbiorem wartości funkcji f ( x) =
a ≠ 0

b ≥ a .
b ≤ −a

Zad. 67:
a) Zbadaj przebieg zmienności i naszkicuj wykres funkcji f(x) = x3 – x2 – x + 1.
*b) Określ liczbę pierwiastków równania f(x) = m w zaleŜności od wartości parametru m.
Naszkicuj wykres funkcji, która kaŜdej wartości parametru m przyporządkowuje liczbę pierwiastków tego równania.
Odp.: b) Równanie f(x) = m ma jedno rozwiązanie dla m ∈ ( − ∞;0) ∪ ( 32
27 ;+∞) , ma dwa
rozwiązania dla m = 0 i dla m =
32
27
oraz trzy rozwiązania dla m ∈ (0; 32
27 ) .
Zad. 68:
Dana jest funkcja f(x) = x3 + 2x2 + x.
a) Zbadaj przebieg zmienności i naszkicuj wykres funkcji f .
b) Korzystając z wykresu funkcji f , podaj liczbę pierwiastków równania
|(x – 1)3 + 2(x – 1)2 + (x – 1)| = k w zaleŜności od wartości parametru k.
Odp.: b) RozwaŜane równanie nie ma pierwiastków dla k ∈ (– ∞;0), ma dwa pierwiastki dla
k = 0 i k ∈ ( 274 ;+∞) , ma trzy pierwiastki dla k = 274 oraz ma cztery pierwiastki dla k ∈ (0; 274 ) .
Zad. 69:
a) Zbadaj przebieg zmienności i naszkicuj wykres funkcji f(x) = – x(x2 – 2x + 1).
*b) Określ liczbę pierwiastków równania f(x) = m w zaleŜności od wartości parametru m.
Naszkicuj wykres funkcji, która kaŜdej wartości parametru m przyporządkowuje liczbę pierwiastków tego równania.
Odp.: b) Równanie f(x) = m ma jeden pierwiastek dla m ∈ ( − ∞;− 274 ) ∪ ( 0;+∞) , ma dwa
pierwiastki dla m = − 274 i dla m = 0, ma trzy pierwiastki dla m ∈ ( −
4
27
;0) .
Zad. 70:
Dana jest funkcja f(x) = x3 – 4x2 + 4x.
a) Zbadaj przebieg zmienności i naszkicuj wykres funkcji f .
*b) Podaj liczbę punktów wspólnych wykresu danej funkcji z prostą y = mx w zaleŜności od
85
wartości parametru m.
Odp.: b) Wykres funkcji f i dana prosta mają jeden punkt wspólny dla m ∈ (– ∞;0), dwa
punkty wspólne dla m = 0 i dla m = 4, trzy punkty wspólne dla m ∈ (0;4) ∪ (4; + ∞).
Zad. 71:
Dana jest funkcja f ( x) = 3x − 41 x 3 dla x ∈ R.
a) Zbadaj przebieg zmienności funkcji f i naszkicuj jej wykres.
*b) Określ, dla jakich wartości parametru m równanie f(x) = m ma pierwiastek podwójny.
Dla znalezionych wartości m rozwiąŜ równanie f(x) = m.
Odp.: b) Dla m = – 4 i m = 4 rozwaŜane równanie ma pierwiastek podwójny. Dla m = – 4
pierwiastkami tego równania są – 2 (pierwiastek podwójny) i 4, a dla m = 4 pierwiastkami
są 2 (pierwiastek podwójny) i – 4.
Zad. 72:
2x 2 − x 4
.
4
a) Zbadaj przebieg zmienności i naszkicuj wykres funkcji f . Znajdź największą i najmniejszą
wartość funkcji f w przedziale − 21 ;3 .
*b) Korzystając z wykresu funkcji f , określ liczbę rozwiązań równania f(x) = m naleŜących
do zbioru (– ∞; – 1) ∪ 〈0;1〉 w zaleŜności od wartości parametru m.
Odp.: a) Dla x = 3 funkcja f osiąga w przedziale − 21 ;3 wartość najmniejszą równą − 634 , a
Dana jest funkcja f ( x) =
dla x = 1 funkcja f osiąga w tym przedziale wartość największą równą
1
4
.
b) Równanie f(x) = m, gdzie x ∈ (– ∞; – 1) ∪ 〈0;1〉, nie ma rozwiązań dla m ∈ ( 41 ;+∞) , ma
)
jedno rozwiązanie dla m ∈ ( − ∞;0) ∪ { 41 } , ma dwa rozwiązania dla m ∈ 0; 41 .
Zad. 73:
Zbadaj przebieg zmienności i naszkicuj wykres funkcji f ( x) =
1 − x2
.
x 2 + 6x + 9
86