macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych

Lista nr 1
Macierze, działania na macierzach. Wyznacznik i jego podstawowe własności. Macierz
odwrotna. Układy równań liniowych: wzory Cramera, metoda Gaussa.
Zad. 1 Obliczyć (A+B)T, AT-BT, 8A-12B, jeżeli
1 1 1
3


A= 2 4 8 ,
B = 2



 −1 0 1 
0
−
3
4
1
7
8.

2 
Zad. 2 Dane są macierze:
1 − 1 0 2 
 −2 0 1 3 
 1 3 0




A = 5 3 2 0 , B = 0 2 1 0 , C =  −1 2 3 .






 −1 0 1 0 
 2 3 1 3 
 5 4 1 
Wykonać działania lub uzasadnić, że nie jest ono wykonalne:
a) A+BT , b) 3A-2B, c) ATC2, d) BTC, e) CA, f) CTC i CCT.
Zad. 3 Obliczyć wyznacznik z macierzy:
2
 3 1 2
2


a )  − 1 5 1 ; b ) 
6
 6 1 2

2
1 − 1 0 0 
0 1
0 − 1
;
e) 
0 0 − 1 1 


1
0 1 1
5 6 0
3 −3 4 
1 5 6

1 − 1 2 
; c ) 0 1 5
2 1
0


0 0 0
3 0 − 5
6 0 0
1 1 1 1 
2 2 2 2
; g ) sin α
f)
sin β
4 6 4 4



6 6 6 0
0
0
6
1
1
0
1 3

2 1
0

0 ; d )  3 4


5
2 1
3 − 1
5
2 1
5 1
1 0
1 5
1 −1
4
2
1 ;

2
1 
cosα 
5 − 4i 
 1+ i
; h) 

.
cos β 
− 3 − 2i − 8i 
Zad. 4 Wyznaczyć macierze odwrotne do danych:
1 2
a b 
cos α
a) 
; b) 
(ad − bc ≠ 0); c ) 


3 4
c d 
 sin α
2
1 2
− sin α 

; d ) 2 1 − 2;

cos α 
2 − 2 1 
1 1
1 1
1 2 3
1 1 − 1 − 1
1 + i 1 


e)
; d ) 1 0 2; f ) 
.
1 − 1 1 − 1
1 1 − i 





0 2 3 
1 − 1 − 1 1 
Zad. 5 Rozwiązać równanie macierzowe:
1 2 3 1 4
 4 2
− 2 0 

 
a) 
 X =  0 − 1; b) X 0 2 3 = 0 2
−
1
4




0 0 3 0 0
Zad. 6 Znaleźć rząd każdej z następujących macierzy
2
 3 −1
 0 1 −1 


 2 1 −1
1 0 2 



1
A=
0
 , B = 1
 , C =  −1 −2 0
3
0 3 1 

 0 −3 −1
5
 2 −1

8 
1
6
 1 3 5 6
6; c) 3 X + 
=
X.
− 2 1 7 8

3
 1 −1 0 1 
0 2
 −1 0 1 1 

.
1 1 , D = 
 0 1
1 −1
2 4 


 1 1 −1 0 
Zad. 7 Dla jakich wartości x rząd macierzy
1 1 x 
a)  2 3 2 


 3 4 2 
2
3
jest równy 3, b) 
2

5
1 1 2
x 2 1 
1 1 1

2 3 2
jest mniejszy od 4.
Zad. 8 Zapisać układy równań liniowych AX = B dla następujących macierzy A i B i rozwiązać je:
 1 − 1 3
2
5
2 − 5 
1





a) A = 
 , B = 3 ; b) A = 2 7 5 , B =  1  ; c) A = 3
4
−
10


 
2 − 2 6
− 5
4
1 − 1
2 − 3
8
3 − 1
3 − 1 1 
2





d) A = 
 , B = 1 ; e) A = 1 1  , B = − 1 ; f) A = 6 2
6
−
2
2


 
5 − 1
 7 

2 − 2
− 6 4
3

− 3 2 , B = 2 ;
1 
− 5 2
1 − 1
 2

0 
−7 2 
,B =   .
 3
− 1 − 1

 
2 − 2
5 
Zad. 9 Stosując metodę eliminacji Gaussa rozwiązać podane układy równań:
2 x + y + z = 1
2 x + y − z + t = 1
x + 2 y − z − t = 1
3x − y + 3z = 2



a )  y + 3z − 3t = 1 ; b)  x + y + z + 3t = 2 ; c) 
.
x
+
y
+
z
=
0
x + y + z − t = 1
3x + 5 y − z + t = 3



 x − y + z = 1
Zad. 10 W wytwórni montuje się cztery wyroby A, B, C, D z trzech typów detali a, b, c. Wyroby A, B, C,
D ważą odpowiednio 60g, 60g, 70g, 90g. Obliczyć, ile ważą poszczególne detale, jeżeli ich liczba w
produkowanych wyrobach podana jest w tabeli:
a
b
c
A
1
2
2
B
2
1
1
C
1
1
3
D
1
2
4
Zad. 11 Wykonanie pewnego pojemnika wymaga wykonania czterech czynności: narysowania formy,
wycięcia, złożenia modelu i jego pomalowania. Liczby poszczególnych czynności w kolejnych dniach
pracy pewnego pracownika podaje tabela:
rysowanie
poniedziałek 30
wtorek
20
środa
40
czwartek
30
wycinanie
20
15
25
20
składanie
10
15
20
20
malowanie
5
10
20
20
Obliczyć czas wykonywania poszczególnych czynności, jeżeli w kolejnych dniach łączny czas pracy
wynosił odpowiednio 2 h 10 min, 2 h 15 min, 3 h 55 min, 3 h 30 min.
Literatura pomocnicza:
T. Jurlewicz, Z. Skoczylas „ Algebra liniowa 1” (przykłady i zadania)
W. Krysicki, L.Włodarski „ Analiza matematyczna w zadaniach” (część pierwsza)
L. Jeśmianowicz, J.Łoś „ Zbiór zadań z algebry”
2