Modelowanie krzywizny układu geometrycznego toru z

PRACE NAUKOWE POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ
z. 98
Transport
2013
Katarzyna Palikowska
Politechnika Gdaska
Wydzia Inynierii Ldowej i rodowiska
MODELOWANIE KRZYWIZNY
UKADU GEOMETRYCZNEGO TORU
Z WYKORZYSTANIEM ALGORYTMU PSO
Rkopis dostarczono, kwiecie 2013
Streszczenie: W artykule przedstawiono metod projektowania ukadu geometrycznego toru
kolejowego opart na zastosowaniu szeciennych krzywych C-Bezier do opisu krzywizny. Punkty
kontrolne krzywej Bezier wyznaczane s w procesie optymalizacji za pomoc algorytmu roju czstek
(Particle Swarm Optimization). Jako kryterium optymalizacji przyjto minimalizacj oddziaywa
dynamicznych wystpujcych w ukadzie tor-pojazd przy spenieniu warunków geometrycznych
wynikajcych z zaoe projektowych.
Sowa kluczowe: algorytm roju czstek (Particle Swarm Optimization), szecienne krzywe C-Bezier,
krzywizna ukadu geometrycznego
1. WSTP
Projektowanie ukadu geometrycznego toru kolejowego polega na czeniu ze sob
okrelonych punktów charakterystycznych trasy za pomoc odcinków prostych oraz uków
o staej i zmiennej krzywinie. W miejscach pocze, na skutek zmian krzywizny
poziomej, dochodzi do zwikszenia oddziaywa dynamicznych wystpujcych w ukadzie
tor pojazd. W procesie modelowania krzywizny projektant dy do zapewnienie pynnej
zmiany krzywizny przy spenieniu odpowiednich warunków [7], by poprzez waciwe
uksztatowanie krzywych przejciowych zapewni moliwie najkorzystniejsze waciwoci
dynamiczne ukadu.
Poszukiwanie nowych postaci krzywych przejciowych i ocena istniejcych s
tematami wci aktualnymi, czego dowodem s liczne publikacje powicone tym
zagadnieniom.
W badaniach majcych na celu rozszerzenie dostpnych moliwoci w zakresie
modelowania krzywych przejciowych wyróni mona dwa zasadnicze nurty:
bezporednie ksztatowanie wspórzdnych krzywej przejciowej oraz porednie osigane
poprzez modelowanie krzywizny.
510
Katarzyna Palikowska
W pracach [2, 4, 5, 6], wpisujcych si w nurt ksztatowania wspórzdnych,
przedstawiono algorytmy konstruowania krzywych Bezier jako krzywych przejciowych w
dziedzinie projektowania dróg koowych i kolejowych. Sugerowana celowo
zastosowania szeciennych krzywych C-Bezier (cubic C-Bezier curves), przedstawionych
w pracy [2], oraz PH krzywych Bezier pitego stopnia (Pythagorean hodograph quintic
Bezier curves), przedstawionych w pracach [4, 5], jako krzywych przejciowych czcych
dwa uki koowe odwrotne (S-shaped transition) i dwa uki zgodne (C-shaped i C-oval
transitions) zostaa potwierdzona w pracach [8, 9] poprzez zastosowanie wspomnianych
krzywych w przykadowych ukadach geometrycznych.
W pracach [8, 9] waciwoci dynamiczne krzywych Bezier zostay przedstawione na
tle waciwoci krzywych typu K0 (krzywa o liniowej zmianie krzywizny) i K1 (krzywa o
nieliniowej zmianie krzywizny opisanej wielomianem stopnia trzeciego zmiennej l
oznaczajcej dugo krzywej), uzyskanych w wyniku zastosowania uniwersalnej metody
modelowania krzywizny.
Niniejszy artyku przedstawia metod modelowania krzywizny ukadu geometrycznego
bazujc na opisie krzywizny za pomoc szeciennej krzywej C-Bezier (cubic C-Bezier
curve), przedstawionej w pracy [13]. W odrónieniu od prac [2, 8, 9] w niniejszym
artykule wspomniana krzywa zostaa zastosowana do opisu krzywizny a nie
wspórzdnych krzywej przejciowej. Punkty kontrolne krzywej wyznaczane s w procesie
optymalizacji prowadzonym algorytmem roju czstek (Particle Swarm Optimization) w
oparciu o kryterium zwizane z ocen oddziaywa dynamicznych w ukadzie tor-pojazd, z
zachowaniem warunków geometrycznych.
2. MODELOWANIE KRZYWIZNY
Przepisy dotyczce projektowania ukadów geometrycznych dróg koowych
i kolejowych nakadaj szereg wymaga, które powinna spenia krzywa przejciowa [7].
Spenienie naoonych wymaga zwizane jest cile z zapewnieniem odpowiedniego
przebiegu krzywizny k(l) oraz jej pochodnych k’(l) oraz k’’(l). Modelowaniu krzywizny
ukadu geometrycznego powiconych jest wiele prac dotyczcych krzywych
przejciowych stosowanych w dziedzinie dróg koowych [1, 11, 12] jak i kolejowych [7, 8,
9, 10]. Uniwersalna metoda modelowania krzywizny, przedstawiona w pracy [8], zakada,
e funkcja krzywizny k(l) stanowi rozwizanie równania róniczkowego (1)
݇ ሺ௠ሻ ሺ݈ሻ ൌ ݂ൣ݈ǡ ݇ǡ ݇ ᇱ ǡ ǥ ǡ ݇ ሺ௠ିଵሻ ൧
(1)
z warunkami na pocztku (dla l = 0) i na kocu (dla l = lk) krzywej przejciowej (rys.1):
݇
݇ ሺ௜ሻ ሺͲା ሻ ൌ ൜ ଵ
Ͳ
݇ ሺ௝ሻ ሺ݈௞ି ሻ ൌ ൜
݇ଶ
Ͳ
݈݀ܽ
݈݀ܽ
݈݀ܽ
݈݀ܽ
݅ ൌ Ͳ
݅ ൌ ͳǡ ʹǡ Ǥ Ǥ Ǥ ǡ ݊ͳ
݆ ൌ Ͳ
݆ ൌ ͳǡ ʹǡ Ǥ Ǥ Ǥ ǡ ݊ʹ
(2)
(3)
Modelowanie krzywizny ukadu geometrycznego toru z wykorzystaniem algorytmu PSO
511
przy czym parametrem l jest pooenie danego punktu na dugoci krzywej. Rzd
równania róniczkowego (1) wynosi m = n1 + n2 + 2, a otrzymana funkcja k(l) jest
funkcj klasy Cn w przedziale ‫Ͳۃ‬ǡ ݈௞ ‫ۄ‬, gdzie ݊ ൌ ݉݅݊ሺ݊ଵ ǡ ݊ଶ ሻ. Metoda ta pozwala na
uzyskiwanie rozwiza o liniowej lub nieliniowej zmianie krzywizny.
Na podstawie krzywizny k(l) w dalszej kolejnoci nastpuje wyznaczenie
wspórzdnych krzywej w ukadzie x, y. Zakadajc, e pocztek ukadu x, y znajduje si
w punkcie kocowym krzywej wejciowej o krzywinie k1, a o odcitych jest styczna do
tej krzywej w tyme punkcie (rys. 1), równanie parametryczne krzywej przejciowej
przyjmuje posta:
‫ݔ‬ሺ݈ሻ ൌ ‫߆ ݏ݋ܿ ׬‬ሺ݈ሻ݈݀
(4)
‫ݕ‬ሺ݈ሻ ൌ ‫߆ ݊݅ݏ ׬‬ሺ݈ሻ݈݀
(5)
gdzie funkcja ߆ሺ݈ሻ wyznaczona zostaje na podstawie wzoru
߆ሺ݈ሻ ൌ ‫݇ ׬‬ሺ݈ሻ݈݀
(6)
W pracy [10] przedstawiono metod modelowania krzywizny z zastosowaniem
programowania ewolucyjnego. Monotoniczno krzywizny zapewniona zostaa
kodowaniem przyrostów rzdnych krzywizny. Zestaw klasycznych operatorów
genetycznych poszerzony zosta o operatory inwersji, delecji, duplikacji i filtrowania,
zapewniajce podane zmiany krzywizny w procesie optymalizacji.
3. PROPONOWANA METODA
Niniejszy artyku przedstawia propozycj opisu krzywizny za pomoc szeciennej
krzywej C-Bezier [13], opisanej nastpujcym równaniem parametrycznym:
‫Ͳۍ‬
‫ێ ݐ ݊݅ݏ‬
ଶ
ܿ‫ێ ݐ ݏ݋‬െͳ
൦
൪
ࡼሺ‫ݐ‬ሻ ൌ
గିଶ
‫ݐ‬
‫ێ‬െͳ
ͳ
‫ ێ‬గ
‫ ۏ‬ଶ
்
ଶିగ
ଶ
ସିగ
ଶ
ସିగ
ଶିగ
ସିగ
ଶ
ସିగ
ିଶ
ସିగ
ିଶ
ସିగ
గିଶ
ସିగ
ସିగ
െͳ‫ې‬
ࡼ૙
Ͳ‫ࡼ ۑ‬
‫ ۑ‬൮ ૚൲
ͳ ‫ࡼ ۑ‬૛
‫ࡼ ۑ‬૜
Ͳ‫ے‬
(7)
గ
zdefiniowanym dla parametru t speniajcego zaleno Ͳ ൑ ‫ ݐ‬൑ ଶ . Sporód punktów
kontrolnych ሼࡼ࢏ ሽଷ௜ୀ଴ punkty ࡼ૙ i ࡼ૜ bdce wzami krzywej Bezier stanowi punkty
stycznoci krzywizny z ukami zgodnymi (R1 > R2) o krzywiznach k1 i k2 (rys. 2).
512
Katarzyna Palikowska
Rys. 1. Schemat ukadu geometrycznego
dwóch uków zgodnych poczonych krzyw
przejciow
Rys. 2. Krzywizna ukadu geometrycznego
dwóch uków zgodnych poczonych krzyw
przejciow
Na rys. 1 przedstawiono schemat ukadu geometrycznego dwóch uków zgodnych
poczonych krzyw przejciow o krzywinie opisanej równaniem (7). Zakada si
ustalone pooenie rodków uków C1 i C2. Pooenie punktu C, stanowicego rodek
hipotetycznego uku o promieniu prostopadym do stycznej w punkcie kocowym krzywej
przejciowej, uzalenione jest od krzywizny, na podstawie której za pomoc równa (4-6)
wyznaczane s wspórzdne krzywej przejciowej w ukadzie x, y.
Pierwsza pochodna krzywej (7) wyraona jest nastpujc formu:
ࡼᇱ ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ
ଶ
గିଶ
ሾሺͳ െ ‫ݐ ݊݅ݏ‬ሻሺࡼ૚ െ ࡼ૙ ሻ ൅ ሺͳ െ ܿ‫ݐ ݏ݋‬ሻሺࡼ૜ െ ࡼ૛ ሻሿ ൅
ଶ
ସିగ
ሺܿ‫ ݐ ݏ݋‬൅ ‫ ݐ ݊݅ݏ‬െ ͳሻሺࡼ૛ െ ࡼ૚ ሻ
(8)
Druga pochodna krzywej (7) przedstawia si nastpujco:
ࡼᇱᇱ ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ
ଶ
గିଶ
ቂቀ
గିଶ
ସିగ
ሺࡼ૛ െ ࡼ૚ ሻ െ ሺࡼ૚ െ ࡼ૙ ሻቁ …‘• ‫ ݐ‬൅ ቀࡼ૜ െ ࡼ૛ െ
గିଶ
ସିగ
ሺࡼ૛ െ ࡼ૚ ሻ •‹ ‫ݐ‬ቁቃ
(9)
W pracy [2] zastosowano krzyw (7) do wyraenia wspórzdnych krzywej
przejciowej w ukadzie x, y oraz podano algorytm wyznaczania punktów kontrolnych
ሼࡼ࢏ ሽଷ௜ୀ଴ z uwzgldnieniem parametrów geometrycznych ukadu. W niniejszym artykule
krzywa (7) opisuje krzywizn krzywej przejciowej a punkty kontrolne ሼࡼ࢏ ሽଷ௜ୀ଴ ,
jednoznacznie definiujce krzywizn, wyznaczane s w procesie optymalizacji opisanym
w sekcjach 3.1 i 3.2. Efektywno zastosowania algorytm roju czstek do wyznaczania
punktów kontrolnych krzywych NURBS (Non-Uniform Rational B-Spline curves) zostaa
potwierdzona w pracy [3].
3.1. KRYTERIUM OPTYMALIZACJI
W pracach powiconych modelowaniu krzywizny [1, 8, 9, 10, 11, 12] minimalizacja
oddziaywa dynamicznych stanowi zasadnicze kryterium. Autorzy [1, 10] dokonuj
Modelowanie krzywizny ukadu geometrycznego toru z wykorzystaniem algorytmu PSO
513
oceny waciwoci dynamicznych krzywych przejciowych w oparciu o diagram LCA
(Lateral Change of Acceleration).
W niniejszym artykule zastosowany zosta model oraz sposób oceny oddziaywa
dynamicznych przedstawiony w pracach [7, 10]. Zasadniczym elementem analizy
oddziaywa dynamicznych jest wyznaczenie wielkoci drga X(t) oraz wypadkowego
przyspieszenia w ruchu drgajcym X’’(t) w rejonach, w których wystpuj zmiany
poziomej krzywizny toru. W pracy [10] przedstawiono opis metody numerycznej
stosowanej do wyznaczenia wielkoci drga X(t) przy zaoeniu, e czynnikiem
wymuszajcym drgania poprzeczne pojazdu szynowego s zmiany krzywizny poziomej
toru.
Zastosowane kryterium ma znaczenie porównawcze, wyznaczajce kierunek procesu
optymalizacji. W celu zbadania przydatnoci tego kryterium zostaa dokonana ocena
wybranych krzywych: klotoidy, krzywej Blossa, sinusoidy, krzywej T11 opisanej w pracy
[11] oraz krzywych G12 i G23, przedstawionych w pracy [12], zastosowanych jako krzywe
przejciowe o dugoci l=100 m w poczeniu prostej z ukiem koowym o promieniu R, na
którym wystpuje niezrównowaone przyspieszenie odrodkowe amax=0,6 m/s2.
Krzywizny wymienionych krzywych zostay przedstawione na rys. 3. Przebieg
wypadkowego przyspieszenia w ruchu drgajcym X’’(t), stanowicy podstaw oceny
waciwoci dynamicznych zosta przedstawiony na rys. 4-6.
Rys. 3. Krzywizny wybranych krzywych
zastosowanych jako krzywe przejciowe (l=100 m)
Rys. 4. Przyspieszenie w ruchu drgajcym
X’’(t): krzywa Blossa, sinusoida i krzywa T1
Na rys. 4 zaznaczono dwa rejony zwikszonych oddziaywa dynamicznych (pocztek i
koniec krzywej przejciowej). Przebieg wyznaczonego przyspieszenia wskazuje na
wyranie lepsze waciwoci dynamiczne sinusoidy i krzywej T1 (mniejsze amplitudy
zmian przyspieszenia w rejonach pocztkowym i kocowym krzywych – na rys. 4
praktycznie niedostrzegalne) w porównaniu do krzywej Blossa, której krzywizna opisana
1
krzywa Tari-1 o nieliniowej zmianie krzywizny opisanej wielomianem stopnia pitego zmiennej l
2
zmiana krzywizny opisana wielomianem stopnia drugiego zmiennej l
3
zmiana krzywizny opisana funkcj pierwiastka stopnia drugiego zmiennej l
514
Katarzyna Palikowska
jest wielomianem stopnia trzeciego zmiennej l (zaleno waciwoci dynamicznych od
klasy funkcji opisujcej krzywizn [7]).
Zdecydowanie mniej korzystne waciwoci dynamiczne stwierdzone zostay w
odniesieniu do klotoidy oraz krzywych G1 i G2. Na rys. 5-6 przedstawiono przebieg
wypadkowego przyspieszenia w ruchu drgajcym w rejonie pocztkowym krzywej
przejciowej (poczenie prostej z krzyw) oraz kocowym (poczenie krzywej
przejciowej z ukiem koowym).
Rys. 5. Przyspieszenie w ruchu drgajcym
X’’(t) w rejonie pocztkowym: klotoida,
krzywe G1 i G2
Rys. 6. Przyspieszenie w ruchu drgajcym
X’’(t) w rejonie kocowym: klotoida,
krzywe G1 i G2
Krzywa G1 posiada korzystne waciwoci dynamiczne w rejonie pocztkowym,
kosztem zdecydowanie niekorzystnych waciwoci w rejonie kocowym. Krzywa G2
posiada lepsze waciwoci dynamiczne w rejonie kocowym ni klotoida, za cen
zdecydowanie najgorszych waciwoci w rejonie pocztkowym.
Wnioski wynikajce z analizy przebiegu wypadkowego przyspieszenia przeoone
zostay na wartoci kryterium uywanego w procesie optymalizacji (tabela 1).
Tabela 1
Wartoci kryterium dynamicznego w odniesieniu do wybranych krzywych
Typ krzywej
Warto kryterium
Typ krzywej
Warto kryterium
Klotoida
52,1561
T1 (krzywa Tari-1
[11])
0,0507
Krzywa Blossa
1,1580
G1 (krzywa [12])
52,2726
Sinusoida
0,0335
G2 (krzywa [12])
438,5470
Uzyskane wartoci, wyraajce przewag krzywych: sinusoidy i krzywej Tari-1 nad
klotoid oraz krzywymi G1 i G2 potwierdzaj przydatno sformuowanego kryterium.
Na podstawie danych z tabeli 1 naley spodziewa si, e w procesie optymalizacji
Modelowanie krzywizny ukadu geometrycznego toru z wykorzystaniem algorytmu PSO
515
opartym na opisanym kryterium dynamicznym uzyskiwane bd nieliniowe, symetryczne
krzywizny (kryterium w równym stopniu uwzgldnia oddziaywania wystpujce
w rejonie pocztkowym jak i w kocowym krzywej).
Kryterium (10) stosowane w procesie optymalizacji dcym do wyznaczenia
krzywizny krzywej przejciowej w ukadzie geometrycznym przedstawionym na rys. 1,
oprócz waciwoci dynamicznych uwzgldnia równie minimalizacj wymaganego
przesunicia uku o rodku C2, poprzez minimalizacj odlegoci pomidzy punktami C i
C2.
௟ାఋ
‫ ܨܨ‬ൌ ‫ݓ‬ௗ ‫׬‬଴
ܺ ᇱᇱ ሺ‫ݐ‬ሻ ൅ ‫ݓ‬௣ ԡ‫ ܥ‬െ ‫ܥ‬ଶ ԡ ՜ ݉݅݊
(10)
gdzie wd i wp stanowi arbitralnie dobierane przez projektanta wagi, G - odcinek uku, na
którym wystpuj oddziaywania dynamiczne po zjedzie z krzywej przejciowej o
dugoci l.
3.2. ALGORYTM OPTYMALIZACJI
W procesie optymalizacji zastosowany zosta algorytm roju czstek (Particle Swarm
Optimization) opisany w pracy [6], dziaajcy w oparciu o populacj czstek poruszajcych
si w przestrzeni rozwiza. Kada czstka (tabela 2) reprezentuje potencjalne rozwizanie
problemu – szukan krzywizn, opisan w sposób jednoznaczny wspórzdnymi punktów
kontrolnych ሼࡼ࢏ ሽଷ௜ୀ଴ (rys. 2).
Tabela 2
Struktura czstki
P0x=0
P1x
P2x
P3x
P0y=k1
P1y
P2y
P3y=k2
Czstki zmieniaj swoje pooenie w kierunku uzalenionym od najlepszego
dotychczasowego pooenia czstki, od najlepszego dotychczasowego pooenia czstek
ssiednich oraz wasnej prdkoci. Modyfikacja prdkoci czstki nastpuje zgodnie z
formu (11):
௕௘௦௧
௕௘௦௧
‫ݒ‬௜ௗ ൌ ߱ ൈ ‫ݒ‬௜ௗ ൅ ‫ܥ‬ଵ ൈ ܴܽ݊݀ሺሻ ൈ ൫‫݌‬௜ௗ
െ ‫݌‬௜ௗ ൯ ൅ ‫ܥ‬ଶ ൈ ܴܽ݊݀ሺሻ ൈ ൫‫݌‬௚ௗ
െ ‫݌‬௜ௗ ൯
(11)
gdzie: ߱ – wspóczynnik inercji, zmieniajcy si w czasie zgodnie z formu (12):
߱ ൌ ߱௠௔௫ െ ݊ ൈ
ఠ೘ೌೣ ିఠ೘೔೙
ே
N – maksymalna liczba iteracji algorytmu; n – numer biecej iteracji;
‫ܥ‬ଵǡ ‫ܥ‬ଶ – wspóczynniki uczenia: indywidualny i grupowy;
Rand() – funkcja losowa generujca liczb losow z przedziau (0,1);
௕௘௦௧
‫݌‬௜ௗ
– najlepsze dotychczasowe pooenie czstki;
௕௘௦௧
‫݌‬௚ௗ
– najlepsze dotychczasowe pooenie czstek ssiednich.
(12)
516
Katarzyna Palikowska
Modyfikacja pooenia czstki nastpuje zgodnie z formu ‫݌‬௜ௗ ൌ ‫݌‬௜ௗ ൅ ‫ݒ‬௜ௗ .
dziaania algorytmu roju czstek zosta przedstawiony na rys. 7.
Schemat
n=1
Generacja populacji pocztkowej
Ocena
Transformacja
pokolenia n w
n+1
௕௘௦௧ ௕௘௦௧
Modyfikacja ‫݌‬௜ௗ
ǡ ‫݌‬௚ௗ
Modyfikacja‫ݒ‬௜ௗ i‫݌‬௜ௗ
Rys. 7. Schemat dziaania algorytmu roju czstek
4. WYNIKI
Proponowan metod modelowania krzywizny zastosowano do wyznaczenia krzywej
przejciowej czcej dwa uki koowe 1 i 2 o zgodnej krzywinie (tabela 3). uk 2
pooony jest wewntrz uku 1; pooenie rodka C2 uku 2 zostao wyznaczone w toku
konstruowania krzywej typu K0 za pomoc uniwersalnej metody modelowania krzywizny.
Tabela 3
Parametry geometryczne ukadu uków koowych zgodnych
Pooenie rodka uku
Promie uku R [m]
C1
(0;700)
R1
700
C2
(41,22; 506,42)
R2
500
Proponowana metoda dziki zastosowaniu skadnika ‫ݓ‬௣ ԡ‫ ܥ‬െ ‫ܥ‬ଶ ԡ ՜ ݉݅݊ w kryterium
optymalizacji (10) pozwala na uzyskiwanie rozwiza nie wymagajcych przesuwania
rodka uku 2 – pooenie rodka C2 traktowane jest jako parametr opisujcy ukad
geometryczny. Stanowi to duy atut metody: poprzez zmiany wagi ‫ݓ‬௣ w procesie
optymalizacji projektant moe dy do uzyskania krzywizny opisujcej krzyw
przejciow, której zastosowanie zachowa zakadane pooenie rodka uku 2.
Modelowanie krzywizny ukadu geometrycznego toru z wykorzystaniem algorytmu PSO
517
W wyniku przeprowadzenia 2 procesów optymalizacji o liczbie iteracji n=200 kady w
oparciu o kryterium (10) z wagami zaprezentowanymi w tabeli 4 otrzymano punkty
kontrolne krzywych opisujce krzywizny (rys. 8). Przyjto P0x=0, P0y=1/R1, P3y=1/R2.
Tabela 4
Wspórzdne punktów kontrolnych wynikowych krzywizn
Lp
1
2
1
1
2
0,1
P1x
91,76
143,21008
P2x
127,16
143,2101
P3x
392,03
301,03
Rys. 8. Krzywizny otrzymane w procesie optymalizacji
P1y
0,001428892
0,001428572
P2y
0,001999588
0,001999805
Rys. 9. Przyspieszenie w ruchu
drgajcym X’’(t)
Na podstawie wynikowych krzywizn, za pomoc równa (4-6) wyznaczone zostay
wspórzdne krzywych przejciowych (rys. 10), których parametry zostay przedstawione
w tabeli 5.
Tabela 5
Parametry wynikowych krzywych przejciowych
Kryterium
dynamiczne
lp
1
2
1
1
2
0,1
1,57047
0,5904005
Przesunicie
rodka uku 2
[m]
0,0001965
1,0011463
Wspórzdne punktu
stycznoci krzywej z
ukiem 2 [m]
(363,29; 123,96)
(289,04; 71,05)
Nachylenie stycznej
w punkcie kocowym
krzywej przejciowej
Dugo
krzywej
[m]
0,6998911
0,51801
392,06
301,11
518
Katarzyna Palikowska
Rys. 10. Wynikowe krzywe przejciowe na tle krzywej typu K0
Rys. 11. Przebieg procesów
optymalizacji nr 1 i 2
Przebieg procesów optymalizacji zosta przedstawiony na rys. 11. Krzywa uzyskana w
procesie 1, w którym wikszy nacisk pooony zosta na minimalizacj wymaganego
przesunicia rodka uku 2 posiada mniej korzystne waciwoci dynamiczne ni krzywa
uzyskana w procesie 2, w którym zasadniczym celem optymalizacji wyraony stosunkiem
wag wd/wp bya minimalizacja oddziaywa dynamicznych. Warto kryterium
dynamicznego zwizana jest z przebiegiem wypadkowego przyspieszenia w ruchu
drgajcym X’’(t) , przedstawionego na rys. 9. Obie uzyskane krzywe posiadaj lepsze
waciwoci dynamiczne ni krzywa typu K0 (warto kryterium w odniesieniu do krzywej
typu K0 wynosi 52,16).
5. WNIOSKI
Przedstawiona w artykule metoda modelowania krzywizny pozwala na elastyczne
ksztatowanie krzywych przejciowych o korzystnych waciwociach dynamicznych przy
spenieniu warunków geometrycznych ukadu (zachowanie pooenia rodka uku 2,
zachowanie warunku zgodnoci stycznych w punktach poczenia krzywej z ukiem).
Przeprowadzone przy pomocy algorytmu roju czstek (Particle Swarm Optimization)
procesy optymalizacji, zmierzajce do wyznaczenia punktów kontrolnych szeciennej
krzywej C-Bezier (cubic C-Bezier curve) wykazay wysok efektywno algorytmu PSO
do modelowania krzywizny ukadu geometrycznego toru oraz przydatno zastosowania
szeciennej krzywej C-Bezier do opisu krzywizny ukadu geometrycznego toru.
Bibliografia
1. Baykal, O, TarÈ E, CoÉkun Z, Êahin M, A New Transition Curve Joining Two Straight Lines, Journal of
Transportation Engineering, ASCE, 123(5),337-345, 1997.
Modelowanie krzywizny ukadu geometrycznego toru z wykorzystaniem algorytmu PSO
519
2. Cai H., Wang G.: A new method in highway route design: joining circular arcs by a single C-Bezier
curve with shape parameter. Journal of Zhejiang University Science A 2009, 10(4).
3. Delint I, Siti M., Aida A.: Particle Swarm Optimization for NURBS curve fitting. Proceedings of the
2009 Sixth International Conference on Computer Graphics, Imaging and Visualization, pp. 259-263.
DOI 10.1109/CGIV.2009.64
4. Habib Z., Sakai M.: G2 Pythagorean hodograph quintic transition between two circles with shape control.
Computer Aided Geometric Design 2007, nr 24.
5. Habib Z., Sakai M.: On PH quantic spirals joining two circles with one circle inside the other. ComputerAided Design 2007, nr 39.
6. Kennedy J., Eberhart R.: Swarm intelligence, Morgan Kaufmann Publishers, San Francisco, 2001.
7. Koc W.: Elementy teorii projektowania ukadów torowych, Wydawnictwo Politechniki Gdaskiej,
Gdask 2004.
8. Koc W., Palikowska K.: Ocena dynamiki wybranych sposobów czenia elementów trasy o
zrónicowanej krzywinie, XVI Midzynarodowa Konferencja Naukowa "Komputerowe Systemy
Wspomagania Nauki, Przemysu i Transportu TransComp", Zakopane 2012.
9. Koc W., Palikowska K.: Analiza sposobów modelowania krzywizny - krzywe Bezier a metoda
analityczna. Zeszyty Naukowo-Techniczne SITK nr 3(99), s. 225-237, Kraków 2012.
10. Palikowska K.: Projektowanie ukadów geometrycznych toru kolejowego z zastosowaniem
programowania ewolucyjnego, Rozprawa doktorska, Politechnika Gdaska 2002.
11. Tari, E.: The new generation transition curves. ARI 54(1), Istanbul Technical University 2003.
12. Tasci, L., Kuloglu N.: Investigation of a new transition curve. The Baltic Journal of Road and Bridge
Engineering 6(1) 2001: 2329. DOI: 10.3846/bjrbe.2011.04
13. Zhang J.: C-curves: an extension of cubic curves. Computer Aided Geometric Design 13(3) 1996:199217, DOI: 10.1016/0167-8396(95)00022-4.
MODELING OF CURVATURE OF RAILWAY TRACK GEOMETRICAL LAYOUT
USING PARTICLE SWARM OPTIMIZATION
Summary: A method of railway track geometrical layout design, based on application of cubic C-Bezier
curves to describe the layout curvature has been presented in the article. The control points of a cubic
C-Bezier curve have been obtained as a result of an optimization process carried on using Particle Swarm
Optimization algorithm. The optimization criteria have been based on the evaluation of the dynamic
interactions and fulfillment of geometrical design conditions.
Keywords: Particle Swarm Optimization algorithm, cubic C-Bezier curves, railway track layout curvature